ON THE PERIODIC SOLUTIONS OF THE LIENARD EQUATION

Abstract


Mathematical modeling of many problems of natural science leads to the need to study quasi-linear boundary value problems for functional differential equations with a linear part that is not uniquely solvable for all right-hand parts. The specificity of such problems is that the corresponding linear operator is not reversible. In the literature, such boundary value problems are usually called resonant. Since the 70s of the last century, the development of methods for studying resonant boundary value problems considered as a single operator equation has begun. A very important area of research from the point of view of applications is the application of General statements to the study of periodic boundary value problems for functional differential equations. The existence problem is considered ω - a periodic solution of the Lienard equation with a deviating argument of the form It is assumed that the function p ( t ) is measurable and Using an approach based on the application of theoretical existence for a quasilinear operator equation, sufficient conditions can be obtained in the work, at least one ω - a periodic solution must correspond to the equations. The obtained result refines some well-known results for the Lienard equations. Execution conditions decisions do not affect the existence of solutions.

Full Text

Введение Рассматривается задача (1) (2) где и - заданные непрерывные функции; функция измерима. Уравнение вида (1) впервые рассмотрел в своей работе 1928 г. Льенар [1]. Это уравнение он изучал в связи с проблемой нелинейного затухания колебаний в электрических цепях. В дальнейшем уравнение (1) для различных случаев функций f и g многие авторы исследовали как математические модели реальных процессов. Например, уравнение Льенара возникает в модели Шермана - Ринзеля - Кайзера в биомедицине [2]. Многие специалисты изучали уравнение (1) в связи с 16-й проблемой Гильберта [3, 4]. Периодическая задача (1)-(2) была рассмотрена в работе [5]. Введем в рассмотрение следующие банаховы пространства: - пространство суммируемых по Лебегу с квадратом на отрезке функций с нормой - пространство абсолютно непрерывных вместе с первой производной функций таких, что с нормой Через обозначим подпространство пространства W2 такое, что Решением задачи (1)-(2) будем называть такую функцию которая почти всюду на удовлетворяет уравнению (1) и периодическим краевым условиям (2). В предлагаемой работе получены достаточные условия разрешимости задачи (1)-(2). Отметим, что для частного случая уравнения (1), когда т.е. для уравнения Ван дер Поля, достаточные условия разрешимости периодической задачи получены в работе [6]. При этом ввиду специфики функции g соответствующий результат опирается на теорему существования, приведенную в этой же работе. 1. Общие определения и обозначения. Теорема существования Приведем необходимые общие определения и теорему существования, которая потребуется для доказательства основных результатов. Аналогичный подход для изучения задачи (1)-(2), но с применением другой теоремы существования применяется в работе [7]. Пусть - банаховы пространства, - линейный ограниченный оператор с ядром и образом Рассмотрим оператор Для сюръективного оператора определим числовую характеристику где - сопряженный оператор. Пусть - линейный ограниченный проектор на . Через обозначим обобщенно обратный к L оператор, ассоциированный с проектором . Для оператор KP является правым обратным. Справедлива оценка . Для непрерывного оператора равенством определим функциональную характеристику степени роста нормы с возрастанием радиуса В частности, для линейного оператора справедливо равенство . Рассмотрим уравнение (3) Теорему существования для уравнения (3) приведем в следующей редакции. Теорема 1. Пусть выполнены условия: 1) оператор нётеров; 2) оператор вполне непрерывен; 3) существует неотрицательная функция такая, что для каждого существует 4) неравенство имеет положительное решение. Тогда уравнение (3) имеет хотя бы одно решение. 2. Вспомогательные конструкции и утверждения Сформулируем вспомогательные утверждения, необходимые для применения теоремы 1 к задаче (1)-(2). Определим операторы равенствами Оператор является линейным ограниченным с ядром и образом Линейные ограниченные проекторы соответственно на ядро и образ оператора определим равенствами Таким образом, оператор является фредгольмовым, а следовательно, и нётеровым. Вместе с проектором Q будем рассматривать дополнительный проектор , , а также оператор являющийся сужением проектора Q на образ оператора L. Проекторам P и Q соответствуют разложения пространств : где Для рассматриваемого случая краевая задача (1)-(2) является резонансной, так как соответствующий оператор L необратим. Лемма 1. Для произвольного справедливы неравенства где , . Доказательство. Непосредственно из представлений справедливых для любого элемента имеем Лемма доказана. В работе будем следовать понятию обобщенно обратного оператора, сформулированному в работе [8]. Лемма 2. Обобщенно обратный оператор ассоциированный с проектором P, имеет вид , и справедлива оценка . Доказательство. Тот факт, что оператор является обобщенно обратным к L оператором, устанавливается непосредственно проверкой следующих условий: 1) где - тождественный оператор; 2) 3) Для произвольного имеем Таким образом, . Лемма доказана. Лемма 3. Пусть выполнены условия: 1) существует неотрицательная неубывающая функция такая, что ; 2) существует неотрицательная неубывающая функция такая, что . Тогда для оператора справедлива оценка где . Доказательство. Произвольно зафиксируем . Тогда для всех , удовлетворяющих неравенству имеем Так как то С применением этих неравенств получим где Теперь утверждение леммы следует из последнего неравенства. Лемма доказана. Лемма 4. Пусть существует неотрицательное число такое, что для всех Тогда для каждого существует решение уравнения удовлетворяющее неравенству где Доказательство. Поскольку в силу леммы 3 справедливы неравенства Тогда для любого имеют место неравенства где Следовательно, В силу непрерывности функции существует константа такая, что и . Лемма доказана. 3. Основные результаты Условия разрешимости задачи (1)-(2) получим, применяя теорему 1. Теорема 2. Пусть выполнены условия: 1) существует неотрицательная неубывающая функция такая, что ; 2) существует неотрицательная неубывающая функция такая, что ; 3) существует неотрицательное число такое, что для всех ; 4) неравенство (4) где имеет положительное решение. Тогда для произвольного такого, что существует хотя бы одно решение задачи (1)-(2). Доказательство. Будем рассматривать уравнение (3) с операторами определенными в подразд. 2. Оператор является нётеровым. Пусть решение неравенства (4). Рассмотрим шар пространства . Вполне непрерывность оператора на шаре доказывается по той же схеме, что и в работе [9]. Действительно, рассмотрим оператор в виде где - оператор вложения; - оператор дифференцирования, . Операторы являются вполне непрерывными. Ввиду этого на шаре оператор является вполне непрерывным. Для проверки условия 3 теоремы 1. Рассмотрим уравнение где Интеграл в силу краевых условий (2), а по условию. Тогда уравнение принимает вид По лемме 4 существует решение уравнения, удовлетворяющее неравенству где Учитывая описание ядра и образа оператора , условие 3 теоремы 1 можно переформулировать следующим образом: для каждого элемента существует элемент такой, что причем где Таким образом, условие 3 теоремы 1 выполнено с функцией Существование положительного решения неравенства (4) гарантирует выполнение условия 4 теоремы 1. Все условия теоремы 1 выполнены. Следовательно, уравнение (3) разрешимо, а периодическая задача (1)-(2) имеет хотя бы одно решение. Теорема доказана. Отметим, что при выполнении условия конкретный вид отклонения аргумента не влияет на условие существования периодического решения рассматриваемого уравнения. В классической теореме Левинсона и Смита [10] предполагается, что функция нечетная и при (ср. с условием 3 теоремы 2). Отметим, что для частных случаев уравнения Льенара проверка условий теоремы 2, в том числе выполнения условия 4, не составляет особого труда. Для уравнения Ван дер Поля из теоремы 2 можно получить достаточные условия разрешимости периодической задачи.

About the authors

A. R Abdullaev

Perm National Research Polytechnic University

A. A Savochkina

Perm National Research Polytechnic University

References

  1. Van der Pol B. On oscillation hysteresis in a triode generator with two degrees of freedom // The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. - 1922. - No. 43. - P. 700-719. DOI: http://dx.doi.org/10.1080/14786442208633932
  2. Pernarowski M., Miura R.M., Kevorkian J. The Sherman-Rinzel-Keizer model for bursting electrical activity in the pancreatic β-cell // Differential Equations Models in Biology, Epidemiology and Ecology, Proceedings of a Conference held in Claremont California, January 13-16. - California, 1990. - P. 34-53.
  3. Neto A.L., W. de Melo, Pugh C.C. On lienard equations // Proc. Symp. Geom. and Topol., Springer Lectures Notes in Mathematics. - 1977. - Vol. 597. - P. 335-357.
  4. Caubergh M., Dumortier F. Hilbert’s 16th problem for classical Li´enard equations of even degree // Journal of Differential Equations. - 2008. - Vol. 244(6). - P. 1359-1394.
  5. Чуйко С.М., Чуйко А.С., Несмелова О.В. Периодическая задача для уравнения Льенара, не разрешенного относительно производной в критическом случае // Труды Института проблем математики и механики. - 2015. - Т. 29. - С. 158-171.
  6. Абдуллаев А.Р., Савочкина А.А. Периодические решения уравнения Ван дер Поля с отклоняющимся аргументом // Вестник ИжГТУ. - 2011. - № 3 (51). - С. 174-177.
  7. Савочкина А.А. Периодическая задача для уравнения Льенара с отклоняющимся аргументом // Научно-технический вестник Поволжья. - 2011. - № 4. - С. 77-80.
  8. Абдуллаев А.Р., Бурмистрова А.Б. Элементы теории топологически нетеровых операторов: учеб. пособие / Челяб. гос. ун-т. - Челябинск, 1994. - 93 с.
  9. Абдуллаев А.Р., Скачкова Е.А. Периодическая краевая задача для дифференциального уравнения четвертого порядка // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2013. - № 13. - С. 3-10.
  10. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений: монография. - М.: Мир, 1964. - 466 с.

Statistics

Views

Abstract - 60

PDF (Russian) - 28

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies