TO OPTIMALITY OF QUASI-SINGULAR CONTROL IN VARIABLE STRUCTURE CONTROL PROBLEM
- Authors: Mansimov K.B1,2, Alekberov A.A3
- Affiliations:
- Baku State University
- Institute of Control Systems of NAS Azerbaijan
- Lenkoran State University
- Issue: No 4 (2018)
- Pages: 7-30
- Section: ARTICLES
- URL: https://ered.pstu.ru/index.php/amcs/article/view/2168
- DOI: https://doi.org/10.15593/2499-9873/2018.4.01
- Cite item
Abstract
In the proposed paper, we study one composite optimal control problem described by a set of ordinary differential and integral equations. Admissible controls are selected from the class of piecewise-continuous functions. First, the calculated formula for the increment of the second-order quality functional. Then, assuming that the control domain is convex, a necessary first-order optimality condition is proved in the form of a linearized maximum condition. The case of degeneration of the linearized maximum condition (quasi-special case) is considered. The necessary conditions for optimality of quasi-singular controls are established. In the particular case, from the necessary optimality condition of the second order an analogue of the Legendre - Klebsch condition is obtained.
Full Text
Введение В работах [1-6] и других исследованы различные аспекты задач оптимального управления системами с переменной структурой, описываемые дифференциальными уравнениями. В предлагаемой же работе изучается одна задача оптимального управления системами с переменной структурой, описываемая совокупностью дифференциальных и интегральных уравнений. Используя модификацию метода приращений при помощи методики, предложенной в работах [7-11] и других, построена формула второго порядка для приращения критерия качества, отвечающего двум произвольным допустимым управлениям. В результате исследования полученной формулы приращения с помощью специальных вариаций управления сначала доказано необходимое условие оптимальности в форме линеаризованного условия максимума. Отдельно рассмотрен случай вырождения линеаризованного условия максимума (квазиособый случай [12]). 1. Постановка задачи Пусть управляемый объект на заданном отрезке времени описывается совокупностью интегральных и дифференциальных уравнений: (1) , (2) . (3) Здесь - заданная -мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по до второго порядка включительно; - заданная дважды непрерывно дифференцируемая m-мерная вектор-функция, , - -мерный кусочно-непрерывный (с конечным числом точек разрыва первого рода) вектор управляющих воздействий со значениями из заданного непустого, ограниченного и выпуклого множества , т.е. (4) Пару с вышеприведенными свойствами назовем допустимым управлением. Предполагается, что при каждом фиксированном допустимом управлении уравнение (1) (задача (2)-(3)) имеет единственное непрерывное (кусочно-гладкое) решение . На решениях системы (1)-(3), порожденных всевозможными допустимыми управлениями, определим аналог терминального функционала . (5) Здесь , - заданные дважды непрерывно дифференцируемые скалярные функции. Допустимое управление , доставляющее минимум функционалу (5) при ограничениях (1)-(4), назовем оптимальным управлением, а соответствующий процесс - оптимальным процессом. Нашей целью является установление необходимого условия оптимальности первого порядка в форме линеаризованного условия максимума и исследование случая его вырождения (квазиособый случай [12]). С этой целью применяется методика, предложенная и развитая в работах [7-11]. 2. Специальное приращение функционала качества Допустим, что - заданный допустимый процесс. Через обозначим произвольный допустимый процесс и при помощи формулы Тейлора запишем приращение критерия качества (5). Имеем (6) Здесь и в дальнейшем есть норма вектора в определяемая формулой , ́ (штрих) есть операция транспонирования, а есть величина, имеющая более высокий порядок малости, чем , т.е. при . Далее ясно, что приращение траектории есть решение задачи , , (7) (8) . (9) Пусть , - пока неизвестные n- и m-мерные соответственно вектор-функции. Умножая обе части соотношения (7)-(8) слева скалярно на , а затем интегрируя обе части полученного тождества по будем иметь (10) (11) Используя формулу интегрирования по частям и полагая , тождество (11) запишем в виде (12) С учетом тождеств (10)-(12) формула приращения (6) представляется в виде (13) Из (7) ясно, что . (14) Учитывая (14), в формуле приращения (13) получим (15) Если ввести аналоги функции Гамильтона - Понтрягина в виде то формула приращения (15) примет вид (16) Из (16), используя формулу Тейлора, будем иметь (17) Допустим, что удовлетворяет соотношениям: , , (18) , (19) . (20) Соотношение (18) есть относительно линейное неоднородное интегральное уравнение типа Вольтерра, а соотношение (19) - относительно линейное однородное дифференциальное уравнение. Систему (18)-(19) с начальным уравнением (20) назовем сопряженной системой для задачи (1)-(5). Учитывая (18)-(20) из формулы приращения (17), получим (21) В дальнейшем нам понадобятся оценки для и . Из (7)-(9), используя условие Липшица, получаем: , , (22) (23) где , - некоторые постоянные. Применяя к неравенству (22), (23) аналог леммы Гронуолла - Беллмана (см., например, [13]), будем иметь , , (24) . (25) Учитывая оценку (24) в (25), получим . (26) По предположению, множества и выпуклые. Поэтому специальное приращение допустимого управления можно определить по формуле (27) где - произвольное число, а , - произвольная кусочно-непрерывная в r(q)-мерная вектор-функция. Через обозначим специальное приращение траектории , отвечающее приращению (27) управления . Из оценок (24), (26) следует, что (28) где - некоторые положительные постоянные. Из (7)-(9) следует, что есть решение линеаризованной задачи (29) (30) . (31) С учетом оценки (28) при помощи (29)-(31) доказывается: Теорема 1. Для специального приращения траектории имеют место разложения: , (32) , (33) где , являются решениями систем уравнений: (34) , (35) . (36) Учитывая (27) и разложения (32), (33) в формуле приращения (21), получаем справедливость разложения (37) Из разложения (37) следует, что вдоль оптимального процесса Отсюда в силу произвольности следует, что Из последнего неравенства, в силу произвольности и независимости управляющих функций и приходим к утверждению: Теорема 2. Для оптимальности допустимого управления необходимо, чтобы выполнялись соотношения: (38) для всех , , (39) для всех . Соотношения (38), (39) являются интегральными линеаризованными условиями оптимальности. Используя лемму из [14, с. 8], можно доказать, что теорема 2 эквивалентна следующему утверждению: Теорема 3. Вдоль оптимального управления выполняются соотношения: (40) для всех , , (41) для всех , . Здесь есть произвольная точка непрерывности управления . Неравенства (40) и (41) являются поточечными линеаризованными необходимыми условиями оптимальности для задачи (1)-(5). Перейдем к исследованию случая вырождения линеаризованного условия максимума. Определение 1. Допустимое управление следуя, например, [12], назовем квазиособым в задаче (1)-(5), если для всех , и , соответственно выполняются соотношения: , (42) . (43) Из определения 1 ясно, что для квазиособых управлений линеаризованное необходимое условие оптимальности, вырождаясь, теряет свое содержательное значение. Поэтому надо иметь необходимые условия оптимальности квазиособых управлений. Из разложения (37) следует: Теорема 4. Для оптимальности квазиособого управления необходимо, чтобы неравенство (44) выполнялось для всех , , . Неравенство (44) есть неявное необходимое условие оптимальности квазиособых управлений. Опираясь на его, получим необходимое условие оптимальности, выраженное через параметры задачи (1)-(5). Используя произвольность и положим . Тогда неравенство (44) примет вид (45) где - решение уравнения (34), а является решением задачи , (46) . (47) Пусть - матричная функция, удовлетворяющая матричным интегральным уравнениям типа Вольтерра [15-17] Через обозначим -матричную функцию, являющуюся решением матричного дифференциального уравнения , с начальным условием , - -единичная матрица. Решение линейного интегрального уравнения (34) допускает представление [15, 16] При помощи формулы Дирихле, преобразуя правую часть, эту формулу можно записать в виде , (48) где по определению . Решение задачи Коши (46)-(47) допускает представление . Отсюда, в силу (48), будем иметь . (49) Полагая формулу (49) запишем в виде . (50) При помощи представлений (47), (49) доказывается, что (51) (52) (53) (54) (55) (56) Вводя обозначение (57) и учитывая тождества (51)-(56) в неравенстве (45), получим, что (58) Теперь предположим, что , . Тогда из неравенств (44) и (45) следует, что (59) где является решением задачи (60) (61) Запишем представление решения задачи Коши (60)-(61): (62) С использованием представления (62) доказывается справедливость тождеств: (63) (64) (65) Пусть по определению (66) Принимая во внимание обозначение (66) и тождества (63)-(65) в неравенстве (59), получим (67) Сформулируем полученный результат: Теорема 5. Для оптимальности квазиособого управления необходимо, чтобы неравенства (58) и (67) выполнялись соответственно для всех , и , . Неравенства (58), (67) являются интегральными необходимыми условиями оптимальности и носят довольно общий характер. Из них можно получить аналог условия Лежандра - Клебша. Следствие 1. Для оптимальности квазиособого управления необходимо, чтобы выполнялись соотношения для всех и , для всех и .About the authors
K. B Mansimov
Baku State University; Institute of Control Systems of NAS Azerbaijan
A. A Alekberov
Lenkoran State University
References
- Ащепков Л.Т. Оптимальное управление с разрывными системами. - М.: Наука, 1987. - 226 с.
- Величенко В.В. Оптимальное управление составными системами // Докл. АН СССР. - 1967. - Т. 176, № 4. - С. 754-756.
- Захаров Г.К. Оптимизация ступенчатых систем с управляемыми условиями перехода // Автоматика и телемеханика. - 1993. - № 6. - С. 32-36.
- Исмайлов Р.Р., Мансимов К.Б. Об условиях оптимальности в одной ступенчатой задаче // Выч. мат. и мат. физики. - 2006. - № 10. - С. 1458-1770.
- Kharatishvili G., Tadumadze T. The problem of optimal control for nonlinear systems with variable structure, delays and piecewise continuous prehistory // Memories on Differential Equations and Mathematical Physics. - 1997. - Vol. 11. - P. 67-78.
- Никольский М.С. Об одной вариационной задаче с переменной структурой // Вестник МГУ. Серия: Вычислительная математика и кибернетика. - 1987. - № 1. - С. 36-41.
- Мансимов К.Б. Особые управления в задачах управления системами с распределенными параметрами (обзор) // Современная математика и ее приложения. - 2006. - Т. 42. - С. 39-83.
- Мансимов К.Б. Об одной схеме исследования особого случая в системах Гурса-Дарбу // Изв. АН Азерб. ССР. Серия: Физико-технические и математические науки. - 1981. - № 2. - С. 100-104.
- Мансимов К.Б. Исследование особых процессов в задачах оптимального управления: автореф. дис. … д-ра физ.-мат. наук. - Баку, БГУ, 1994. - 42 с.
- Мансимов К.Б., Марданов М.Дж. Качественная теория оптимального управления системами Гурса-Дарбу. - Баку: Изд-во ЭЛМ, 2010. - 360 с.
- Абдуллаев А.А., Мансимов К.Б. Необходимые условия оптимальности в процессах, описываемых системой интегральных уравнений типа Вольтерра. - Баку: Изд-во ЭЛМ, 2013. - 224 с.
- Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. - М.: Наука, 1973. - 256 с.
- Плотников В.И., Сумин В.И. Проблема устойчивости нелинейных систем Гурса-Дарбу // Дифференциальные уравнения. - 1972. - № 5. - С. 845-856.
- Срочко В.А. Вычислительные методы оптимального управления. - Иркутск: Изд-во ИГУ, 1982. -110 с.
- Васильева А.Б., Тихонов А.Н. Интегральные уравнения. - М.: Изд-во МГУ, 1989. - 256 с.
- Цалюк З.Б. Интегральные уравнения Вольтерра // Итоги науки и техники. Серия: Математический анализ. - 1977. - Т. 15. - С. 131-138.
Statistics
Views
Abstract - 62
PDF (Russian) - 24
Refbacks
- There are currently no refbacks.