Full Text

Введение Работа посвящена рассмотрению операций дифференцирования на пространстве векторных полей и гладких функций в R3 [1-4]. В приложениях достаточно широко используется производная скалярной функции по вектору [5-9]. В какой-то мере подобно ей определяется производная вектора по другому вектору: Вместе с тем, формально интерпретируя производную как отношение дифференциалов, можно ввести в рассмотрение скалярную и векторную производные вектора по другому вектору, которые могут иметь приложение к решению задач механики. 1. Деление векторов Определение 1. Частное a/b от деления скаляра a на вектор b есть вектор Обратно, В частности, . Определение 2. Частное e/b от скалярного деления вектора e на вектор b есть скаляр где q - угол между векторами e и b. При этом . Определение 3. Частное e¸b от векторного деления вектора e на вектор b есть вектор Здесь «´» - знак векторного произведения. При этом , , . Теорема 1. Если известны частные от скалярного p и векторного q деления двух векторов e и b, а также делитель b, то делимое определяется как . Доказательство . Теорема доказана. Теорема 2. Если известны частные от скалярного p и векторного q деления двух векторов e и b, а также делимое e, то делитель определяется как . Доказательство Теорема доказана. 2. Скалярная производная вектора по другому вектору Определение 4. Операция называется скалярной производной векторного поля a = axi + ayj + azk по векторному полю b = bxi + byj + bzk. Теорема 3. Имеет место формула . (1) Доказательство . Теорема доказана. Представляет интерес частный случай, когда берется скалярная производная по радиус-вектору r = xi + yj + zk. . Следствие. Имеет место формализм: . Замечание. При решении ряда задач механики для упрощения вычислений систему координат выбирают таким образом, чтобы по крайней мере направление некоторых векторов совпадало с одной из координатных осей. Если это касается вектора, по которому предполагается выполнить дифференцирование, то в таких случаях формула (1) использоваться не может, поскольку некоторые дифференциалы этого вектора равны нулю. Это обстоятельство обусловливает следующие две теоремы. Теорема 4. Имеет место формула , где e - орты. Доказательство Теорема доказана. Аналогично доказывается Теорема 5. Имеет место формула . Пример 1. Тело массой m движется со скоростью . В соответствии с [10] в этом случае интегральный (в смысле объемного интегрирования) вектор Умова . При этом , что является кинетической энергией. 3. Векторная производная вектора по другому вектору Определение 5. Операция называется векторной производной векторного поля a по векторному полю b. Теорема 6. Имеет место формула . (2) Доказательство . Теорема доказана. Представляет интерес частный случай, когда берется векторная производная по радиус-вектору r. . Следствие. Имеет место формализм: . Приведенное выше замечание обусловливает следующие две теоремы. Теорема 7. Имеет место формула , (3) Доказательство . Теорема доказана. Теорема 8. Имеет место формула . Доказательство . Теорема доказана. Пример 2. Точка совершает вращательное движение с угловой скоростью w = ke и тангенциальным ускорением . Здесь ke - угловое ускорение. В соответствии с (3) , т.е. результат является линейной скоростью точки. Пример 3. Скорость точки , ускорение . В соответствии с (2)

About the authors

I. P Popov

Kurgan State University

References

Statistics

Views

Abstract - 78

PDF (Russian) - 125

Refbacks

• There are currently no refbacks.