Full Text

Введение В настоящей работе средствами прикладной математики решаются задачи, относящиеся к области автоматизации и управления технологическими процессами, а именно аналитическое описание суперпозиций вращений, имеющих место при работе многочисленных механизмов. Практический аспект темы определяется тем, что в таких механизмах, как мультиинертный осциллятор [1, 2], планетарные передачи [3], приводы фрез в машинах для очистки труб больших диаметров [4], и тому подобных реализуется суммирование вращательных движений и форма годографа является полезной информацией при проектировании подобных устройств [5-7]. Если система отсчета движется прямолинейно и равномерно со скоростью в неподвижной системе отсчета x0y (рис. 1) и точка а движется прямолинейно и равномерно со скоростью в системе отсчета , то в соответствии с принципом относительности Галилея точка а движется прямолинейно и равномерно со скоростью в системе отсчета x0y, а годографом вектора А, соединяющего точки 0 и а, является прямая линия [8]. a A y 0 x Рис. 1. Сложение движений Цель работы - установить, как в подобной ситуации обстоит дело при сложении вращательных синхронных движений [9-11]. Пусть точка вращается вокруг точки 0 в системе отсчета x0y с постоянной угловой скоростью ω. Расстояние между точками не меняется. Координатные оси обеих систем отсчета всегда попарно параллельны. Точка а вращается вокруг точки в системе отсчета с постоянной угловой скоростью или . Расстояние между точками не меняется. 1. Разнонаправленное вращение Теорема 1. При разнонаправленном вращении точек а и годографом вектора А является эллипс. Доказательство: Координаты точки в системе x0y , . (1) Координаты точки а в системе , . Здесь , - начальные углы. Координаты вектора А в системе x0y: . Отсюда следует . (2) Это уравнение эллипса. Теорема доказана. Теорема 2. Большая и малая полуоси эллипса (2) соответственно равны и . Доказательство: Обратным отсчетом времени можно добиться, чтобы , а поворотом координатных осей - чтобы . Тогда уравнение (2) примет вид (канонический вид). (3) Теорема доказана. Следствие 1. При эллипс (2) вырождается в отрезок прямой линии длиной 4ρ. Следствие 2. Корни характеристического уравнения эллипса , . Следствие 3. Эксцентриситет эллипса равен отношению среднегеометрического значения величин и к их среднеарифметическому значению: . Следствие 4. Фокусы эллипса (для канонической формулы (3)) . Теорема 3. Оси эллиптического годографа повернуты на угол в системе отсчета x0y. Доказательство: При повороте координатных осей на угол выражение (3) принимает вид что совпадает с эллипсом (2). Теорема доказана. На рис. 2 , , следовательно, оси эллипса повернуты на . x y 0 Рис. 2. Эллиптический годограф Обратным ходом рассуждений доказывается следующая теорема Теорема 4. Если годографом вектора А является эллипс с полуосями и , то точка а вращается вокруг точки с постоянной угловой скоростью -ω в системе отсчета . 2. Однонаправленное вращение Теорема 5. При однонаправленном вращении точек а и годографом вектора А является окружность с центром в точке 0. Доказательство: Координаты точки в системе x0y определяются выражением (1). Координаты точки а в системе , . Координаты вектора А в системе x0y . Квадрат вектора А ... . Длина вектора А неизменна, следовательно, его годографом является окружность. Теорема доказана. Следствие. Вектор А вращается с угловой скоростью ω в системе отсчета x0y. Это вытекает из того, что форма треугольника 0 а неизменна, а его сторона 0 вращается с угловой скоростью ω. Обратным ходом рассуждений доказывается следующая теорема. Теорема 6. Если годографом вектора А является окружность, то точка а вращается вокруг точки с постоянной угловой скоростью в системе отсчета . Теорема 7. Если точка а неподвижна в системе отсчета , то годографом вектора А является окружность радиусом , координаты центра которой в системе отсчета x0y , . Доказательство: Координаты точки в системе x0y определяются выражением (1). Координаты точки а в системе , . Координаты вектора А в системе x0y ; ; ; ; . Теорема доказана. 3. Пример сложения кратных вращений Пусть точка а вращается вокруг точки в системе отсчета с постоянной угловой скоростью и . Координаты точки в системе x0y , . Координаты точки а в системе , . Координаты вектора А в системе x0y , . Годограф вектора А (улитка) при изображен на рис. 3. y x 0 ωt 2ωt Рис. 3. Улиточный годограф Уравнение этой улитки в полярных координатах имеет вид . Для сравнения формула улитки Паскаля, имеющей заметное внешнее сходство: . Условием возникновения петли улиточного годографа является неравенство ; ; . При петля не возникает (рис. 4). y x 0 ωt 2ωt Рис. 4. Улиточный годограф без петли 4. Пример практического применения На рис. 5 представлен годограф кромок планок мотовила [12-15]. В соответствии с теоремой 7, центр окружности 1, описываемой кромками планок, смещен относительно центра окружности 2, описываемой лучами мотовила. y x 0 2 x' 0' 1 Рис. 5. Годограф кромок планок мотовила Заключение Подобно тому, как результатом сложения двух равномерных прямолинейных движений является также равномерное прямолинейное движение, результатом сложения двух равномерных однонаправленных круговых движений является также равномерное круговое движение. Годографом при сложении двух равномерных противоположно направленных круговых движений является эллипс. При сложении двух несинхронных вращений возможны годографы в виде улитки.

About the authors

I. P Popov

Kurgan State University, Kurgan

References

Statistics

Views

Abstract - 43

PDF (Russian) - 12

Refbacks

• There are currently no refbacks.