Abstract

Abstract

A theorem and an algorithm for approximate identification of parameters and immeasurable external influences for mathematical models of real objects are obtained. This identification problem is one of key importance for design the mathematical models in real mathematics applications.

Full Text

Введение Ставится задача нахождения параметров приближенной математической модели реального объекта по измерениям его входа и выхода при наличии неизмеряемых внешних воздействий на этот объект. Цель работы - получение эффективных теорем и алгоритмов, дающих решение этой задачи. Постановка задачи сформулирована в терминах функционального анализа для детерминированных моделей и несколько отличается от общепринятой, которую можно найти, например, в работах [1-5]. Вводится определение эпсилон-модели, которому соответствует постановка задачи идентификации. В этом состоит некоторая новизна подхода к задаче. В результате решения задачи идентификации получена приближенная оценка неизмеряемых воздействий на объект, т.е. произведена приближенная идентификация этих воздействий. При этом вектор-функция неизмеряемых внешних воздействий рассматривается как вектор параметров модели, который нужно найти в задаче идентификации, а параметрами модели могут быть не только действительные числа, но и функции одного или нескольких аргументов (в частности, времени). Иными словами, задача идентификации сводится к случаю, когда все входные воздействия доступны измерению, который рассматривался авторами в работах [6-10]. Актуальность задачи идентификации несомненна, так как к ней сводится задача построения математических моделей реальных объектов, а наличие неизмеряемых внешних воздействий усложняет эту задачу и приводит к необходимости решать ее в нестандартной постановке. Эта задача рассматривалась в работах [1-5] и [11] в вероятностной постановке, но в силу упомянутой сложности недостаточно исследована. Предлагаемый нами подход позволяет свести задачу идентификации к задаче нахождения условного минимума функций многих переменных (в частности, к задаче линейного или квадратичного программирования), которая рассматривается в курсах обычного вузовского математического анализа и для решения которой есть стандартные программы в широко используемых пакетах MATLAB, Maple, Exel, MathCad, Mathematica и др. Таким образом, полученная теорема и алгоритм позволяют эффективно решать задачу идентификации для широкого класса реальных объектов. 1. Постановка задачи Через Rn обозначим n-мерное евклидово пространство векторов , компонентами которых являются действительные числа ; - нормированные [12] пространства n, m и q-мерных вектор-функций, определенных на отрезке ; Y, Z и W - нормированные пространства; - норма элемента х в том пространстве, которому он принадлежит; - множество неотрицательных чисел из R1. Пусть имеется реальный объект, который мы будем рассматривать на отрезке времени . Через обозначим m-мерный вектор параметров, характеризующих измеряемые внешние воздействия на объект в момент времени через - q-мерный вектор параметров, характеризующих неизмеряемые внешние воздействия на объект в момент времени , а через - n-мерный вектор параметров, характеризующих реакцию объекта на внешние воздействия в момент времени . Будем считать, что вектор-функции удовлетворяют условиям , где V, F, X - некоторые подмножества из соответственно. Вектор-функцию будем называть входом, а вектор-функцию - выходом объекта соответственно. Определение 1. Уравнение назовем ε-моделью объекта, если: 1) - непрерывный оператор; 2) уравнение имеет единственное решение при каждом и при каждом ; 3) выполняется неравенство , где ε - достаточно малое положительное число или нуль. Будем строить ε-модель в виде (1) где - нормированное пространство; ω - вектор неизвестных параметров модели; - непрерывный оператор, который удовлетворяет условиям определения 1 при некотором . Определение 2. Уравнения (2) назовем измерениями входа и выхода объекта, если: 1) и - непрерывные операторы; 2) ξ и η - ошибки измерений, о которых известно лишь то, что где и - малые положительные числа или нули (рисунок). Задача идентификации: по известным найти такие и , при которых уравнение является ε-моделью объекта (т.е. выполнено неравенство ). Определение 3. Уравнение назовем приближенной ε-моделью объекта, если: 1) - непрерывный оператор; 2) уравнение имеет единственное решение при каждом и при каждом ; 3) выполняется неравенство где - некоторые приближения к соответственно. Рис. Блок-схема объекта Задача приближенной идентификации: по известным найти такие и , при которых уравнение является приближенной ε-моделью (т.е. выполняется неравенство ). 2. Основные результаты Теорема. Пусть 1) - полная система элементов в пространстве - полная система элементов в пространстве - полная система элементов в пространстве - полная система элементов в пространстве В4; 2) найдутся такие N и что при условиях ; 3) найдутся такие М и что при условиях ; 4) существует такое , что ; 5) выполняются неравенства , , где ; 6) выполняются неравенства ; 7) найдутся такие K, что (3) при условиях ; 8) существует такой оператор , что и , где ; 9) существует такой оператор , что и , где ; 10) уравнение имеет единственное решение при каждом и при каждом . Тогда вектор является приближенным решением задачи идентификации для ε-модели (1) при измерениях входа и выхода объекта (2), причем выполняются неравенства (4) (5) а уравнение является приближенной ε-моделью объекта. Доказательство. В силу условий 1-3, 5, 6 получаем , где Далее в силу условий 7-9 имеем и Отсюда в силу малости величин имеют место приближенные равенства Таким образом, в силу условия 10 вектор является приближенным решением задачи идентификации для ε-модели (1) при измерениях входа и выхода объекта (2), причем выполняются неравенства (4) и (5), а уравнение является приближенной ε-моделью объекта. Теорема доказана. Обсудим условия этой теоремы. Условие 1 означает, что в пространствах имеются базисные системы элементов, т.е. элементы этих пространств могут быть приближены конечными линейными комбинациями базисных элементов с любой степенью точности. Условия 2, 3 дают приближения к сводя их вычисление к условной минимизации соответствующих функций многих переменных (эти приближения нужны для решения задачи идентификации). Условие 4 необходимо для разрешимости задачи идентификации. Условие 5 - это обобщенное условие Липшица для операторов P и Q, которое получается применением теоремы Лагранжа о среднем и ее обобщений, если эти операторы непрерывно дифференцируемы в соответствующем смысле. Проверка условия 6 затруднительна, так как и не известны, а известны только и Но и , поэтому естественно предположить, что (что, как правило, бывает на практике) и (аналогично), тогда неравенства (4) и (5) дают приближенную оценку отклонения и от и , которую можно использовать при практической идентификации. Условие 7 сводит задачу нахождения и к задаче условной минимизации функции многих переменных в пространстве и к проверке неравенства (3) при K = 0, 1, 2, … (до тех пор, пока оно не выполнится). Условия 8, 9 сводятся к решению уравнения относительно и проверке обобщенных условий Липшица для операторов G1 и G2, дающих это решение в виде . Условие 10 вытекает из определения 3, так как задача идентификации решается приближенно, и в результате мы получаем приближенную ε-модель . Замечание 1. Величину ε можно взять согласно неравенству , если оператор имеет вид , так как из неравенства следует (т.е. в этом случае невязка достаточно мала). При этом следует отметить, что оператор имеет указанный вид для весьма широкого класса математических моделей реальных объектов. Замечание 2. Мы здесь считаем, что , если (т.е. если ), где и - элементы соответствующего нормированного пространства. Но не всегда запись означает выполнение этого неравенства. Из доказанной теоремы с учетом вышесказанного вытекает следующий алгоритм идентификации. 3. Алгоритм 1. Положить 2. Вычислить согласно условию 2 теоремы и проверить неравенство . Если оно выполняется, то перейти к пункту 3, а если нет, то положить , где - предыдущее значение N, и перейти к пункту 2. 3. Вычислить согласно условию 3 теоремы и проверить неравенство Если оно выполняется, то перейти к пункту 4, а если нет, то положить и перейти к пункту 3. 4. Проверить условие 4 теоремы. Если оно выполняется, то перейти к пункту 5, а если нет, то выдать ответ «задача идентификации не разрешима» и закончить алгоритм. 5. Проверить условия 5 теоремы, вычислив с1 и с2. Если они выполняются, то перейти к пункту 6, а если нет, то выдать ответ «теорема не применима» и закончить алгоритм. 6. Вычислить и согласно условию 7 теоремы и проверить неравенство Если оно выполняется, то перейти к пункту 7, а если нет, то положить и перейти к пункту 6. 7. Построить операторы согласно условиям 8 и 9 теоремы. Если это удалось, то перейти к пункту 8, а если нет, то выдать ответ «теорема не применима» и закончить алгоритм. 8. Проверить условие 10 теоремы. Если оно выполняется, то перейти к пункту 9, а если нет, то выдать ответ «теорема не применима» и закончить алгоритм. 9. Вычислить и . 10. Выдать ответ: вектор является приближенным решением задачи идентификации для ε-модели (1) при измерениях входа и выхода объекта (2), причем выполняются приближенные неравенства , а приближенная ε-модель имеет вид . 11. Конец алгоритма. 4. Практический пример Рассмотрим три отрасли Российской Федерации: 1) добыча полезных ископаемых; 2) обрабатывающие производства; 3) производство и распределение электроэнергии, газа и воды. Через обозначим сумму основных производственных фондов (ОПФ) i-й отрасли в момент времени , соответствует 2003 г., соответствует 2015 г. (время исчисляется в годах), . Через обозначим интенсивность внешних инвестиций в i-й отрасль в момент времени . Пусть где соответствует 2004 г., t10 соответствует 2014 г., а измерения входа и выхода объекта (системы из трех отраслей РФ) имеют вид Значения и определяются по табл. 1 и 2 соответственно (согласно данным Федеральной службы государственной статистики России) в триллионах рублей. Таблица 1 Исходные данные параметров zij j 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 z1j 2,62 3,31 4,08 4,98 6,37 7,86 9,08 10,57 12,24 14,11 15,73 z2j 3,20 3,64 4,22 5,12 6,00 6,95 7,99 8,88 9,86 11,38 13,56 z3j 3,03 3,41 3,61 4,09 4,93 5,74 6,77 8,53 9,76 10,68 11,80 Таблица 2 Исходные данные параметров yij j 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y1j 0,44 0,50 0,69 0,93 1,17 1,11 1,26 1,53 1,85 2,00 2,14 y2j 0,47 0,59 0,74 0,99 1,13 1,14 1,21 1,41 1,69 1,95 2,08 y3j 0,20 0,24 0,30 0,47 0,62 0,68 0,82 1,02 1,17 1,19 1,19 Математическую ε-модель будем строить по аналогии с работами [13], [14] в модифицированном виде: (6) где , - пространство квадратично суммируемых на трехмерных вектор-функций с нормой - пространство абсолютно-непрерывных на трехмерных вектор-функций с производной из и нормой - пространство непрерывных на трехмерных вектор-функций с нормой из Здесь ограничения на параметры взяты из практических соображений. Оператор в этом случае имеет вид где - линейное пространство векторов c нормой , . Возьмем согласно данным о степени износа ОПФ для рассматриваемых отраслей, а будем искать в виде Тогда согласно алгоритму получаем При этом , а Операторы в этом случае можно построить приближенно, решая (приближенно) систему относительно , где , а , т.е. , где . При этом , . Согласно пункту 10 алгоритма имеют место приближенные неравенства где , . Здесь пространство , а Таким образом, приближенное решение задачи идентификации для ε-модели (6) в этом примере имеет вид , где и определены выше, причем имеют место приближенные неравенства (4) и (5), а относительные отклонения и , т.е. они не превышают 1,3 %. Приближенная ε-модель системы из трех вышеуказанных отраслей РФ имеет вид где а Как видно из этих вычислений, задача приближенной идентификации для этого примера решается достаточно эффективно. Замечание 3. Компьютерную реализацию алгоритма для этого примера сделал аспирант М.В. Милюша с помощью пакета Maple. Замечание 4. Задача идентификации ε-модели при наличии неизмеряемых внешних воздействий на объект рассматривалась нами в работе [15], где были получены теоремы и алгоритмы приближенной идентификации для случая малых неизмеряемых внешних воздействий, а в предлагаемой здесь работе сформулирована новая теорема и алгоритм решения обновленной задачи идентификации, который годится и для достаточно больших внешних неизмеряемых воздействий. Замечание 5. О необходимости оценки неизмеряемых внешних воздействий и ее значении для прикладных задач свидетельствует интересная и ценная работа [16]. Замечание 6. Вычисления производились с точностью до пяти знаков после запятой, а результаты округлялись по обычным правилам. Заключение В результате исследований получены новые теорема и алгоритм, дающие приближенное решение задачи идентификации математических моделей реальных объектов при наличии неизмеряемых внешних воздействий на эти объекты. Эффективность этого алгоритма проверена на реальном примере системы из трех взаимосвязанных отраслей экономики Российской Федерации. Поставленная задача рассматривалась также в относительно недавних работах [17-22] для разных случаев математических моделей в вероятностной постановке, но не получила достаточно простого и общего решения. В процессе решения задачи идентификации нами получены приближенные значения не только параметров модели, но и неизмеряемых внешних воздействий на объект. Предлагаемая методика идентификации может быть распространена на математические модели, в которых значения входных и выходных вектор-функций времени принадлежат не а более общим нормированным пространствам (например, на модели в виде систем уравнений в частных производных и т.д.). Таким образом, эту методику можно рекомендовать для практического использования при построении математических моделей реальных объектов.