ATTAINABLE VALUES OF ON-TARGET FUNCTIONALS IN ECONOMIC DYNAMICS PROBLEMS

Abstract


The problem of description of attainability sets is considered as applied to a control problem for an economic mathematical model with respect to a family of on-target functionals under some constraints according to control actions. The functionals are given in a general form covering a great many widely used cases. Dynamics of the system under control is governed by equations connecting state variables of continuous and discrete times with taking into account aftereffects. Some constructions and algorithms are proposed which allow to obtain external polyhedral estimates of the attainability sets.

Full Text

Введение В прикладных задачах управления при заданных (предписанных) значениях целевых показателей ключевую роль играют ограничения на управляющие воздействия. От жесткости этих ограничений зависит разрешимость задачи, т.е. существование такого допустимого управления, реализация которого приводит к траектории, на которой достигаются целевые значения. Описание множества целевых значений, для которых задача управления оказывается разрешимой, является одной из центральных проблем во многих разделах теории управления (см., например, [1-5]), включая вопросы структуры множества достижимости для различных классов ограничений на управление [6, 7], их асимптотических [8] и статистических характеристик [9, 10]. При этом, как правило, достижимость понимается по отношению к значениям координат фазового вектора. В задачах управления для экономических систем весьма распространено задание показателей в более широком смысле: в качестве целевых показателей используются, например, линейные комбинации значений фазовых переменных в заданные моменты времени, интегральные характеристики траектории и др. В настоящей работе для задания целевых показателей используются линейные функционалы общего вида, охватывающие упомянутые случаи и их естественные обобщения. Динамика системы управления описывается совокупностью дифференциальных уравнений с запаздыванием и разностных уравнений с дискретным аргументом. Такое описание оказывается актуальным для процессов экономической динамики, сочетающих взаимодействие переменных, имеющих различный характер изменения: непрерывный (непрерывное производство) и дискретный (финансирование). В центре внимания находятся внешние оценки множества достижимых значений показателей, а также соответствующие конструкции и алгоритмы. Излагаемые результаты основаны на использовании положений общей теории функционально-дифференциальных уравнений [11] в части условий разрешимости и представления решений, а также на результатах недавних работ [12-14]. 1. Описание модели Мы рассматриваем экономико-математическую модель взаимодействия производственной подсистемы, описываемой уравнением (1) и финансовой подсистемы, описываемой уравнением (2) Для определенности будем считать, что в (1) - показатели функционирования многопродуктовой производственной системы, которые изменяются в непрерывном времени . На скорость их изменения влияют отчисления на производственное накопление в фиксированные моменты времени с заданной эффективностью их использования, характеризуемой соответствующими коэффициентами - элементами матрицы . Кроме того, используются инвестиции , динамика которых определяется уравнением (2). Интегральное слагаемое в уравнении (1) моделирует прямое управляющее воздействие на динамику показателей с применением распределенного управления эффективность использования которого описывается ядром . В правую часть уравнения (2) входят предшествующие значения инвестиций: предыдущие производственные накопления и управляющее воздействие - плотность финансового потока. При этом интегральное слагаемое характеризует накопленные к текущему моменту времени финансовые ресурсы. Эффективность использования упомянутых факторов характеризуется соответствующими матричными коэффициентами ( ). Функции и можно интерпретировать как внешние воздействия на систему различной природы, например непредвиденные потери или возможные погрешности моделирования. Отметим, что специфический характер запаздывания компоненты с непрерывным временем (кусочно-постоянный аргумент) распространен в динамических моделях макроэкономики [15]. Начальное состояние системы (1), (2) считается заданным: (3) Для задания цели управления будем использовать определенный на компонентах и вектор-функционал : (4) где постоянные -матрица и -матрицы и -матрица с измеримыми и ограниченными элементами считаются заданными. Общая форма (4) вектор-функционала со значениями в позволяет охватить разнообразные конкретные случаи целевых условий, возникающих в прикладных задачах. С помощью вектор-функционала цель управления системой (1)-(2) задается равенством (5) где - заданный вектор целевых значений. Приведем несколько примеров. 1. Если целью управления является достижение заданных значений в конечный момент времени по обеим векторным компонентам: где - заданные значения, то в (4) имеем где - единичная -матрица. 2. В случае когда целевыми значениями являются интегральные показатели компоненты и суммарные показатели компоненты : соответствующие матрицы в представлении целевого вектор-функционала имеют вид 3. Пусть целевые условия заданы в виде где и - заданные матрицы размерности и соответственно. Тогда Задача достижения целей (5) решается в предположении, что управления и стеснены ограничениями (6) где - заданная матрица размерности . Будем предполагать, что множество решений системы линейных неравенств непусто и ограничено. 2. Сведение к проблеме моментов Воспользуемся представлением решений непрерывной и дискретной подсистем (см. [12, 16]). Для дискретной подсистемы (2) имеем (7) где - фундаментальная матрица однородной подсистемы (2), - матрица Коши подсистемы с дискретным временем. Подставим правую часть этого равенства в подсистему с непрерывным временем (1): (8) Система (8) не содержит компоненты с дискретным временем и представляет собой специальный случай функционально-дифференциальной системы управления относительно компоненты с непрерывным временем. Запишем ее в виде (9) где оператор определен равенством Меняя порядок суммирования во втором слагаемом правой части и приводя подобные для оператора можно получить представление Используя фундаментальную матрицу и матрицу Коши функционально-дифференциального оператора , запишем решение системы в виде (10) где ядро и функция определяются в результате элементарных преобразований. Представления (10) и (7) позволяют записать целевые условия (5) в терминах управлений и : (11) где - моментная матрица размерности . Обозначим через вектор управляющих воздействий. Таким образом, задача описания множества достижимых значений целевого вектор-функционала свелась к обобщенной проблеме моментов [17]: (12) Следуя теореме 7.1 [17, c. 269] и теореме 1 [12], определим для каждого функцию (13) где - символ транспонирования. Зафиксируем для каждого и каждого совокупность точек множества , доставляющих значение функционалу и обозначим В таком случае множество достижимых значений вектора состоит из тех и только тех точек для которых неравенство (14) выполняется для всех . Исходя из соотношений (13), (14), можно дать следующее описание алгоритма построения внешней оценки множества : 1. Построение элементов моментной матрицы на основе соотношений (7), (10). 2. Задание конечного набора векторов, определяющих при каждом вместе с матрицей градиент целевой функции в задаче (13). 3. Построение многогранника, определяемого системой линейных неравенств, 3. Иллюстрирующий пример В качестве конкретного примера системы (1)-(2) рассмотрим гибридную систему Считая нулевым начальное состояние этой системы: зададим целевой вектор-функционал равенствами Управления и стеснены следующими ограничениями: В этом примере внешняя оценка (оценка сверху по включению) для множества достижимых значений показателей представлена на рисунке. а б в Рис. Внешняя оценка множества достижимости для различных случаев общего числа К направлений градиента: а - К = 8; б - К = 16; в - К = 32

About the authors

V. P Maksimov

Perm State University

References

  1. Никольский М.С. Оценивание множества достижимости сверху по включению для некоторых нелинейных систем управления // Труды института математики и механики УрО РАН. - 2019. - Т. 25, № 3. - С. 163-170.
  2. Kurzhanski A.B., Varaiya P. On ellipsoidal techniques for reachability analysis // Optimization methods and software. - 2002. - Vol. 17. - P. 177-203.
  3. Gurman V.I., Trushkova E.A. Estimates for attainability sets of control systems // Differential Equations. - 2009. - Vol. 45, no. 11. - P. 1636-1644.
  4. Костоусова Е.К. О полиэдральных оценках множеств достижимости дифференциальных систем с билинейной неопределенностью // Труды института математики и механики УрО РАН. - 2012. - Т. 18, № 4. - С. 195-210.
  5. Digo G.B., Digo N.B. Approximation of domains of serviceability and attainability of control system on the basic of the inductive approach // Reliability: Theory & Applications. - 2011. - Vol. 6, no. 21. - P. 41-46.
  6. Polyak B.T. Convexity of the reachable set of nonlinear systems under bounded controls // Dynamics of continuous, discrete and impulsive systems. Series A. Mathematical Analysis. Watam Press. - 2004. - Vol. 11, no. 2-3. - P. 255-267.
  7. Пацко В.С., Федотов А.А. Структура множества достижимости для машины Дуббинса со строго односторонним поворотом // Труды института математики и механики УрО РАН. - 2019. - Т. 25, № 3. - С. 171-187.
  8. Гусев М.С., Осипов И.О. Асимптотическое поведение множеств достижимости на малых временных промежутках // Труды института математики и механики УрО РАН. - 2019. - Т. 25, № 3. - С. 86-99.
  9. Rodina L.I., Khammadi A.Kh. Statistical characteristics of attainability set of controllable systems with random coefficients // Russian Math. (Iz. VUZ). - 2014. - Vol. 58, no. 11. - P. 43-53.
  10. Rodina L.I. Estimation of statistical characteristics of attainability sets of controllable systems // Russian Math. (Iz. VUZ). - 2013. - Vol. 57, no. 11. - P. 17-27.
  11. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. - М.: Институт компьютерных исследований, 2002. - 384 с.
  12. Maksimov V.P. On the sets of continuous discrete functional differential systems // IFAC PapersOnLine. - 2018. - Vol. 51, no. 32. - P. 310-313.
  13. Maksimov V.P. The structure of the Cauchy operator to a linear continuous-discrete functional differential system with aftereffect and some properties of its components // Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp’yuternye Nauki. - 2019. - Vol. 29, no. 1. - P. 40-51.
  14. Максимов В.П. К вопросу о построении и оценках матрицы Коши для систем с последействием // Труды института математики и механики УрО РАН. - 2019. - Т. 25, № 3. - С. 153-162.
  15. Симонов П.М. Об одном методе исследования динамических моделей макроэкономики // Вестник Перм. ун-та. Сер. Экономика. - 2014. - № 1. - С. 14-27.
  16. Chadov A.L., Maksimov V.P. Linear boundary value problems and control problems for a class functional differential equations with continuous and discrete times // Functional Differential Equations. - 2012. - Vol. 19, no. 1-2. - P. 49-62.
  17. Krein M.G., Nudel’man A.A. The Markov moment problem and extremal problems. - New York: AMS, 1977. - 417 p.

Statistics

Views

Abstract - 48

PDF (Russian) - 22

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies