Full Text

Введение Предельные теоремы составляют основу современной теории вероятностей. Среди них особое место по важности практического применения занимает центральная предельная теорема (ЦПТ). Она позволяет решать многие задачи в экономических, социальных, технических, военных, медицинских, биологических системах, где рассматриваются суммы случайных величин. Примерами применения ЦПТ являются: 1) обоснование результатов измерений и наблюдений; 2) моделирование действия многих факторов на изучаемый процесс или явление; 3) статистическая теория принятия решений; 4) оценка рисков, управление рисками; 5) организация страхования; 6) выборочный контроль и оценка качества продукции; 7) социологические исследования. В научных публикациях рассматриваются преимущественно две проблемы ЦПТ: асимптотическое поведение распределений суммы случайных величин, например в работах [1-3], и скорость сходимости к предельному закону [4-6]. Новыми направлениями в данной области знаний являются исследование сумм зависимых случайных величин и функций от них [7], обоснование многомерной центральной предельной теоремы для зависимых случайных векторов [8], рассмотрение предельных теорем для случайных матриц с зависимыми элементами [9]. Методология проверки адекватности центральной предельной теоремы на основе связи этой теоремы и теоремы Бернулли изложена в статье [10]. Один важный для практики вопрос не нашел должного простого теоретического обоснования. Речь идет об оценке числа слагаемых центральной предельной теоремы так, чтобы сумма была распределена по нормальному закону. Эта задача решается в работах [11-13] путем моделирования на больших наборах данных. В работе [11] отмечается, что при использовании трех слагаемых график плотности вероятности начинает приближаться к нормальному; при 30 и более слагаемых график плотности вероятности близок к теоретическому. Дальнейшее увеличение не приводит к существенным изменениям характеристик. Целью данной работы является теоретическая оценка числа слагаемых центральной предельной теоремы, необходимых для того, чтобы сумма имела нормальный закон распределения вероятностей. 1. Постановка задачи оценки числа слагаемых центральной предельной теоремы В прикладной области часто возникает задача оценки числа слагаемых случайных величин для суммарного нормального закона распределения или выборочной средней, имеющей нормальное распределение. Это может быть оценка необходимого числа вопросов для проверки знаний обучаемых при тестировании, определение числа экспертов для формирования обоснованной коллективной оценки, задание числа выборочных проверок при контроле качества продукции и т.д. В теоретических аспектах это формулируется следующим образом: для достаточно большого числа слагаемых n при определенных условиях сумма или средняя выборочная будет иметь нормальное распределение. Однако это звучит очень неопределенно. В работах [14, 15] конкретизируется, что, как показывает практика, уже при n = 10 суммарное распределение будет нормальным. В связи с этим возникает задача оценки числа n, например в виде функциональной зависимости n от параметров, связанных с описанием закона распределения суммы или средней выборочной. 2. Основные теоремы и следствия Докажем следующее утверждение. Теорема 1. При сложении n независимых слагаемых случайных величин, имеющих одинаковые математические ожидания и дисперсии их средняя выборочная будет иметь с точностью нормальный закон распределения при Здесь символ означает целую часть числа . Доказательство. Оценим значение с использованием метода характеристических функций. Не нарушая общности, рассмотрим непрерывные случайные величины. Обозначим через характеристическую функцию случайной величины . Здесь t - значение некоторой случайной величины T. Как будет показано далее, случайная величина будет иметь нормальное распределение с и Характеристическая функция случайной величины запишется в виде (1) так как величины независимы. Не нарушая общности, можно положить, . Будем считать, что Если это не так, то вместо будем рассматривать случайную величину . Очевидно если будет иметь нормальное распределение, то также будет иметь нормальное распределение. Представим функцию рядом Маклорена. Имеем Найдем вторую производную: . Найдем остаточную сумму ряда : . Поскольку получаем Следовательно, . Тогда . (2) Считаем, что и . Это допущение необходимо для определения функции . Следовательно, . (3) Прологарифмируем выражение (2): . Разложим полученное выражение в ряд Маклорена: Погрешность данного ряда не превосходит величины , (4) так как Потребуем, чтобы в формуле (4) при выполнялось условие , где - сколь угодно малое положительное число. Поскольку , . Тогда (5) Из формул (3) и (5) находим Итак, с точностью , т.е. Отсюда (6) и Следовательно, относительная погрешность вычисления равна . При этом . Тогда и с учетом формулы (6) и формулы из работы [14] получаем . (7) Из формулы (6) следует, что имеет нормальное распределение и с точностью 0,0027. Имеем Погрешность равна Относительная погрешность при этом составит , т.е. 0,28 %. Отметим, что . Следовательно, можно утверждать, что с точностью средняя арифметическая случайных величин при (8) имеет нормальное распределение. В таблице для данного показаны соответствующие значения . Зависимость от 0,001 0,0015 0,002 0,0028 0,003 0,004 0,005 0,01 0,1 0,5 0,7 0,9 23 20 18 16 16 15 14 11 6 4 3 3 График зависимости от представлен на рисунке. Зависимость от хорошо аппроксимируется полиномом шестой степени (получено с помощью средства MS Excel «Линия тренда») следующего вида: Коэффициент детерминации для полученной зависимости составляет , что свидетельствует о хорошем подборе зависимости. Рис. Зависимость от Следствие 1. Сумма n независимых случайных величин, имеющих одинаковые математические ожидания и одинаковые дисперсии, имеет нормальный закон распределения при , где удовлетворяет равенству (8). Данное следствие, очевидно, следует из доказанной теоремы, поскольку если имеет нормальное распределение при , то также будет иметь нормальное распределение при тех же значениях n. Теорема 2. Средняя выборочная независимых случайных величин, математические ожидания которых попадают в один и тот же интервал , а дисперсии попадают в один и тот же интервал , имеет нормальное распределение при , где удовлетворяют условию (8), при этом соответствует паре , - паре , - паре , - паре . Доказательство. Каждую случайную величину считаем нормированной случайной величиной. Далее используем метод, разработанный в теореме 1 для разных пар значений математического ожидания и среднего квадратического отклонения: , , , . Находим соответствующие значения . Из них выбираем максимальное, которое будет определять необходимое число слагаемых, определяющих нормально распределенную среднюю выборочную. Следствие 2. Сумма независимых случайных величин, математические ожидания которых попадают в один и тот же интервал , а дисперсии попадают в один и тот же интервал , имеет нормальное распределение при , где удовлетворяют условию теоремы 2. Заключение В статье доказаны две теоремы и получены два следствия из них. Получены формульные условия для необходимого числа слагаемых, при которых средняя выборочная и суммы слагаемых центральной предельной теоремы будут иметь с заданной точностью нормальный закон распределения. Дальнейшим развитием исследований является определение необходимого числа слагаемых для зависимых случайных величин, а также случайных векторов и матриц.

About the authors

A. V Ganicheva

Tverskaya State Agricultural Academy

References

Statistics

Views

Abstract - 40

PDF (Russian) - 23

Refbacks

• There are currently no refbacks.