Full Text

Введение Рассматривается вопрос о разрешимости основной задачи управления (об управляемости) для линейной функционально-дифференциальной системы эволюционного типа (1), в виде которой можно записать обыкновенную линейную нестационарную дифференциальную систему, интегро-дифференциальную систему с вольтерровским оператором, дифференциальную систему с распределенным запаздыванием и нестационарную дифференциальную систему с сосредоточенным запаздыванием. Разным частным видам системы (1) посвящено много работ [1-4], в которых получены эффективные условия управляемости при условиях достаточной гладкости коэффициентов и запаздываний. Но если эти коэффициенты не дифференцируемы, то возникает проблема получения условий управляемости таких систем. Ввиду этого вопрос об управляемости и получении практических алгоритмов для его решения в этом случае является актуальным. В этой статье доказываются новые теоремы об управляемости системы (1) и алгоритм практического выявления управляемости, вытекающий из этих теорем. 1. Постановка задачи и краткий обзор известных результатов Пусть - пространство -мерных векторов, компонентами которых являются действительные числа; - пространство -мерных вектор-функций, компоненты которых суммируемы в степени на отрезке ; - пространство -мерных вектор-функций, измеримых и ограниченных в существенном на отрезке ; - пространство -мерных, абсолютно непрерывных на отрезке вектор-функций с производной из ; - символ транспонирования векторов и матриц; , , - нормы для числовой -матрицы . Рассмотрим линейную функционально-дифференциальную [5] систему (1) в следующих предположениях: - -матрица, определенная при , элементы которой при почти каждом суммируемы по на отрезке и при почти каждом ограничены в существенном по на отрезке - -матрица со столбцами из ; - -матрица со столбцами из ; - ограниченный интегральный оператор; - ограниченный оператор. Решение системы (1) - вектор-функция , удовлетворяющая условию (1) почти всюду на отрезке . Замечание 1. В виде системы (1) можно записать обыкновенную линейную динамическую систему, линейную нестационарную систему с сосредоточенными запаздываниями и систему с распределенным запаздыванием [5-9]. Основная задача управления для системы (1) формулируется следующим образом: по заданным , найти такое управление , при котором решение системы (1) с начальным условием удовлетворяет конечному условию . Определение 1. Систему (1) назовем управляемой, если основная задача управления разрешима для любых , , . Приведем основные известные признаки управляемости для частных случаев системы (1). 1. В случае обыкновенной линейной стационарной системы где для управляемости необходимо и достаточно, чтобы ранг составной -матрицы был равен . Это критерий Р. Калмана [1]. 2. Обыкновенная линейная нестационарная система (2) где (в предположении непрерывности производной матриц и по ), управляема, если при некотором ранг составной матрицы равен , где Это достаточный признак управляемости Н.Н. Красовского [2]. 3. Система (2) управляема тогда и только тогда, когда , где а - матрица Коши системы (2). Это критерий Р. Калмана [1]. 4. Система (2) управляема тогда и только тогда, когда краевая задача где имеет только тривиальное решение . Этот критерий сформулирован Е.Л. Тонковым в 1975 г. [10]. 5. Линейная стационарная система с запаздыванием управляема тогда и только тогда, когда ранг составной матрицы равен , где целая часть отношения . Это критерий Р.Ф. Габасова, Ф.М. Кирилловой [3]. 6. Линейная нестационарная система с запаздыванием (в предположении, что матрицы и вектор имеют непрерывную производную порядка по ), управляема, если найдется такое , что ранг матрицы равен , где составная матрица вида а Это достаточный признак управляемости Р.Ф. Габасова, Ф.М. Кирилловой, который распространен и на случай непостоянного запаздывания [3, 4]. Аналогичные признаки управляемости получены учениками и аспирантами Р.Ф. Габасова и Ф.М. Кирилловой для разных видов систем с запаздыванием [11]. 7. Рассмотрим систему с распределенным запаздыванием (3) где интеграл в правой части этого уравнения понимается в смысле Лебега - Стилтьеса. Эта система управляема тогда и только тогда, когда найдется такая -матрица , что и единица не является точкой спектра оператора где а -матрица, которая является решением уравнения , или уравнения . Систему (3) можно записать в виде системы (1), если положить Этот критерий управляемости получен в 1975 г. на основе W-метода Н.В. Азбелева [7, 12, 13]. Замечание 2. Результаты по управляемости нелинейных функционально-дифференциальных систем можно найти в работе [14]. 2. Основные полученные результаты Решение системы (1) с начальным условием представимо по формуле Коши (4) где , а -матрица Коши, определяемая равенством . (5) Здесь - единичная -матрица, а ядро резольвенты для оператора , т.е. решение интегрального уравнения представимо в виде , где [15]. В силу формулы (5) матрица Коши удовлетворяет уравнению (6) (о матрице Коши для функционально-дифференциальных систем можно прочитать в источниках [5-9]). Введем обозначения: , , где , ( ) - последовательные приближения к матрице Коши (при ). По аналогии с работой [1] можно сформулировать критерий управляемости в виде следующей теоремы. Теорема 1. Система (1) управляема тогда и только тогда, когда . Следствие 1. Система (1) управляема тогда и только тогда, когда строки -матрицы линейно независимы на отрезке . Доказательство. Матрица является матрицей Грамма для строк матрицы , следовательно, тогда и только тогда, когда строки матрицы линейно независимы на отрезке . Но эти признаки управляемости неявные, так как выражены через матрицу Коши, а не через параметры исходной системы. А более явный критерий дает следующая теорема. Теорема 2. Если существует такая положительная константа , что при , то система (1) управляема тогда и только тогда, когда найдется такой номер , что и выполнится неравенство , (7) где , - матрица, обратная к . Доказательство. Достаточность: пусть нашелся такой номер , что и выполняется неравенство (7). Поскольку последовательность матриц сходится к матрице Коши при , то, согласно источнику [15], при почти всех справедливы неравенства: (8) Отсюда имеем следовательно, в силу неравенства (5) имеем . Далее: в силу теоремы Банаха [16] матрица обратима, следовательно, , и по теореме 1 система (1) управляема. Достаточность доказана. Необходимость: пусть система (1) управляема, тогда , а поскольку при , существует такой номер , что при всех , где . Далее: при всех , следовательно, и . Отсюда при всех . Далее: так как при , то существует такой номер , что и при всех , где . И наконец, так как при , существует такой номер , что , и при всех . Отсюда и при всех . Далее: при всех , следовательно, найдется такой номер , что и . Таким образом, необходимость и вся теорема доказаны. Замечание 3. Эта теорема была сформулирована в источнике [17] без доказательства, в несколько более общем виде. Более подробное изложение результатов авторов об управляемости систем вида (1) см. в работе [12]. Следствие 2. Если (при ), и , где то система (1) управляема. Это следствие получается из теоремы 2 при . Пример 1. Рассмотрим систему где Эту систему можно записать в виде системы (1), если положить , , где причем а . Очевидно, выполняется неравенство поэтому (в силу следствия 2) эта система управляема. Теорема 3. Если найдется такой номер , что строки составной -матрицы линейно зависимы на отрезке , то система (1) неуправляема. Доказательство. В силу формул (3),(4) матрица Коши представима в виде где поэтому Далее: если выполняется условие теоремы, то существует такой вектор , что и при почти всех . Следовательно, и для почти всех , поэтому строки матрицы линейно зависимы на отрезке и система (1), согласно следствию 1, неуправляема. Теорема доказана. Следствие 3. Если строки составной -матрицы линейно зависимы на отрезке , то система (1) неуправляема. Доказательство: это утверждение получается из теоремы 3 при . Пример 2. Рассмотрим систему второго порядка с запаздыванием где . Эту систему можно записать в виде системы (1), где , Очевидно, что при выполняются равенства для всех Таким образом, в силу следствия 3 эта система неуправляема. Пример закончен. Если можно построить некоторое приближение к матрице Коши другим способом, причем почти при всех , то имеет место: Теорема 4. Если и , где то система (1) управляема. Доказательство. При этих условиях по аналогии с теоремой 2 доказывается неравенство , следовательно, выполняется неравенство . Далее: в силу теоремы Банаха из обратимости матрицы вытекает обратимость матрицы и неравенство . Следовательно, по теореме 1 система (1) управляема, что и требовалось доказать. Из этой теоремы вытекает следующий критерий управляемости. Теорема 5. Система (1) управляема тогда и только тогда, когда найдется такая -матрица , что и , где Доказательство. Достаточность доказывается так же, как теорема 4. Необходимость доказывается, если положить . Теорема доказана. Эту теорему иллюстрирует следующий пример. Пример 3. Рассмотрим систему второго порядка с запаздыванием где Эту систему можно записать в виде системы (1), если положить , , где причем Возьмем , тогда , и при выполняется неравенство . Следовательно, эта система управляема. Лемма. Для числовых -матриц и имеет место неравенство , где - одна из введенных ранее норм матрицы , , и - алгебраические дополнения элементов и матриц и соответственно. Доказательство. Введем обозначения , тогда по формуле конечных приращений (теорема о среднем) , где - матрица, элементы которой имеют вид , но и следовательно, Аналогичную оценку можно получить и для других норм в пространстве числовых -матриц. Лемма доказана. Теорема 6. Система (1) управляема тогда и только тогда, когда найдется такой номер , что выполняется неравенство , где алгебраические дополнения элементов матриц и . Доказательство. Достаточность: пусть выполняется неравенство . В силу условий этой теоремы и леммы имеют место неравенства и следовательно, , и система (1) управляема. Необходимость: пусть система (1) управляема, тогда , а условие (от противного) не выполняется для любого , т.е. для любого : . Тогда , причем , следовательно, - противоречие. Исходя из этого, если система управляема, то при некотором . Необходимость и вся теорема доказаны. Теорема 7. Если матрица абсолютно непрерывна по при почти всех , то система (1) управляема тогда и только тогда, когда краевая задача (9) имеет только тривиальное решение . Доказательство. В силу формулы (4) решение краевой задачи (9) имеет вид , где а . Это решение тривиально тогда и только тогда, когда А в силу условия равенство выполняется тогда и только тогда, когда т.е. когда система (1) управляема. Теорема доказана. Замечание 4. Эта теорема обобщает критерий, сформулированный Е.Л. Тонковым для обыкновенных дифференциальных систем в работе [10]. На ее основе можно получать коэффициентные признаки управляемости с помощью упомянутого ранее W-метода Н.В. Азбелева и других теорем об однозначной разрешимости краевых задач [7-9]. Теорема 8. Если и , где , то система (1) управляема. Доказательство. Будем строить искомое управление в виде где , тогда . Интегрируя обе части этого уравнения от до , получаем В силу условия имеем уравнение Решая это уравнение относительно , получаем . Далее, подставляя это выражение в исходную систему, получаем интегро-дифференциальное уравнение где а . В силу условий теоремы 8, которые достаточны для применения упомянутой выше теоремы Банаха из источника [16], это интегро-дифференциальное уравнение имеет единственное решение для любого и при (где определено выше) соответствующее решение системы (1) удовлетворяет условиям . Следовательно, система (1) управляема. Теорема доказана. При построении алгоритма для практического (компьютерного) выяснения вопроса об управляемости системы (1) нам понадобится: Определение 2. Систему (1) назовем практически неуправляемой, если , где «машинный ноль». Замечание 5. Очевидно, что если система (1) неуправляема согласно теореме 1, то она практически неуправляема. Замечание 6. Если система (1) практически неуправляема, то определитель матрицы очень близок к нулю, поэтому невозможно корректно с помощью персонального компьютера вычислить искомое управление, так как соответствующая линейная алгебраическая система плохо обусловлена. Замечание 7. Величина это такое достаточно малое положительное число, что если , то число компьютер считает равным нулю. Пусть далее и - алгебраические дополнения соответствующих элементов матриц и , а - величина оценки близости матриц и из теоремы 4. Тогда имеет место: Теорема 9. Если и , то система (1) управляема. Доказательство. При этих условиях имеют место неравенства . Отсюда и далее . Следовательно, (т.е. ) и система (1) управляема. Теорема доказана. Теорема 10. Если и , то система (1) практически неуправляема. Доказательство. Пусть а , тогда и , следовательно, , т.е. и система (1) практически неуправляема. Теорема доказана. Теорема 11. Если и при некотором , где определяется согласно теореме 6, то система (1) практически неуправляема. Доказательство. В силу теоремы 6 имеет место неравенство , а в силу условий теоремы 11 , следовательно, выполняются условия теоремы 10 при . Ввиду этого система (1) практически неуправляема. Теорема доказана. Теорема 12. Если и , то система (1) управляема. Доказательство. В силу условий теоремы справедливы неравенства , т.е. , следовательно, система (1) управляема. Теорема доказана. Таким образом, для выяснения вопроса об управляемости системы (1) нужно построить достаточно точное приближение к матрице (или к ) и проверить условие . Эта простая идея в сочетании с полученными теоремами приводит к следующим алгоритму и результатам. Алгоритм № 1 1. Вычислить постоянную , при которой для . 2. Положить . 3. Вычислить , , и . 4. Проверить неравенство . Если оно выполняется, то перейти к п. 5, а если нет, то перейти к п. 7. 5. Вычислить и . 6. Проверить неравенство . Если оно выполняется, то выдать ответ «система (1) управляема» и перейти к п. 9, а если нет, то перейти к п. 7. 7. Проверить неравенство . Если оно выполняется, то выдать ответ «система (1) управляема» и перейти к п. 9, а если нет, то перейти к п. 8. 8. Проверить неравенство . Если оно выполняется, то выдать ответ «система (1) практически неуправляема» и перейти к п. 9, а если нет, то положить , где предыдущее значение , и перейти к п. 3. 9. Конец. Замечание 8. Если через обозначить минимальное , при котором выполняется неравенство , то либо , либо и в силу теорем 6, 10 и 12 система (1) либо управляема, либо практически неуправляема, т.е. счет по алгоритму № 1 заканчивается через конечное число итераций, которое не превосходит . По этому алгоритму просчитаны следующие примеры. Пример 4. Рассмотрим линейную дифференциальную систему с запаздыванием: (10) где Эту систему можно записать в виде системы (1), где Система (10) управляема, по теореме 2, так как и при . Пример 5. Рассмотрим систему (10), где Эту систему можно записать в виде системы (1) (так же, как в примере 4), и она управляема (в силу теоремы 6), так как при . Пример 6. Рассмотрим систему (10), где Если записать эту систему в виде системы (1), то Как и в примере 4. Эта система практически неуправляема, по теореме 11, так как и при , где . Пример 7. Рассмотрим систему где Несмотря на то, что строки матрицы (вектора) линейно независимы, эта система практически неуправляема, по теореме 11, так как и при и . Замечание 9. Для этих примеров сделана программа в пакете Maple 17, которая реализует алгоритм № 1 и аналитически вычисляет последовательные приближения к матрицам Коши для рассматриваемых систем. Замечание 10. Можно упростить алгоритм № 1, убрав проверку условий теоремы 2, но в этом случае может увеличиться число итераций для получения окончательного ответа на поставленный вопрос. Заключение Здесь получены теоремы о разрешимости основной задачи управления (управляемости) для систем вида (1) и алгоритм для практического выявления управляемости этих систем. Этот алгоритм позволяет выяснить, управляема система или нет (практически) даже в случае, когда коэффициенты системы не являются непрерывно дифференцируемыми на рассматриваемом отрезке времени. Иными словами, этот алгоритм можно использовать для эффективного решения вопроса об управляемости систем, которые записываются в виде системы (1).

About the authors

S. Iu Kultyshev

Perm National Research Polytechnic University

L. M Kultysheva

Perm National Research Polytechnic University

References

Statistics

Views

Abstract - 54

PDF (Russian) - 25

Refbacks

• There are currently no refbacks.