Full Text

Введение В [1] представлена математическая модель биинертного осциллятора. Он имеет два принципиальных отличия от традиционных колебательных систем - пружинного маятника и электрического колебательного контура [2-9]. Первое: биинертный осциллятор состоит из однородных (инертных) элементов, поэтому качество энергии при энергообмене не меняется, а именно - кинетическая энергия одного элемента преобразуется в кинетическую же энергию другого. Второе: частоты свободных колебаний биинертного осциллятора не зависят от его параметров и определяются исключительно начальными условиями, благодаря чему он может совершать свободные гармонические колебания с любой изначально заданной частотой. Представляет интерес возможность моделирования триинертного осциллятора, во-первых, в связи с увеличением числа колеблющихся элементов, а во-вторых, и главным образом в связи с тем, что биинертный осциллятор не сбалансирован по силам инерции из-за своей асимметрии, что можно легко реализовать для триинертного осциллятора. 1. Синтез триинертного осциллятора Пусть три координатные оси - 0x1, 0x2, 0x3 - лежат в одной плоскости Z, последовательно повернуты относительно друг друга на p/3 и пересекаются в одной точке. Точка пересечения 0 является началом произвольно направленного вектора R, принадлежащего Z. Теорема 1. Координаты x1, x2, x3 проекций конца вектора R на оси 0x1, 0x2, 0x3 являются вершинами равностороннего треугольника, размер которого не зависит от направления R. Доказательство. Координаты проекций x1 = Rcosj, x2 = Rcos(p/3 - j), (1) x3 = Rcos(2p/3 - j). Здесь j - угол между R и 0x1. В соответствии с теоремой косинусов (x1x2)2 = R2[cos2j + cos2(p/3 - j) - 2cosjcos(p/3 - j)cos(p/3)] = (x1x3)2 = R2[cos2j + cos2(2p/3 - j) - 2cosjcos(2p/3 - j)cos(2p/3)] = (x2x3)2 = R2[cos2(p/3 - j) + cos2(2p/3 - j) - - 2cos(p/3 - j)cos(2p/3 - j)cos(p/3)] = Таким образом, треугольник является равносторонним. Теорема доказана. Теорема 2. Центр треугольника x1x2x3 совпадает с серединой вектора R. Доказательство. Пусть r - середина вектора R. В соответствии с теоремой косинусов (x1r)2 = R2[cos2j + 1/4 - 2cosj(1/2)cosj] = R2/4. (x2r)2 = R2[cos2(p/3 - j) + 1/4 - 2cos(p/3 - j)(1/2)cos(p/3 - j)] = R2/4. (x3r)2 = R2[cos2(2p/3 - j) + 1/4 - 2cos(2p/3 - j)(1/2)cos(2p/3 - j)] = R2/4. Точка r равноотстоит от точек x1 и x2, следовательно, она расположена на прямой, перпендикулярной отрезку x1x2 и проходящей через его середину. Это же справедливо в отношении отрезка x1x3. Таким образом, точка r принадлежит двум высотам треугольника x1x2x3, следовательно, она лежит на их пересечении, которое для равностороннего треугольника является центром. Теорема доказана. Теоремы 1 и 2 позволяют определить конфигурацию триинертного осциллятора, упрощенная схема которого показана на рисунке. 2. Анализ триинертного осциллятора Внешние усилия к грузам не приложены. Массы связующих элементов и трение не учитываются. Скорости грузов с учетом (1) dx1/dt = -Rsinjdj/dt, dx2/dt = Rsin(p/3 - j)dj/dt, dx3/dt = Rsin(2p/3 - j)dj/dt. Условием возникновения свободных гармонических колебаний является неизменность полной, в рассматриваемом случае - кинетической - энергии системы: T = 0,5mR2[sin2j + sin2(p/3 - j) + sin2(2p/3 - j)](dj/dt)2 = = 0,75mR2(dj/dt)2 = const. dj/dt = C1, j = C1t + C2. Пусть начальные условия j(0) = j0, Тогда С2 = j0, С1 = w0. При этом (1) принимает вид: x1 = Rcos(w0t + j0), x2 = Rcos(p/3 - w0t - j0), (2) x3 = Rcos(2p/3 - w0t - j0). Пусть x1(0) = x10, (dx1/dt)(0) = v10. Тогда cosj0 = x10/R, - Rw0sin(w00 + j0) = v10, Таким образом, все три груза совершают свободные гармонические колебания, обмениваясь между собой кинетической энергией. Из уравнений (2) следует, что радиус-вектор R равномерно вращается с угловой циклической скоростью w. Треугольник, образованный шатунами, вращается вокруг точки r и одновременно с радиус-вектором R - вокруг точки 0. При свободных гармонических колебаниях грузов, условием которых является отсутствие трения, необходимости в кривошипе 0r не возникает. При наличии трения кривошип 0r необходим для подвода энергии от внешнего привода с целью компенсации ее диссипации. При этом привод не совершает работу, направленную на сообщение грузам гармонических ускорений [10].

About the authors

I. P Popov

Kurgan State University

References

Statistics

Views

Abstract - 70

PDF (Russian) - 41

Refbacks

• There are currently no refbacks.