LINEARIZED REQUIRED OPTIMALITY CONDITIONS IN ONE SMOOTH GURSA-DARBU SYSTEM MANAGEMENT PROBLEM

Abstract


In class measurable (in Lebesgue sense) and bounded control vector functions, we consider one non-smooth optimal control problem of the Goursat - Darboux system with a multipoint quality functional, which is a generalization terminal type functional. Applying one modified version of the increment method, and assuming that the right side of the equation and the functional qualities in a vector state have derivatives in any direction, the necessary optimality condition in derivative terms in the direction flax general is proved. The case of a quasidifferentiable quality functional is considered. In particular, the minimax problem is studied. Under the assumption that the control region is convex, taking into account the properties of non-differentiable functions, the necessary optimality condition is established, which is an analog of the linearized integral principle of maximin, which is constructive in nature and generalizes the point wise linearized (differential) maximum principle.

Full Text

Введение В работах [1-5] и других изучались различные задачи оптимального управления, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями, содержащие негладкие функции. Эти функции могут задавать критерии качества, а также быть правой частью системы дифференциальных уравнений по вектору состояния. В предлагаемой работе изучается задача оптимального управления системами Гурса - Дарбу с многоточечным негладким функционалом качества в предположении, что правая часть уравнения по вектору состояния и по вектору управления имеет производные по любому направлению, а также удовлетворяет условию Липшица по этим аргументам. При этом функционал качества также считается негладким. В случае выпуклости области управления получено необходимое условие оптимальности первого порядка в терминах производных по направлениям. Отдельно изучен случай квазидифференцируемого функционала. В задаче на минимакс установлено необходимое условие оптимальности типа линеаризованного интегрального принципа максимина, обобщающее и усиливающее линеаризованный принцип максимума. 1. Постановка задачи Пусть управляемый процесс на заданном прямоугольнике описывается системой нелинейных гиперболических уравнений (1) с краевыми условиями Гурса: (2) . Здесь - заданная непрерывная в n-мерная вектор-функция, причем каждая компонента ее удовлетворяет по условию Липшица и имеет производные по любому направлению в пространстве , т.е. существуют конечные пределы и - заданные на и соответственно -мерные вектор-функции, удовлетворяющие условию Липшица; - r-мерная измеримая и ограниченная управляющая вектор-функция со значениями из заданного непустого, ограниченного и выпуклого множества , т.е. . (3) Такие управляющие функции назовем допустимыми управлениями. Как и в работах [6, 7], рассматриваются абсолютно непрерывные решения краевой задачи (1)-(2), соответствующие всевозможным допустимым управлениям. Теоремы существования и единственности абсолютно непрерывного решения краевой задачи (1)-(2) можно найти, например, в работах [6, 7]. Задача заключается в минимизации функционала (4) при ограничениях (1)-(3). Здесь - заданная в скалярная функция, удовлетворяющая условию Липшица и имеющая производные по любому направлению; - заданные числа, причем , . Допустимое управление , доставляющее минимум функционалу (4) при ограничениях (1)-(3), назовем оптимальным управлением, а соответствующий процесс - оптимальным процессом. 2. Необходимые условия минимума Установим необходимые условия минимума в задаче (1)-(4). Положим , (5) где , - произвольное число; - заданное допустимое управление, а - произвольное допустимое управление. В дальнейшем будут использованы обозначения , . Пусть где - специальное приращение состояния отвечающее специальному приращению (5) управления Ясно, что специальное приращение состояния будет решением двумерного интегрального уравнения типа Вольтерра: (6) Используя уравнения (5) и (6), в силу условий, наложенных на правую часть уравнения (1), по аналогии со схемами, предложенными в работах [2-5], нетрудно показать, что (7) где по определению , (8) а является решением краевой задачи (9) (10) Поскольку по предположению функция дифференцируема по любому направлению и удовлетворяет условию Липшица, с учетом уравнения (7) имеем Из полученного разложения следует, что вдоль оптимального процесса Из последнего неравенства в силу произвольности вытекает следующий результат. Теорема 1. Для того чтобы допустимое управление было оптимальным, необходимо, чтобы неравенство (11) выполнялось для всех допустимых вариаций состояния Чтобы получить из неравенства (11) конструктивно проверяемые необходимые условия оптимальности, следует использовать специфические свойства функций и . Предположим, что гладкая, т.е. непрерывно дифференцируемая по вектору состояния и по вектору управления функция. Тогда краевая задача Гурса - Дарбу (9)-(10) принимает вид (12) (13) Пусть - квазидифференцируемая в точке скалярная функция. Используя определение квазидифференцируемой функции (см., например, работы [3, 5, 8]), неравенству (11) можно придать вид (14) Здесь - квазидифференциал функции в точке . Применяя формулу для решения краевой задачи Гурса линейного неоднородного гиперболического уравнения с негладкими коэффициентами (см., например, работу [9]), представим решение краевой задачи (12)-(13) в виде , (15) где --матричная функция, являющаяся решением уравнения , а - единичная -матрица. Пусть , - характеристическая функция прямоугольника , . Тогда из представления (15) получаем, что Из неравенства (14) имеем Положим , Учитывая обозначения (8) и (9), полученный результат можно сформулировать следующим образом. Теорема 2. Для того чтобы допустимое управление было оптимальным, необходимо выполнение неравенства для всех 3. Линеаризованный интегральный принцип минимакса Предположим, что правая часть уравнения (1) непрерывно-дифференцируема по а функционал качества имеет вид . (16) Здесь - компактное множество векторов, а - непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по скалярная функция. Требуется найти минимум функционала (16) при ограничениях (1)-(3), считая гладкой правую часть уравнения (1) и по вектору состояния, и по вектору управления. Таким образом, мы рассматриваем задачу на минимакс. Предполагаем, что в задаче (1)-(3), (16) существует оптимальное управление. Пусть - фиксированный, а - произвольный допустимые процессы. Введем множество максимумов функции (см., например, работу [10]): Нетрудно показать, что приращение состояния является решением линеаризованной задачи Здесь норма вектора задается формулой , (17) а (величина более высокого порядка малости, чем ) определяется из разложения Считая произвольной n-мерной вектор-функцией, введем обозначение с учетом которого получим (18) Так как выполнены краевые условия (17), то Из оценок, приведенных в работах [11,12], следует, что (19) где - некоторая положительная константа. Специальное приращение допустимого управления определим по формуле где - произвольное число, а - произвольное допустимое управление. Через обозначим специальное приращение состояния , отвечающее специальному приращению управления. Из оценки неравенства (19) следует, что имеет порядок малости Таким образом, принимая во внимание формулу (18) и применяя формулу Тейлора, по схеме, аналогичной схеме из работ [1, 3, 12], специальное приращение функционала качества можно записать в виде (20) Если предполагать, что является решением краевой задачи (сопряженная система) то разложение (20) примет вид (21) В силу достаточной малости из разложения (21) выводим следующее утверждение. Теорема 3. Для оптимальности допустимого управления в задаче (1)-(3), (21) необходимо, чтобы неравенство выполнялось для всех . Доказанная теорема является аналогом линеаризованного интегрального принципа максимина [13], но, в отличие от гладкого критерия качества, не является следствием линеаризованного условия максимума [5]. Заключение В работе изучается одна негладкая задача оптимального управления системами гиперболических уравнений с краевыми условиями Гурса. При различных предположениях установлен ряд необходимых условий оптимальности первого порядка. Отдельно изучен случай квазидифференцируемого функционала качества. Установлен аналог линеаризованного интегрального принципа максимина.

About the authors

G. Sh Ramazanova

Institute оf Control Systems of Azerbaijan NAS

References

  1. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. - М.: ЛИБРОКОМ, 2011. - 272 c.
  2. Демьянов В.Ф., Никулина В.Н., Шаблинская И.Р. Задача оптимального управления негладкими дифференциальными связями // Дифференциальные уравнения. - 1985. - Т. 21, № 8. - С. 1324-1330.
  3. Негладкие задачи теории оптимизации и управления / В.Ф. Демьянов, Т.К. Виноградова, В.Н. Никулина [и др.]; под ред. В.Ф. Демьянова. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1982. - 322 с.
  4. Виноградова Т.К., Демьянов В.Ф. К необходимым условиям в минимаксных задачах управления // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1974. - Т. 12, № 1. - С. 232-236.
  5. Демьянов В.Ф., Рубинов А.М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. - М.: Наука, 1990. - 432 с.
  6. Плотников В.И., Сумин В.И. Оптимизация объектов с распределенными параметрами, описываемыми системами Гурса - Дарбу // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1972. - Т. 12, № 1. - С. 61-77.
  7. Гасанов К.К., Гасанова Л.К. Теорема существования и единственности для нелинейных систем Гурса - Дарбу // Вестник Бакинского университета. Сер. физ.-мат. наук. - 2012. - № 4. - С. 37-44.
  8. Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. - М.: Наука, 1981. - 384 с.
  9. Ахиев С.С., Ахмедов К.Т. Об интегральном представлении решений некоторых систем дифференциальных уравнений // Известия АН Азерб. ССР. Сер. физ.-техн. и матем. наук. - 1973. - № 2. - С. 116-120.
  10. Демьянов В.Ф. Минимакс. Дифференцируемость по направлениям. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1974. - 185 с.
  11. Егоров А.И. Об оптимальном управлении процессами в некоторых системах с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика. -1964. - Т. 25, вып. 5. - C. 613-623.
  12. Васильев О.В., Срочко В.А., Терлецкий В.А. Методы оптимизации и их приложения. Ч. 2. Оптимальное управление / под ред. А.П. Меренкова. - Новосибирск: Наука: Сиб. отд-ние, 1990. - 148 с.
  13. Альсевич В.В. Необходимые условия оптимальности для минимаксных задач оптимизации // Дифференциальные уравнения. -1976. - Т. 12, № 8. - С. 1384-1391.

Statistics

Views

Abstract - 50

PDF (Russian) - 13

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies