Abstract

Abstract

The problem of asymptotic stability for autonomous functional differential equations is studied on the basis of the investigation of the roots of the characteristic function. We apply D -decomposition method for obtaining the sharp boundaries of stability domains. We obtain necessary and sufficient conditions of asymptotic stability for two families of linear autonomous differential equations with distributed delay and power kernels. These criteria of stability are formulated in terms of the parameters of the original problem. Based on the criteria, we find absolute stability conditions for each of the families.

Full Text

Введение Автономные функционально-дифференциальные уравнения (ФДУ) с ограниченным последействием традиционно [1-4] принято записывать в виде , . (1) Интеграл понимается в смысле интеграла Римана - Стилтьеса, функция является функцией ограниченной вариации, . При отрицательных значениях аргумента решение считается доопределенным заданной начальной функцией. Задача устойчивости, как одна из наиболее важных задач асимптотического поведения решения, ставилась и решалась для различных классов уравнений вида (1). Наиболее хорошо изучены уравнения с сосредоточенным запаздыванием, для которых функция представляет собой функцию, имеющую на отрезке конечное число скачков заданной величины в фиксированных точках [5]. Если же функция содержит абсолютно непрерывную (или, тем более, сингулярную) составляющую, то исследование уравнения (1) существенно усложняется: замена в уравнении (1) на оставляет класс функций очень широким. Получать области устойчивости удается лишь для уравнений, где указан конкретный вид функции . В работах [6-9] проведено подробное исследование асимптотических свойств уравнения (1) при . В данной статье исследуются два семейства уравнений с распределенным запаздыванием и дается описание их областей устойчивости. 1. Интегралы Френеля и их обобщения Приведем в этом разделе некоторые сведения об интегралах типа Френеля, которые будут использоваться в дальнейшем. Обобщенными интегралами Френеля называются интегралы вида и , (2) где . Оба интеграла имеют особенность при , но сходятся абсолютно при любом . При обе функции, и , имеют конечные положительные пределы: , , где - гамма-функция Эйлера. При получаем классические формулы Френеля [10, с. 723]: , . Очевидно, что . Как известно, , для всех . Функции сохраняют это свойство (см. графики функций на рис. 1). Однако функции положительны уже не для любого . При функции имеют конечное множество нулей, не являясь, естественно, осциллирующими (так как имеют положительные пределы при ). Графики функций приведены на рис. 2. Рис. 1. Графики функций при Рис. 2. Графики функций при При интегралы (2) легко находятся: , ; очевидно, что и имеют бесконечное множество нулей. Рассмотрим аналоги интегралов (2) при положительных степенях s: и (3) где Легко видеть, что , , следовательно, функция имеет нули, причем первый нуль лежит на интервале . Для функции аналогично имеем , , т.е. имеет нули, причем первый нуль лежит на интервале . При функции (3) пределов не имеют. Наряду с интегралами Френеля (2) нам понадобятся интегралы Френеля типа свертки: и Если , то при оба интеграла сближаются с периодическими функциями и соответственно и, следовательно, имеют бесконечное множество положительных нулей. При интегралы Френеля типа свертки совпадают с и . Рассмотрим аналоги интегралов (3) при положительных степенях . Заметим, что т.е. этот интеграл не имеет положительных нулей при любом . Далее, , следовательно, при интеграл имеет положительные нули, а при - нет. 2. Устойчивость семейств ФДУ с распределенным запаздыванием Асимптотические свойства решений уравнения (1), как известно, определяются свойствами корней характеристической функции , а их исследование основывается на следующем факте. Утверждение 1 [1, 2, 5]. Уравнение (1) асимптотически (экспоненциально) устойчиво тогда и только тогда, когда все корни функции лежат слева от мнимой оси. Семейство I. Пусть в уравнении (1) , где . Не нарушая общности, можно считать, что . Таким образом, рассматриваемое уравнение имеет вид , (4) а его характеристическая функция . Применим к исследованию устойчивости уравнения (4) метод D-разбиений [11]. Для этого установим, при каких значениях параметров и корни характеристической функции лежат на мнимой оси, т.е. исследуем разрешимость уравнения , где . Разделяя вещественную и мнимую части, получаем систему: Поскольку , то корню соответствует только . Переменная входит в оба уравнения системы симметрично, поэтому во всех рассуждениях достаточно рассматривать случай . При система имеет решения, если Как показано в п. 1, последнее уравнение не имеет решений, если следовательно, в этих условиях функция не имеет нулей на мнимой оси. При уравнение (4), очевидно, неустойчиво; если же k > 0, то легко убедиться, что при достаточно больших функция не обращается в нуль на границе полукруга , В работе [12] показано, что при фундаментальное решение уравнения (4) положительно, следовательно, уравнение (4) устойчиво. В силу теоремы о логарифмическом вычете [13] получаем, что уравнение (4) устойчиво при . Таким образом, установлен: Признак 1. Пусть -1 < α < ε0. Уравнение (4) экспоненциально устойчиво тогда и только тогда, когда . Пусть теперь . В п. 1 показано, что в этом случае уравнение имеет корни. Обозначим его первый положительный корень через и положим Признак 2. Пусть . Уравнение (4) экспоненциально устойчиво тогда и только тогда, когда . Доказательство. Устойчивость уравнения (4) при выполнении условий признака 2 очевидна. Докажем, что при k ≥ kα уравнение (4) неустойчиво. Рассмотрим семейство функций . Корни характеристической функции являются непрерывно дифференцируемыми функциями коэффициента , поэтому , а значит, . По формуле дифференцирования сложной функции имеем (5) Анализ последней формулы показывает, что при всегда , следовательно, переход через значение , при котором характеристическая функция имеет нуль на мнимой оси, приводит к увеличению вещественной части корня, т.е. корень переходит в правую полуплоскость. В силу утверждения 1 это означает неустойчивость уравнения (4). При возможна ситуация, когда , т.е. часть корней может вернуться в левую полуплоскость, но по крайней мере два корня всегда будут оставаться в правой полуплоскости. В силу утверждения 1 и в этом случае уравнение неустойчиво. Отметим известный частный случай признака 2. Следствие 1 [6, 7, 8]. Пусть . Уравнение (4) экспоненциально устойчиво тогда и только тогда, когда . Осталось рассмотреть пограничный случай . Здесь уравнение имеет единственный корень , который является кратным (см. график, выделенный красным цветом на рис. 2). Соответствующее значение коэффициента обозначим (приближенное значение ). Признак 3. Пусть . Уравнение (4) экспоненциально устойчиво тогда и только тогда, когда и . Доказательство. При уравнение (4) экспоненциально устойчиво, при характеристическая функция имеет два корня на мнимой оси , следовательно, уравнение (4) неустойчиво. Из формулы (5) следует, что , следовательно, способом, который был использован при доказательстве признака 2, невозможно установить, что происходит с вещественной частью корней характеристической функции при переходе коэффициента через значение . Выбирая на интервале произвольную точку, несложно провести прямую оценку вещественной части корней характеристической функции и убедиться, что если , то вещественные части всех корней отрицательны. Исследуем вопрос об области абсолютной устойчивости уравнения (4), если рассматривать его как семейство, зависящее от параметра . Чтобы найти область абсолютной устойчивости, необходимо изучить свойства множества . Лемма 1. При любом справедливо неравенство , а . Доказательство. Поскольку при , то первое неравенство доказано. С другой стороны, откуда следует второе неравенство. Далее, из определения имеем Легко видеть, что при . Следовательно, а так как , то Лемма 2. При любом справедливо неравенство , а . Доказательство. Поскольку , а в лемме 1 установлено, что , то из определения получаем искомое неравенство. Далее, с учетом леммы 1 имеем Для доказательства второго утверждения леммы 2 остается еще раз использовать определение . Теорема 1. Семейство (4) экспоненциально устойчиво, если и только если . Доказательство. Из леммы 2 следует, что . Для доказательства теоремы остается применить признаки 1-3 и учесть, что . Семейство II. Пусть в уравнении (1) , где . Не нарушая общности, полагаем , т.е. рассматриваем уравнение . (6) Его характеристическая функция . При уравнение (6), очевидно, неустойчиво, поэтому далее считаем, что . Разделяя вещественную и мнимую части уравнения , где , получаем систему: (7) Преобразуем интеграл из второго уравнения системы (7) и учтем результаты раздела 1. При (8) следовательно, функция не имеет нулей на мнимой оси. Легко убедиться, что при достаточно больших функция не обращается в нуль на границе полукруга , . В работе [12] показано, что при фундаментальное решение уравнения (6) положительно, следовательно, уравнение (6) устойчиво. В силу теоремы о логарифмическом вычете [13] получаем, что уравнение (6) устойчиво при . Таким образом, установлен: Признак 4. Пусть . Уравнение (6) экспоненциально устойчиво тогда и только тогда, когда . Пусть теперь . В силу (8) и результатов п. 1 заключаем, что второе уравнение системы (7) имеет корни. Обозначим его первый положительный корень и положим Применяя метод D-разбиений [11], получаем для уравнения (6) аналог признака 2. Признак 5. Пусть . Уравнение (6) экспоненциально устойчиво тогда и только тогда, когда . Доказательство. Устойчивость уравнения (6) при выполнении условий признака 5 очевидна. Докажем, что при уравнение (6) неустойчиво. Рассмотрим семейство функций . Корни характеристической функции являются непрерывно дифференцируемыми функциями коэффициента k, поэтому а значит, . По формуле дифференцирования сложной функции имеем (9) Используя результаты п. 1, получаем, что , следовательно, переход через значение , при котором характеристическая функция имеет нуль на мнимой оси, приводит к увеличению вещественной части корня, т.е. корень переходит в правую полуплоскость. В силу утверждения 1 это означает неустойчивость уравнения (6). Заметим, что при уравнения (4) и (6) совпадают, значит, в силу следствия 1 уравнение (6) экспоненциально устойчиво, если и только если Осталось рассмотреть пограничный случай . Из второго уравнения системы (7) с учетом получаем Тогда из первого уравнения той же системы находим - счетное множество значений коэффициента , при которых характеристическая функция имеет на мнимой оси пару сопряженных корней Следовательно, при уравнение (6) неустойчиво. Последовательность точек 0, …, … разбивает полуось на счетное множество непересекающихся интервалов. Из формулы (9) следует, что , следовательно, способом, который был использован при доказательстве признака 5, невозможно установить, что происходит с вещественной частью корней характеристической функции при переходе коэффициента через значение . Выбирая в каждом интервале произвольную точку (например, середину интервала), несложно провести прямую оценку вещественной части корней характеристической функции и убедиться, что если , то вещественные части всех корней отрицательны. Таким образом, установлен Признак 6. Пусть . Уравнение (6) экспоненциально устойчиво тогда и только тогда, когда и Для уравнения (6) также интересен вопрос об области абсолютной устойчивости, если рассматривать (6) как семейство, зависящее от параметра . Изучим свойства множества . Лемма 3. При любом справедливо неравенство , а . Доказательство. Поскольку при , то первое неравенство доказано. С другой стороны, откуда следует второе неравенство. Далее, из определения имеем Легко видеть, что при . С учетом леммы 3 отсюда следует, что , а поскольку , то . Лемма 4. При любом справедливо неравенство , а . Доказательство. Поскольку , а в лемме 3 установлено, что , то из определения получаем искомое неравенство. Далее, с учетом леммы 3 имеем Для доказательства второго утверждения леммы 4 остается еще раз использовать определение . Теорема 2. Семейство (6) экспоненциально устойчиво, если и только если . Доказательство. Из леммы 4 следует, что . Для доказательства теоремы остается применить признаки 4-6. Замечания и комментарии Первые попытки исследовать устойчивость уравнения (4) были предприняты в работе [14], где для найден вид линий D-разбиения, а для случая получен достаточный признак асимптотической устойчивости. Критерий экспоненциальной устойчивости для уравнения (4) при установлен в работе [15]; для указанных значений критерий совпадает с признаком 2. Признаки устойчивости для уравнения (6) являются новыми. Интересно отметить, что, несмотря на различие уравнений (4) и (6), их области абсолютной устойчивости совпадают. Этот факт хорошо согласуется с результатами работ [16] и [17], где получены точные достаточные признаки устойчивости уравнений вида (1).