Full Text

Введение В работах [1-6] и других исследованы различные аспекты задач оптимального управления системами с переменной структурой, описываемые дифференциальными уравнениями. В предлагаемой же работе изучается одна задача оптимального управления системами с переменной структурой, описываемая совокупностью дифференциальных и интегральных уравнений. Используя модификацию метода приращений при помощи методики, предложенной в работах [7-11] и других, построена формула второго порядка для приращения критерия качества, отвечающего двум произвольным допустимым управлениям. В результате исследования полученной формулы приращения с помощью специальных вариаций управления сначала доказано необходимое условие оптимальности в форме линеаризованного условия максимума. Отдельно рассмотрен случай вырождения линеаризованного условия максимума (квазиособый случай [12]). 1. Постановка задачи Пусть управляемый объект на заданном отрезке времени описывается совокупностью интегральных и дифференциальных уравнений: (1) , (2) . (3) Здесь - заданная -мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по до второго порядка включительно; - заданная дважды непрерывно дифференцируемая m-мерная вектор-функция, , - -мерный кусочно-непрерывный (с конечным числом точек разрыва первого рода) вектор управляющих воздействий со значениями из заданного непустого, ограниченного и выпуклого множества , т.е. (4) Пару с вышеприведенными свойствами назовем допустимым управлением. Предполагается, что при каждом фиксированном допустимом управлении уравнение (1) (задача (2)-(3)) имеет единственное непрерывное (кусочно-гладкое) решение . На решениях системы (1)-(3), порожденных всевозможными допустимыми управлениями, определим аналог терминального функционала . (5) Здесь , - заданные дважды непрерывно дифференцируемые скалярные функции. Допустимое управление , доставляющее минимум функционалу (5) при ограничениях (1)-(4), назовем оптимальным управлением, а соответствующий процесс - оптимальным процессом. Нашей целью является установление необходимого условия оптимальности первого порядка в форме линеаризованного условия максимума и исследование случая его вырождения (квазиособый случай [12]). С этой целью применяется методика, предложенная и развитая в работах [7-11]. 2. Специальное приращение функционала качества Допустим, что - заданный допустимый процесс. Через обозначим произвольный допустимый процесс и при помощи формулы Тейлора запишем приращение критерия качества (5). Имеем (6) Здесь и в дальнейшем есть норма вектора в определяемая формулой , ́ (штрих) есть операция транспонирования, а есть величина, имеющая более высокий порядок малости, чем , т.е. при . Далее ясно, что приращение траектории есть решение задачи , , (7) (8) . (9) Пусть , - пока неизвестные n- и m-мерные соответственно вектор-функции. Умножая обе части соотношения (7)-(8) слева скалярно на , а затем интегрируя обе части полученного тождества по будем иметь (10) (11) Используя формулу интегрирования по частям и полагая , тождество (11) запишем в виде (12) С учетом тождеств (10)-(12) формула приращения (6) представляется в виде (13) Из (7) ясно, что . (14) Учитывая (14), в формуле приращения (13) получим (15) Если ввести аналоги функции Гамильтона - Понтрягина в виде то формула приращения (15) примет вид (16) Из (16), используя формулу Тейлора, будем иметь (17) Допустим, что удовлетворяет соотношениям: , , (18) , (19) . (20) Соотношение (18) есть относительно линейное неоднородное интегральное уравнение типа Вольтерра, а соотношение (19) - относительно линейное однородное дифференциальное уравнение. Систему (18)-(19) с начальным уравнением (20) назовем сопряженной системой для задачи (1)-(5). Учитывая (18)-(20) из формулы приращения (17), получим (21) В дальнейшем нам понадобятся оценки для и . Из (7)-(9), используя условие Липшица, получаем: , , (22) (23) где , - некоторые постоянные. Применяя к неравенству (22), (23) аналог леммы Гронуолла - Беллмана (см., например, [13]), будем иметь , , (24) . (25) Учитывая оценку (24) в (25), получим . (26) По предположению, множества и выпуклые. Поэтому специальное приращение допустимого управления можно определить по формуле (27) где - произвольное число, а , - произвольная кусочно-непрерывная в r(q)-мерная вектор-функция. Через обозначим специальное приращение траектории , отвечающее приращению (27) управления . Из оценок (24), (26) следует, что (28) где - некоторые положительные постоянные. Из (7)-(9) следует, что есть решение линеаризованной задачи (29) (30) . (31) С учетом оценки (28) при помощи (29)-(31) доказывается: Теорема 1. Для специального приращения траектории имеют место разложения: , (32) , (33) где , являются решениями систем уравнений: (34) , (35) . (36) Учитывая (27) и разложения (32), (33) в формуле приращения (21), получаем справедливость разложения (37) Из разложения (37) следует, что вдоль оптимального процесса Отсюда в силу произвольности следует, что Из последнего неравенства, в силу произвольности и независимости управляющих функций и приходим к утверждению: Теорема 2. Для оптимальности допустимого управления необходимо, чтобы выполнялись соотношения: (38) для всех , , (39) для всех . Соотношения (38), (39) являются интегральными линеаризованными условиями оптимальности. Используя лемму из [14, с. 8], можно доказать, что теорема 2 эквивалентна следующему утверждению: Теорема 3. Вдоль оптимального управления выполняются соотношения: (40) для всех , , (41) для всех , . Здесь есть произвольная точка непрерывности управления . Неравенства (40) и (41) являются поточечными линеаризованными необходимыми условиями оптимальности для задачи (1)-(5). Перейдем к исследованию случая вырождения линеаризованного условия максимума. Определение 1. Допустимое управление следуя, например, [12], назовем квазиособым в задаче (1)-(5), если для всех , и , соответственно выполняются соотношения: , (42) . (43) Из определения 1 ясно, что для квазиособых управлений линеаризованное необходимое условие оптимальности, вырождаясь, теряет свое содержательное значение. Поэтому надо иметь необходимые условия оптимальности квазиособых управлений. Из разложения (37) следует: Теорема 4. Для оптимальности квазиособого управления необходимо, чтобы неравенство (44) выполнялось для всех , , . Неравенство (44) есть неявное необходимое условие оптимальности квазиособых управлений. Опираясь на его, получим необходимое условие оптимальности, выраженное через параметры задачи (1)-(5). Используя произвольность и положим . Тогда неравенство (44) примет вид (45) где - решение уравнения (34), а является решением задачи , (46) . (47) Пусть - матричная функция, удовлетворяющая матричным интегральным уравнениям типа Вольтерра [15-17] Через обозначим -матричную функцию, являющуюся решением матричного дифференциального уравнения , с начальным условием , - -единичная матрица. Решение линейного интегрального уравнения (34) допускает представление [15, 16] При помощи формулы Дирихле, преобразуя правую часть, эту формулу можно записать в виде , (48) где по определению . Решение задачи Коши (46)-(47) допускает представление . Отсюда, в силу (48), будем иметь . (49) Полагая формулу (49) запишем в виде . (50) При помощи представлений (47), (49) доказывается, что (51) (52) (53) (54) (55) (56) Вводя обозначение (57) и учитывая тождества (51)-(56) в неравенстве (45), получим, что (58) Теперь предположим, что , . Тогда из неравенств (44) и (45) следует, что (59) где является решением задачи (60) (61) Запишем представление решения задачи Коши (60)-(61): (62) С использованием представления (62) доказывается справедливость тождеств: (63) (64) (65) Пусть по определению (66) Принимая во внимание обозначение (66) и тождества (63)-(65) в неравенстве (59), получим (67) Сформулируем полученный результат: Теорема 5. Для оптимальности квазиособого управления необходимо, чтобы неравенства (58) и (67) выполнялись соответственно для всех , и , . Неравенства (58), (67) являются интегральными необходимыми условиями оптимальности и носят довольно общий характер. Из них можно получить аналог условия Лежандра - Клебша. Следствие 1. Для оптимальности квазиособого управления необходимо, чтобы выполнялись соотношения для всех и , для всех и .

About the authors

K. B Mansimov

Baku State University; Institute of Control Systems of NAS Azerbaijan

A. A Alekberov

Lenkoran State University

References

Statistics

Views

Abstract - 61

PDF (Russian) - 23

Refbacks

• There are currently no refbacks.