Abstract

Abstract

Consider one step discrete optimal control problem described by a system of nonlinear difference equations with nonlocal boundary conditions. Under the assumption of convexity of control domains, an analogue of the linearized maximum condition is proved. The case of degeneracy of the linearized maximum condition has been specially studied.

Full Text

Введение Многие реальные процессы, являясь многоэтапными, описываются более сложными математическими моделями, чем одноэтапные (см., например, [1-6]). Под многоэтапными понимаются процессы, в которых изменение вектора фазового состояния объекта управления рассматривается на ряде последовательных отрезков (или областей). Причем на этих отрезках, соответствующих отдельным этапам, процессы описываются при помощи различных уравнений (дифференциальных или разностных). Задачи оптимального управления многоэтапными процессами называют задачами оптимального управления составными системами или же ступенчатыми системами (см., например, [1-7]). К настоящему времени в основном изучены ступенчатые задачи управления с локальными краевыми условиями [1-7]. В предлагаемой же работе исследуется ступенчатая задача оптимального управления с нелокальными краевыми условиями при предположении выпуклости области управления. Получен ряд необходимых условий оптимальности. 1. Постановка задачи Пусть требуется минимизировать терминального типа функционал (1) при ограничениях (2) , , (3) , (4) , (5) . (6) Здесь - заданная n(m)-мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по до второго порядка включительно; , - заданные постоянные матрицы; - заданный постоянный вектор; - заданное непустое, ограниченное и выпуклое множество; - r(q)-мерный вектор управляющих воздействий, - заданные дважды непрерывно дифференцируемые скалярные функции; - заданная дважды непрерывно дифференцируемая m-мерная вектор-функция; , , - заданные числа, причем разность есть натуральное число. Пару с вышеприведенными свойствами называем допустимым управлением, а соответствующий процесс - допустимым процессом. Допустимое управление, доставляющее минимум функционалу (1) при ограничениях (2)-(6), назовем оптимальным управлением. 2. Формула для приращения функционала качества Пусть и - фиксированное и произвольное соответственно допустимое управление. Через , обозначим соответствующие им решения краевой задачи (1)-(6) и запишем приращение функционала качества (7) Ясно, что приращение траектории будет решением краевой задачи , (8) , (9) , (10) . (11) Пусть , пока неизвестные вектор-функции и постоянный вектор; соответственно им введем функции Гамильтона - Понтрягина . Тогда из (8), (10) будем иметь: (12) , (13) (14) С учетом тождеств (12)-(14) приращение (7) функционала (1) записывается в виде (15) Из (15), полагая по определению и используя формулу Тейлора, будем иметь (16) Если предполагать, что тройка удовлетворяет соотношениям (17) (18) , (19) (20) то формула приращения (16) примет вид (21) 3. Аналог уравнения в вариациях и специальное разложение функционала качества Пусть - произвольное число, а - произвольное допустимое управление. «Возмущенное» управление определим в виде (22) Через обозначим решение «возмущенной» системы (23) (24) (25) (26) Положим (27) С использованием (23)-(26) доказывается, что является решением задачи , (28) , (29) , (30) . (31) С учетом обозначений (27) получаем, что (32) Учитывая (22)-(32) в формуле приращения (21), приходим к разложению (33) Теперь «проварьированное» управление определим по формуле (34) Здесь - произвольное число, а , - произвольное допустимое управление. Через обозначим решение «возмущенной» системы (35) (36) Из (35) ясно, что (37) Положим (38) С использованием (36) доказывается, что , определяемая формулой (38), является решением задачи , (39) , (40) при этом (41) Учитывая (34), (37), (41), в формуле приращения (21) функционала качества (1) получим (42) Полученные разложения (33) и (42) позволяют определить ряд необходимых условий оптимальности первого и второго порядка, выраженные непосредственно через параметры задачи. Теорема 1. При сделанных предположениях для оптимальности допустимого управления в задаче (1)-(6) необходимо, чтобы неравенства (43) (44) выполнялись для всех , , , соответственно. Теорема 1 представляет собой дискретный аналог линеаризованного условия максимума [8-10] для рассматриваемой задачи. Доказательство. Пусть - оптимальное управление. Тогда из разложений (33), (42) соответственно следует, что (45) (46) Из неравенств (45) и (46) в силу произвольности , и независимости друг от друга и получаем неравенства (43) и (44) соответственно. Теперь изучим случай вырождения линеаризованного условия максимума. Определение 1. Если для всех , , , выполняются соответственно соотношения , , то управление назовем квазиособым [12] управлением, а соответствующий случай - квазиособым случаем. В квазиособом случае из разложений (33), (40) следует неявное необходимое условие оптимальности квазиособых управлений. Теорема 2. Для оптимальности квазиособого управления необходимо, чтобы неравенства (47) (48) выполнялись для всех , , , соответственно. Как видно, неравенства (47), (48) являются неявными необходимыми условиями квазиособых управлений. Но, используя их, удается получить необходимые условия оптимальности, выраженные непосредственно через параметры задачи (1)-(6). Пусть и - матричные функции, являющиеся решениями задач , , , - единичные матрицы соответствующих размерностей. Тогда решения задачи (28)-(29), (30)-(31), (39)-(40) допускают соответственно представления [9, 11, 12]: (49) , (50) (51) Здесь по определению . Полагая формулу (49) запишем в виде Полагая последнюю формулу записываем в виде (52) С учетом (52) из (50) имеем (53) Пусть по определению Тогда представление (53) примет вид (54) Используя представления (52), (54), выполним преобразование слагаемых в неравенстве (47). Имеем (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) Далее, используя представление (51), имеем (63) (64) (65) Введем в рассмотрение матричные функции Тогда неравенства (47), (48) записываются соответственно в виде (66) (67) Сформулируем полученный результат: Теорема 3. Для оптимальности квазиособого управления необходимо, чтобы неравенства (66), (67) выполнялись для всех , , , соответственно.