Full Text

Введение В прикладных задачах управления при заданных (предписанных) значениях целевых показателей ключевую роль играют ограничения на управляющие воздействия. От жесткости этих ограничений зависит разрешимость задачи, т.е. существование такого допустимого управления, реализация которого приводит к траектории, на которой достигаются целевые значения. Описание множества целевых значений, для которых задача управления оказывается разрешимой, является одной из центральных проблем во многих разделах теории управления (см., например, [1-5]), включая вопросы структуры множества достижимости для различных классов ограничений на управление [6, 7], их асимптотических [8] и статистических характеристик [9, 10]. При этом, как правило, достижимость понимается по отношению к значениям координат фазового вектора. В задачах управления для экономических систем весьма распространено задание показателей в более широком смысле: в качестве целевых показателей используются, например, линейные комбинации значений фазовых переменных в заданные моменты времени, интегральные характеристики траектории и др. В настоящей работе для задания целевых показателей используются линейные функционалы общего вида, охватывающие упомянутые случаи и их естественные обобщения. Динамика системы управления описывается совокупностью дифференциальных уравнений с запаздыванием и разностных уравнений с дискретным аргументом. Такое описание оказывается актуальным для процессов экономической динамики, сочетающих взаимодействие переменных, имеющих различный характер изменения: непрерывный (непрерывное производство) и дискретный (финансирование). В центре внимания находятся внешние оценки множества достижимых значений показателей, а также соответствующие конструкции и алгоритмы. Излагаемые результаты основаны на использовании положений общей теории функционально-дифференциальных уравнений [11] в части условий разрешимости и представления решений, а также на результатах недавних работ [12-14]. 1. Описание модели Мы рассматриваем экономико-математическую модель взаимодействия производственной подсистемы, описываемой уравнением (1) и финансовой подсистемы, описываемой уравнением (2) Для определенности будем считать, что в (1) - показатели функционирования многопродуктовой производственной системы, которые изменяются в непрерывном времени . На скорость их изменения влияют отчисления на производственное накопление в фиксированные моменты времени с заданной эффективностью их использования, характеризуемой соответствующими коэффициентами - элементами матрицы . Кроме того, используются инвестиции , динамика которых определяется уравнением (2). Интегральное слагаемое в уравнении (1) моделирует прямое управляющее воздействие на динамику показателей с применением распределенного управления эффективность использования которого описывается ядром . В правую часть уравнения (2) входят предшествующие значения инвестиций: предыдущие производственные накопления и управляющее воздействие - плотность финансового потока. При этом интегральное слагаемое характеризует накопленные к текущему моменту времени финансовые ресурсы. Эффективность использования упомянутых факторов характеризуется соответствующими матричными коэффициентами ( ). Функции и можно интерпретировать как внешние воздействия на систему различной природы, например непредвиденные потери или возможные погрешности моделирования. Отметим, что специфический характер запаздывания компоненты с непрерывным временем (кусочно-постоянный аргумент) распространен в динамических моделях макроэкономики [15]. Начальное состояние системы (1), (2) считается заданным: (3) Для задания цели управления будем использовать определенный на компонентах и вектор-функционал : (4) где постоянные -матрица и -матрицы и -матрица с измеримыми и ограниченными элементами считаются заданными. Общая форма (4) вектор-функционала со значениями в позволяет охватить разнообразные конкретные случаи целевых условий, возникающих в прикладных задачах. С помощью вектор-функционала цель управления системой (1)-(2) задается равенством (5) где - заданный вектор целевых значений. Приведем несколько примеров. 1. Если целью управления является достижение заданных значений в конечный момент времени по обеим векторным компонентам: где - заданные значения, то в (4) имеем где - единичная -матрица. 2. В случае когда целевыми значениями являются интегральные показатели компоненты и суммарные показатели компоненты : соответствующие матрицы в представлении целевого вектор-функционала имеют вид 3. Пусть целевые условия заданы в виде где и - заданные матрицы размерности и соответственно. Тогда Задача достижения целей (5) решается в предположении, что управления и стеснены ограничениями (6) где - заданная матрица размерности . Будем предполагать, что множество решений системы линейных неравенств непусто и ограничено. 2. Сведение к проблеме моментов Воспользуемся представлением решений непрерывной и дискретной подсистем (см. [12, 16]). Для дискретной подсистемы (2) имеем (7) где - фундаментальная матрица однородной подсистемы (2), - матрица Коши подсистемы с дискретным временем. Подставим правую часть этого равенства в подсистему с непрерывным временем (1): (8) Система (8) не содержит компоненты с дискретным временем и представляет собой специальный случай функционально-дифференциальной системы управления относительно компоненты с непрерывным временем. Запишем ее в виде (9) где оператор определен равенством Меняя порядок суммирования во втором слагаемом правой части и приводя подобные для оператора можно получить представление Используя фундаментальную матрицу и матрицу Коши функционально-дифференциального оператора , запишем решение системы в виде (10) где ядро и функция определяются в результате элементарных преобразований. Представления (10) и (7) позволяют записать целевые условия (5) в терминах управлений и : (11) где - моментная матрица размерности . Обозначим через вектор управляющих воздействий. Таким образом, задача описания множества достижимых значений целевого вектор-функционала свелась к обобщенной проблеме моментов [17]: (12) Следуя теореме 7.1 [17, c. 269] и теореме 1 [12], определим для каждого функцию (13) где - символ транспонирования. Зафиксируем для каждого и каждого совокупность точек множества , доставляющих значение функционалу и обозначим В таком случае множество достижимых значений вектора состоит из тех и только тех точек для которых неравенство (14) выполняется для всех . Исходя из соотношений (13), (14), можно дать следующее описание алгоритма построения внешней оценки множества : 1. Построение элементов моментной матрицы на основе соотношений (7), (10). 2. Задание конечного набора векторов, определяющих при каждом вместе с матрицей градиент целевой функции в задаче (13). 3. Построение многогранника, определяемого системой линейных неравенств, 3. Иллюстрирующий пример В качестве конкретного примера системы (1)-(2) рассмотрим гибридную систему Считая нулевым начальное состояние этой системы: зададим целевой вектор-функционал равенствами Управления и стеснены следующими ограничениями: В этом примере внешняя оценка (оценка сверху по включению) для множества достижимых значений показателей представлена на рисунке. а б в Рис. Внешняя оценка множества достижимости для различных случаев общего числа К направлений градиента: а - К = 8; б - К = 16; в - К = 32

About the authors

V. P Maksimov

Perm State University

References

Statistics

Views

Abstract - 30

PDF (Russian) - 17

Refbacks

• There are currently no refbacks.