ON THE CONTROLLABILITY OF LINEAR EVOLUTIONARY FUNCTIONAL-DIFFERENTIAL SYSTEMS

Abstract


New theorem on the controllability of linear functional-differential system of evolutionary type and algorithm for practical verification of controllability are obtained, which can be applied even in the case when the coefficients of system are not continuously differentiable over the time interval under consideration. Special cases of this system are nonstationary systems with distributed and concentrated delay, integro-differential systems with a Voltaire integral and ordinary differential systems. The main results obtained are formulated in the form of 12 theorems and 3 corollaries. On their basis an algorithm for practical verification of the controllability of the system under consideration using a computer is built. Examples illustrating the operability of the obtained theorems and the algorithm are given. The algorithm is implemented in the Maple 17 package for examples of second-order differential systems with delay.

Full Text

Введение Рассматривается вопрос о разрешимости основной задачи управления (об управляемости) для линейной функционально-дифференциальной системы эволюционного типа (1), в виде которой можно записать обыкновенную линейную нестационарную дифференциальную систему, интегро-дифференциальную систему с вольтерровским оператором, дифференциальную систему с распределенным запаздыванием и нестационарную дифференциальную систему с сосредоточенным запаздыванием. Разным частным видам системы (1) посвящено много работ [1-4], в которых получены эффективные условия управляемости при условиях достаточной гладкости коэффициентов и запаздываний. Но если эти коэффициенты не дифференцируемы, то возникает проблема получения условий управляемости таких систем. Ввиду этого вопрос об управляемости и получении практических алгоритмов для его решения в этом случае является актуальным. В этой статье доказываются новые теоремы об управляемости системы (1) и алгоритм практического выявления управляемости, вытекающий из этих теорем. 1. Постановка задачи и краткий обзор известных результатов Пусть - пространство -мерных векторов, компонентами которых являются действительные числа; - пространство -мерных вектор-функций, компоненты которых суммируемы в степени на отрезке ; - пространство -мерных вектор-функций, измеримых и ограниченных в существенном на отрезке ; - пространство -мерных, абсолютно непрерывных на отрезке вектор-функций с производной из ; - символ транспонирования векторов и матриц; , , - нормы для числовой -матрицы . Рассмотрим линейную функционально-дифференциальную [5] систему (1) в следующих предположениях: - -матрица, определенная при , элементы которой при почти каждом суммируемы по на отрезке и при почти каждом ограничены в существенном по на отрезке - -матрица со столбцами из ; - -матрица со столбцами из ; - ограниченный интегральный оператор; - ограниченный оператор. Решение системы (1) - вектор-функция , удовлетворяющая условию (1) почти всюду на отрезке . Замечание 1. В виде системы (1) можно записать обыкновенную линейную динамическую систему, линейную нестационарную систему с сосредоточенными запаздываниями и систему с распределенным запаздыванием [5-9]. Основная задача управления для системы (1) формулируется следующим образом: по заданным , найти такое управление , при котором решение системы (1) с начальным условием удовлетворяет конечному условию . Определение 1. Систему (1) назовем управляемой, если основная задача управления разрешима для любых , , . Приведем основные известные признаки управляемости для частных случаев системы (1). 1. В случае обыкновенной линейной стационарной системы где для управляемости необходимо и достаточно, чтобы ранг составной -матрицы был равен . Это критерий Р. Калмана [1]. 2. Обыкновенная линейная нестационарная система (2) где (в предположении непрерывности производной матриц и по ), управляема, если при некотором ранг составной матрицы равен , где Это достаточный признак управляемости Н.Н. Красовского [2]. 3. Система (2) управляема тогда и только тогда, когда , где а - матрица Коши системы (2). Это критерий Р. Калмана [1]. 4. Система (2) управляема тогда и только тогда, когда краевая задача где имеет только тривиальное решение . Этот критерий сформулирован Е.Л. Тонковым в 1975 г. [10]. 5. Линейная стационарная система с запаздыванием управляема тогда и только тогда, когда ранг составной матрицы равен , где целая часть отношения . Это критерий Р.Ф. Габасова, Ф.М. Кирилловой [3]. 6. Линейная нестационарная система с запаздыванием (в предположении, что матрицы и вектор имеют непрерывную производную порядка по ), управляема, если найдется такое , что ранг матрицы равен , где составная матрица вида а Это достаточный признак управляемости Р.Ф. Габасова, Ф.М. Кирилловой, который распространен и на случай непостоянного запаздывания [3, 4]. Аналогичные признаки управляемости получены учениками и аспирантами Р.Ф. Габасова и Ф.М. Кирилловой для разных видов систем с запаздыванием [11]. 7. Рассмотрим систему с распределенным запаздыванием (3) где интеграл в правой части этого уравнения понимается в смысле Лебега - Стилтьеса. Эта система управляема тогда и только тогда, когда найдется такая -матрица , что и единица не является точкой спектра оператора где а -матрица, которая является решением уравнения , или уравнения . Систему (3) можно записать в виде системы (1), если положить Этот критерий управляемости получен в 1975 г. на основе W-метода Н.В. Азбелева [7, 12, 13]. Замечание 2. Результаты по управляемости нелинейных функционально-дифференциальных систем можно найти в работе [14]. 2. Основные полученные результаты Решение системы (1) с начальным условием представимо по формуле Коши (4) где , а -матрица Коши, определяемая равенством . (5) Здесь - единичная -матрица, а ядро резольвенты для оператора , т.е. решение интегрального уравнения представимо в виде , где [15]. В силу формулы (5) матрица Коши удовлетворяет уравнению (6) (о матрице Коши для функционально-дифференциальных систем можно прочитать в источниках [5-9]). Введем обозначения: , , где , ( ) - последовательные приближения к матрице Коши (при ). По аналогии с работой [1] можно сформулировать критерий управляемости в виде следующей теоремы. Теорема 1. Система (1) управляема тогда и только тогда, когда . Следствие 1. Система (1) управляема тогда и только тогда, когда строки -матрицы линейно независимы на отрезке . Доказательство. Матрица является матрицей Грамма для строк матрицы , следовательно, тогда и только тогда, когда строки матрицы линейно независимы на отрезке . Но эти признаки управляемости неявные, так как выражены через матрицу Коши, а не через параметры исходной системы. А более явный критерий дает следующая теорема. Теорема 2. Если существует такая положительная константа , что при , то система (1) управляема тогда и только тогда, когда найдется такой номер , что и выполнится неравенство , (7) где , - матрица, обратная к . Доказательство. Достаточность: пусть нашелся такой номер , что и выполняется неравенство (7). Поскольку последовательность матриц сходится к матрице Коши при , то, согласно источнику [15], при почти всех справедливы неравенства: (8) Отсюда имеем следовательно, в силу неравенства (5) имеем . Далее: в силу теоремы Банаха [16] матрица обратима, следовательно, , и по теореме 1 система (1) управляема. Достаточность доказана. Необходимость: пусть система (1) управляема, тогда , а поскольку при , существует такой номер , что при всех , где . Далее: при всех , следовательно, и . Отсюда при всех . Далее: так как при , то существует такой номер , что и при всех , где . И наконец, так как при , существует такой номер , что , и при всех . Отсюда и при всех . Далее: при всех , следовательно, найдется такой номер , что и . Таким образом, необходимость и вся теорема доказаны. Замечание 3. Эта теорема была сформулирована в источнике [17] без доказательства, в несколько более общем виде. Более подробное изложение результатов авторов об управляемости систем вида (1) см. в работе [12]. Следствие 2. Если (при ), и , где то система (1) управляема. Это следствие получается из теоремы 2 при . Пример 1. Рассмотрим систему где Эту систему можно записать в виде системы (1), если положить , , где причем а . Очевидно, выполняется неравенство поэтому (в силу следствия 2) эта система управляема. Теорема 3. Если найдется такой номер , что строки составной -матрицы линейно зависимы на отрезке , то система (1) неуправляема. Доказательство. В силу формул (3),(4) матрица Коши представима в виде где поэтому Далее: если выполняется условие теоремы, то существует такой вектор , что и при почти всех . Следовательно, и для почти всех , поэтому строки матрицы линейно зависимы на отрезке и система (1), согласно следствию 1, неуправляема. Теорема доказана. Следствие 3. Если строки составной -матрицы линейно зависимы на отрезке , то система (1) неуправляема. Доказательство: это утверждение получается из теоремы 3 при . Пример 2. Рассмотрим систему второго порядка с запаздыванием где . Эту систему можно записать в виде системы (1), где , Очевидно, что при выполняются равенства для всех Таким образом, в силу следствия 3 эта система неуправляема. Пример закончен. Если можно построить некоторое приближение к матрице Коши другим способом, причем почти при всех , то имеет место: Теорема 4. Если и , где то система (1) управляема. Доказательство. При этих условиях по аналогии с теоремой 2 доказывается неравенство , следовательно, выполняется неравенство . Далее: в силу теоремы Банаха из обратимости матрицы вытекает обратимость матрицы и неравенство . Следовательно, по теореме 1 система (1) управляема, что и требовалось доказать. Из этой теоремы вытекает следующий критерий управляемости. Теорема 5. Система (1) управляема тогда и только тогда, когда найдется такая -матрица , что и , где Доказательство. Достаточность доказывается так же, как теорема 4. Необходимость доказывается, если положить . Теорема доказана. Эту теорему иллюстрирует следующий пример. Пример 3. Рассмотрим систему второго порядка с запаздыванием где Эту систему можно записать в виде системы (1), если положить , , где причем Возьмем , тогда , и при выполняется неравенство . Следовательно, эта система управляема. Лемма. Для числовых -матриц и имеет место неравенство , где - одна из введенных ранее норм матрицы , , и - алгебраические дополнения элементов и матриц и соответственно. Доказательство. Введем обозначения , тогда по формуле конечных приращений (теорема о среднем) , где - матрица, элементы которой имеют вид , но и следовательно, Аналогичную оценку можно получить и для других норм в пространстве числовых -матриц. Лемма доказана. Теорема 6. Система (1) управляема тогда и только тогда, когда найдется такой номер , что выполняется неравенство , где алгебраические дополнения элементов матриц и . Доказательство. Достаточность: пусть выполняется неравенство . В силу условий этой теоремы и леммы имеют место неравенства и следовательно, , и система (1) управляема. Необходимость: пусть система (1) управляема, тогда , а условие (от противного) не выполняется для любого , т.е. для любого : . Тогда , причем , следовательно, - противоречие. Исходя из этого, если система управляема, то при некотором . Необходимость и вся теорема доказаны. Теорема 7. Если матрица абсолютно непрерывна по при почти всех , то система (1) управляема тогда и только тогда, когда краевая задача (9) имеет только тривиальное решение . Доказательство. В силу формулы (4) решение краевой задачи (9) имеет вид , где а . Это решение тривиально тогда и только тогда, когда А в силу условия равенство выполняется тогда и только тогда, когда т.е. когда система (1) управляема. Теорема доказана. Замечание 4. Эта теорема обобщает критерий, сформулированный Е.Л. Тонковым для обыкновенных дифференциальных систем в работе [10]. На ее основе можно получать коэффициентные признаки управляемости с помощью упомянутого ранее W-метода Н.В. Азбелева и других теорем об однозначной разрешимости краевых задач [7-9]. Теорема 8. Если и , где , то система (1) управляема. Доказательство. Будем строить искомое управление в виде где , тогда . Интегрируя обе части этого уравнения от до , получаем В силу условия имеем уравнение Решая это уравнение относительно , получаем . Далее, подставляя это выражение в исходную систему, получаем интегро-дифференциальное уравнение где а . В силу условий теоремы 8, которые достаточны для применения упомянутой выше теоремы Банаха из источника [16], это интегро-дифференциальное уравнение имеет единственное решение для любого и при (где определено выше) соответствующее решение системы (1) удовлетворяет условиям . Следовательно, система (1) управляема. Теорема доказана. При построении алгоритма для практического (компьютерного) выяснения вопроса об управляемости системы (1) нам понадобится: Определение 2. Систему (1) назовем практически неуправляемой, если , где «машинный ноль». Замечание 5. Очевидно, что если система (1) неуправляема согласно теореме 1, то она практически неуправляема. Замечание 6. Если система (1) практически неуправляема, то определитель матрицы очень близок к нулю, поэтому невозможно корректно с помощью персонального компьютера вычислить искомое управление, так как соответствующая линейная алгебраическая система плохо обусловлена. Замечание 7. Величина это такое достаточно малое положительное число, что если , то число компьютер считает равным нулю. Пусть далее и - алгебраические дополнения соответствующих элементов матриц и , а - величина оценки близости матриц и из теоремы 4. Тогда имеет место: Теорема 9. Если и , то система (1) управляема. Доказательство. При этих условиях имеют место неравенства . Отсюда и далее . Следовательно, (т.е. ) и система (1) управляема. Теорема доказана. Теорема 10. Если и , то система (1) практически неуправляема. Доказательство. Пусть а , тогда и , следовательно, , т.е. и система (1) практически неуправляема. Теорема доказана. Теорема 11. Если и при некотором , где определяется согласно теореме 6, то система (1) практически неуправляема. Доказательство. В силу теоремы 6 имеет место неравенство , а в силу условий теоремы 11 , следовательно, выполняются условия теоремы 10 при . Ввиду этого система (1) практически неуправляема. Теорема доказана. Теорема 12. Если и , то система (1) управляема. Доказательство. В силу условий теоремы справедливы неравенства , т.е. , следовательно, система (1) управляема. Теорема доказана. Таким образом, для выяснения вопроса об управляемости системы (1) нужно построить достаточно точное приближение к матрице (или к ) и проверить условие . Эта простая идея в сочетании с полученными теоремами приводит к следующим алгоритму и результатам. Алгоритм № 1 1. Вычислить постоянную , при которой для . 2. Положить . 3. Вычислить , , и . 4. Проверить неравенство . Если оно выполняется, то перейти к п. 5, а если нет, то перейти к п. 7. 5. Вычислить и . 6. Проверить неравенство . Если оно выполняется, то выдать ответ «система (1) управляема» и перейти к п. 9, а если нет, то перейти к п. 7. 7. Проверить неравенство . Если оно выполняется, то выдать ответ «система (1) управляема» и перейти к п. 9, а если нет, то перейти к п. 8. 8. Проверить неравенство . Если оно выполняется, то выдать ответ «система (1) практически неуправляема» и перейти к п. 9, а если нет, то положить , где предыдущее значение , и перейти к п. 3. 9. Конец. Замечание 8. Если через обозначить минимальное , при котором выполняется неравенство , то либо , либо и в силу теорем 6, 10 и 12 система (1) либо управляема, либо практически неуправляема, т.е. счет по алгоритму № 1 заканчивается через конечное число итераций, которое не превосходит . По этому алгоритму просчитаны следующие примеры. Пример 4. Рассмотрим линейную дифференциальную систему с запаздыванием: (10) где Эту систему можно записать в виде системы (1), где Система (10) управляема, по теореме 2, так как и при . Пример 5. Рассмотрим систему (10), где Эту систему можно записать в виде системы (1) (так же, как в примере 4), и она управляема (в силу теоремы 6), так как при . Пример 6. Рассмотрим систему (10), где Если записать эту систему в виде системы (1), то Как и в примере 4. Эта система практически неуправляема, по теореме 11, так как и при , где . Пример 7. Рассмотрим систему где Несмотря на то, что строки матрицы (вектора) линейно независимы, эта система практически неуправляема, по теореме 11, так как и при и . Замечание 9. Для этих примеров сделана программа в пакете Maple 17, которая реализует алгоритм № 1 и аналитически вычисляет последовательные приближения к матрицам Коши для рассматриваемых систем. Замечание 10. Можно упростить алгоритм № 1, убрав проверку условий теоремы 2, но в этом случае может увеличиться число итераций для получения окончательного ответа на поставленный вопрос. Заключение Здесь получены теоремы о разрешимости основной задачи управления (управляемости) для систем вида (1) и алгоритм для практического выявления управляемости этих систем. Этот алгоритм позволяет выяснить, управляема система или нет (практически) даже в случае, когда коэффициенты системы не являются непрерывно дифференцируемыми на рассматриваемом отрезке времени. Иными словами, этот алгоритм можно использовать для эффективного решения вопроса об управляемости систем, которые записываются в виде системы (1).

About the authors

S. Iu Kultyshev

Perm National Research Polytechnic University

L. M Kultysheva

Perm National Research Polytechnic University

References

  1. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. - М.: Мир, 1971. - 400 с.
  2. Красовский Н.Н. Теория управления движением. - М.: Наука, 1968. - 476 с.
  3. Габасов Р.Ф, Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. - М.: Наука, 1971. - 508 с.
  4. Кириллова Ф.М., Чуракова С.В. Относительная управляемость линейных динамических систем с запаздыванием // Доклады АН СССР. - 1967. - Т. 174, № 6. - С. 1260-1263.
  5. Азбелев Н.В., Березанский Л.М., Рахматуллина Л.Ф. О линейном функционально-дифференциальном уравнении эволюционного типа // Дифференциальные уравнения. - 1977. - Т. 13, № 11. - С. 1915-1925.
  6. Максимов В.П. О формуле Коши для функционально-дифференциального уравнения // Дифференциальные уравнения. - 1977. - Т. 13, № 4. - С. 601-606.
  7. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. - М.: Наука: Гл. ред. физ.-мат. лит, 1991. - 280 с.
  8. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения / Ин-т комп. исслед. - М., 2002. - 384 с.
  9. Максимов В.П. Вопросы общей теории функционально-дифференциальных уравнений / Перм. гос. ун-т. - Пермь, 2003. - 306 с.
  10. Култышев С.Ю., Тонков Е.Л. Управляемость линейной нестационарной системы // Дифференциальные уравнения. - 1975. - Т. 11, № 7. - С. 1206-1216.
  11. Марченко В.М., Поддубная О.Н. Линейные стационарные дифференциально-алгебраические системы. II. Относительная управляемость // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2006. - № 6. - С. 14-28.
  12. Култышев С.Ю., Култышева Л.М. Об управляемости линейных функционально-дифференциальных систем в пространствах (D, L). - Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2008. - 15 с.
  13. Култышев С.Ю. Об управляемости линейных функционально-дифференциальных систем // Дифференциальные уравнения. - 1975. - Т. 11, № 8. - С. 1355-1360.
  14. Култышев С.Ю., Максимов В.П. Управляемость нелинейных функционально-дифференциальных систем // Краевые задачи: межвуз. сб. науч. тр. - Пермь: Изд-во Перм. политехн. ин-та, 1982. - С. 12-18.
  15. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и нтегро-дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1982. - 304 с.
  16. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. - М: Наука, 1984. - 752 с.
  17. Култышев С.Ю. Об управляемости линейных функционально-дифференциальных систем // Функционально-дифференциальные уравнения и краевые задачи математической физики. - Пермь: Изд-во Перм. политехн. ин-та, 1978. - С. 174-178.

Statistics

Views

Abstract - 27

PDF (Russian) - 5

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies