ANALOGUE OF THE DISCRETE MAXIMUM PRINCIPLE AND THE NECESSARY OPTIMALITY CONDITION OF SINGULAR CONTROLS IN ONE TWO-PARAMETRIC DISCRETE OPTIMAL CONTROL PROBLEM

Abstract


A two-stage (stepwise) optimal control problem for linear two-parameter systems with distributed control functions is considered. The aim of the work is to establish the necessary optimality condition under the assumption that the convexity of the set of admissible controls is satisfied and the connection condition is nonlinear. Using increments of the quality functional in the form of two-dimensional linear inhomogeneous systems of difference equations, a formula is obtained that allows one to obtain both a discrete analogue of the Pontryagin maximum principle and to study the case of its degeneration. A theorem is formulated that is an analogue of the discrete Pontryagin maximum principle for the problem under consideration. In the case of special controls, the discrete maximum principle degenerates and, therefore, becomes ineffective, including in the verification sense. Therefore, it is necessary to have new necessary conditions for optimality. A special, in the sense of the Pontryagin maximum principle, case of a discrete maximum condition, under which admissible controls are considered special, is studied. A necessary condition for optimality of singular controls is established.

Full Text

Введение В работах [1-6] исследован ряд задач оптимального управления дискретными двухпараметрическими системами с распределенными и граничными управлениями, описываемыми дискретным аналогом системы гиперболических уравнений с краевыми условиями типа Гурса. Установлены некоторые необходимые и достаточные условия оптимальности, а также изучены вопросы, связанные с управляемостью и наблюдаемостью двухпараметрических систем. Другие классы задач оптимального управления дискретными двухпараметрическими системами исследованы в работах [7-9]. В предлагаемой работе рассматривается двухэтапная (ступенчатая) задача оптимального управления линейными двухпараметрическими системами с распределенными управляющими функциями. Для рассматриваемой задачи, с учетом применения одного варианта метода приращений [10-15], доказано необходимое условие оптимальности типа дискретного принципа максимума Понтрягина. Изучен случай вырождения дискретного условия максимума. 1. Постановка задачи Пусть заданные непустые и ограниченные множества, - заданные числа, причем разности есть натуральные числа, а - «дискретные прямоугольники». Предположим, что управляемый дискретный двухэтапный процесс описывается краевыми задачами вида (1) (2) (3) (4) Здесь - соответственно и m-мерные векторы состояния; - заданные (n×n)-дискретные, ограниченные матричные функции; - заданная n-мерная вектор-функция, непрерывная по при всех - заданные (m×m)-дискретные, ограниченные матричные функции; - заданная m-мерная вектор-функция, непрерывная по при всех - заданные n-мерные дискретные вектор-функции; - заданная n-мерная дискретная вектор-функция; - заданная, дважды непрерывно дифференцируемая m-мерная вектор-функция; - мерная дискретная управляющая функция, удовлетворяющая ограничениям (5) Каждую пару , удовлетворяющую вышеприведенным ограничениям, назовем допустимым управлением. Предполагается, что при каждом заданном допустимом управлении краевые задачи (1)-(2) и (3)-(4) имеют единственное дискретное решение. Заметим, что наложенные ограничения на правые части уравнений и на краевые условия являются естественными и не противоречат существованию и единственности решений краевых задач (1)-(2) и (3)-(4). В дальнейшем приводится также представление решений этих краевых задач. На решениях этих краевых задач, порожденных всевозможными допустимыми управлениями, определим терминального типа функционал (6) Здесь - заданные, дважды непрерывно дифференцируемые скалярные функции. Допустимое управление , доставляющее минимальное значение функционалу (6), при ограничениях (1)-(5), назовем оптимальным управлением, а соответствующий процесс оптимальным процессом. 2. Формула приращения функционала качества Построим формулу приращения функционала качества. Пусть - фиксированный допустимый процесс. Через обозначим произвольный допустимый процесс и запишем приращение (7) функционала качества (6). Ясно, что являются решениями краевых задач (8) (9) (10) (11) Пусть пока произвольные соответственно и m-мерные вектор-функции. Из соотношений (8), (10) получим, что (12) (13) здесь и в дальнейшем штрих для векторов означает скалярное произведение, а для матриц операцию транспонирования. Как видно, в тождествах (12) и (13) индексы суммирования тоже различные. Займемся преобразованием отдельных слагаемых в тождествах (12), (13). Полагая и учитывая краевые условия (9), (11), получим, что (14) (15) (16) Далее аналогично доказывают, что (17) (18) (19) Используя формулу Тейлора, а также тождества (14)-(19), получим, что (20) Так как то, полагая формулу приращения (20) можем записать в виде (21) Если ввести аналоги функции Гамильтона - Понтрягина и предполагать, что удовлетворяет соотношениям (22) (23) с краевыми условиями , , (24) , (25) , то формула приращения (21) критерия качества примет вид (26) Заметим, что соотношения (22), (23) представляют собой двумерные линейные разностные уравнения относительно и с краевыми условиями (24), (25) соответственно. Следуя принятой терминологии [2, 4, 5, 10-12, 15], назовем их сопряженными уравнениями. Построенная формула приращения позволяет как получить дискретный аналог принципа максимума Понтрягина, так и исследовать случай вырождения условия максимума Понтрягина. 3. Необходимое условие оптимальности типа дискретного принципа максимума Как видно, уравнения (8) и (10) являются двумерными линейными неоднородными системами разностных уравнений. Исходя из этого, на основе формулы о представлении решений линейных неоднородных разностных уравнений типа (8), (10) [11, 12] решения краевых задач (8), (9), (10), (11) могут быть представлены в виде (27) (28) Здесь соответственно (n×n)- и (m×m)-мерные матричные функции (аналоги функции Римана), являющиеся решениями матричных разностных уравнений с соответствующими краевыми условиями где - единичные матрицы соответствующих размерностей. В представлениях (13),(14), переходя к норме и используя условие Липшица, получаем следующие оценки: (29) (30) где - некоторые постоянные. Теперь предположим, что множества (31) (32) выпуклы при всех . Пусть - произвольное число, а - произвольная допустимая управляющая функция. Специальное приращение управляющей функции определим по формуле (33) и положим где - произвольный вектор, такой, что (34) Соотношение (30) имеет место в силу выпуклости множества (27). Через обозначим специальное приращение состояния . Из оценок (25), (26) следует, что (35) (36) где - некоторые постоянные, . Учитывая формулы (33), (34) и (35), (36) в формуле (26), получим специальное приращение функционала качества в виде (37) Далее, считая произвольным числом, а произвольной допустимой управляющей функцией, специальное приращение управления определим по формуле (38) и положим где - такая допустимая управляющая функция, что (39) Через обозначим специальное приращение состояния, отвечающее специальному приращению (38) управляющей функции . Из формулы (38) ясно, что , а представление (28) имеет вид Отсюда, переходя к норме и применяя условие Липшица, получим, что (40) где - некоторая постоянная, . С учетом формулы (39) и оценки формулы (32) из формулы (40) получаем, что Полученные разложения в силу произвольности и позволяют сформулировать необходимое условие оптимальности типа дискретного принципа максимума. Теорема 1. Если множества (31) и (32) выпуклы, то для оптимальности допустимого управления в рассматриваемой задаче необходимо, чтобы неравенства выполнялись для всех , соответственно. Доказанная теорема является аналогом дискретного принципа максимума [12-15] для рассматриваемой задачи. 4. Исследование особого случая Как известно [5, 10, 11], условие максимума является необходимым условием оптимальности первого порядка. В этом подразделе изучается случай вырождения дискретного принципа максимума. Определение. Допустимое управление назовем особым (в смысле принципа максимума Понтрягина) управлением [12, 15], если для всех выполняются следующие равенства: Из введенного определения следует, что в случае особых управлений дискретный принцип максимума вырождается и, следовательно, становится неэффективным. Ввиду этого надо иметь новые необходимые условия оптимальности. Из представления (28) с помощью формулы Тейлора получаем, что (41) Теперь займемся преобразованием в формуле (41). Используя представление (27), будем иметь (42) Далее (43) Далее, используя дискретный аналог теоремы Фубини, т.е. меняя порядок суммирования, получаем, что (44) С учетом тождеств (42)-(44) представление (41) записываем в виде (45) Полагая из формулы (45) получаем, что (46) Считая особым оптимальным управлением, его специальное приращение определим аналогично формуле (33). Тогда по формулам (33), (36) из формулы (26) получаем, что (47) Из формул приращения (27), (46) ясно, что (48) (49) Учитывая формулы (48), (49) в формуле (47), получим, что справедливо разложение (50) Из разложения (50), полагая (51) получим, что если - особое оптимальное управление, то Теперь, если предположить, что , а специальное приращение управляющей функции определить по формуле (38), то получим, что в особом случае (52) Полагая из разложения (52) получаем, что если - особое оптимальное управление, то Исходя из формул (51), (52) сформулируем полученный результат. Теорема 2. Если - особое, в смысле принципа максимума Понтрягина, оптимальное управление, то неравенства (53) (54) выполняются для всех соответственно. Заметим, что из соотношений (53), (54), определяя специальным образом, можно получить относительно легко проверяемые необходимые условия оптимальности особых управлений. Но они будут менее информативными. Докажем одно из них. В силу произвольности их определим следующим образом: (55) Здесь - произвольные постоянные векторы, а - произвольные точки. Учитывая формулы (55) в неравенствах (53) и (54) (при в формуле (53), а при в формуле (54)), соответственно получим, что (56) (57) для всех и соответственно. Как видно, необходимые условия оптимальности (56) и (57) являются более слабыми и менее информативными, чем условия оптимальности (53) и (54).

About the authors

T. F Mamedova

Institute of Control Systems of Azerbaijan NAS

References

  1. Васильев О.В., Кириллова Ф.М. Об оптимальных процессах в двухпараметрических дискретных системах // Доклады АН СССР. - 1967. - Т. 175, № 1. - С. 17-19.
  2. Мансимов К.Б. Оптимизация одного класса дискретных двухпараметрических систем // Дифференциальные уравнения. - 1991. - № 2. - С. 213-218.
  3. Степанюк Н.Н. Некоторые задачи управляемости и наблюдаемости двухпараметрических динамических систем // Дифференциальные уравнения. - 1978. - № 12. - С. 2190-2195.
  4. Алиева С.Т. Условия оптимальности в дискретных двухпараметрических граничных задачах управления: автореф. дис. … канд. физ.-мат. наук. - Баку, 2005. - 18 с.
  5. Алиева С.Т., Мансимов К.Б. Об одной дискретной двухпараметрической задаче управления с граничным условием // Вестник Бакинского государственного университета. Серия физико-математических наук. - 2004. - № 4. - С. 13-19.
  6. Мансимов К.Б. Достаточное условие оптимальности типа Кротова для дискретных двухпараметрических систем // Автоматика и телемеханика. - 1985. - № 8. - С. 15-20.
  7. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. - Минск: Четыре четверти, 2011. - 272 с.
  8. Гайшун И.В. Многопараметрические системы управления. - Минск: Наука и техника, 1996. - 200 с.
  9. Дымков М.П. Экстремальные задачи в многопараметрических системах управления / БГЭУ. - Минск, 2005. - 363 с.
  10. Мансимов К.Б., Масталиев Р.О. Оптимизация процессов, описываемых разностными уравнениями Вольтерра. - LAP LAMBERT Publishing RU, 2017. - 263 c.
  11. Мансимов К.Б. Дискретные системы. - Баку: Изд-во БГУ, 2013. - 151 с.
  12. Мансимов К.Б., Марданов М.Дж. Качественная теория задачи оптимального управления системами Гурса - Дарбу. - Баку: Элм, 2010. - 360 с.
  13. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления. - М.: Наука, 1988. - 360 с.
  14. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. - М.: МЦНМО, 2011. - 624 с.
  15. Габасов Р., Кириллова Ф.М. К теории необходимых условий оптимальности в дискретных системах управления // Управляемые системы / Н. ИМСО АН СССР. - М., 1979. - Вып. 28. - С. 14-25.

Statistics

Views

Abstract - 57

PDF (Russian) - 28

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies