SCALAR AND VECTOR DIVISION AND DERIVATIVES VECTORS

Abstract


The work is devoted to the operations of differentiation in the space of vector fields and smooth functions. In mechanics, it is widely used derivative of a scalar function of the vector. To some extent, like it is determined by the derivative of the vector to another vector. However, formally interpreting the derivative as division differentials are entered in consideration of scalar and vector derived vector on another vector, which may have application to the solution of problems of mechanics. The definition of a derivative of a scalar vector field on another vector field. We prove a theorem on the representation of the scalar derivative in the form of a combination of partial derivatives. As a typical particular case is considered a scalar derivative in the radius vector, generating formalism linking it with the operator nabla. It is noted that in solving some problems in the mechanics to simplify the calculation coordinate system is chosen so that at least some vectors direction coincides with one of the coordinate axes. If it concerns the vector for derivation to be performed, in such cases, the formula for the three-dimensional case can not be used because some of this vector differentials are equal to zero. This circumstance makes it necessary to prove two theorems for the two-dimensional and one-dimensional case. The definition of a vector derivative of a vector field on another vector field. We prove a theorem on the representation of the derivative vector as a combination of partial derivatives. As a typical particular case considered vector derivative of the radius vector, generating formalism linking it with the operator nabla. We prove similar theorems for two-dimensional and one-dimensional case. We give examples of applications of these results to problems of mechanics.

Full Text

Введение Работа посвящена рассмотрению операций дифференцирования на пространстве векторных полей и гладких функций в R3 [1-4]. В приложениях достаточно широко используется производная скалярной функции по вектору [5-9]. В какой-то мере подобно ей определяется производная вектора по другому вектору: Вместе с тем, формально интерпретируя производную как отношение дифференциалов, можно ввести в рассмотрение скалярную и векторную производные вектора по другому вектору, которые могут иметь приложение к решению задач механики. 1. Деление векторов Определение 1. Частное a/b от деления скаляра a на вектор b есть вектор Обратно, В частности, . Определение 2. Частное e/b от скалярного деления вектора e на вектор b есть скаляр где q - угол между векторами e и b. При этом . Определение 3. Частное e¸b от векторного деления вектора e на вектор b есть вектор Здесь «´» - знак векторного произведения. При этом , , . Теорема 1. Если известны частные от скалярного p и векторного q деления двух векторов e и b, а также делитель b, то делимое определяется как . Доказательство . Теорема доказана. Теорема 2. Если известны частные от скалярного p и векторного q деления двух векторов e и b, а также делимое e, то делитель определяется как . Доказательство Теорема доказана. 2. Скалярная производная вектора по другому вектору Определение 4. Операция называется скалярной производной векторного поля a = axi + ayj + azk по векторному полю b = bxi + byj + bzk. Теорема 3. Имеет место формула . (1) Доказательство . Теорема доказана. Представляет интерес частный случай, когда берется скалярная производная по радиус-вектору r = xi + yj + zk. . Следствие. Имеет место формализм: . Замечание. При решении ряда задач механики для упрощения вычислений систему координат выбирают таким образом, чтобы по крайней мере направление некоторых векторов совпадало с одной из координатных осей. Если это касается вектора, по которому предполагается выполнить дифференцирование, то в таких случаях формула (1) использоваться не может, поскольку некоторые дифференциалы этого вектора равны нулю. Это обстоятельство обусловливает следующие две теоремы. Теорема 4. Имеет место формула , где e - орты. Доказательство Теорема доказана. Аналогично доказывается Теорема 5. Имеет место формула . Пример 1. Тело массой m движется со скоростью . В соответствии с [10] в этом случае интегральный (в смысле объемного интегрирования) вектор Умова . При этом , что является кинетической энергией. 3. Векторная производная вектора по другому вектору Определение 5. Операция называется векторной производной векторного поля a по векторному полю b. Теорема 6. Имеет место формула . (2) Доказательство . Теорема доказана. Представляет интерес частный случай, когда берется векторная производная по радиус-вектору r. . Следствие. Имеет место формализм: . Приведенное выше замечание обусловливает следующие две теоремы. Теорема 7. Имеет место формула , (3) Доказательство . Теорема доказана. Теорема 8. Имеет место формула . Доказательство . Теорема доказана. Пример 2. Точка совершает вращательное движение с угловой скоростью w = ke и тангенциальным ускорением . Здесь ke - угловое ускорение. В соответствии с (3) , т.е. результат является линейной скоростью точки. Пример 3. Скорость точки , ускорение . В соответствии с (2)

About the authors

I. P Popov

Kurgan State University

References

  1. Попов И.П. Математическое моделирование формального аналога волновой функции // Прикладная математика и вопросы управления. - 2016. - № 1. - С. 9-14.
  2. Абдуллаев А.Р., Савочкина А.А. Разрешимость периодической задачи для системы двух дифференциальных уравнений первого порядка // Прикладная математика и вопросы управления. - 2015. - № 1. - С. 9-18.
  3. Няшина Н.Д. Математическая модель деформирования стали при мартенситных переходах // Прикладная математика и вопросы управления. - 2015. - № 1. - С. 36-46.
  4. Баранова А.А. Методика анализа процесса биологической деструкции дротаверина гидрохлорида в условиях микростатистики // Прикладная математика и вопросы управления. - 2015. - № 2. - С. 7-17.
  5. Роговой А.А., Столбова О.С. Термомеханика фазовых переходов в ферромагнитных сплавах с памятью формы при конечных деформациях // Прикладная математика и вопросы управления. - 2016. - № 1. - С. 15-24.
  6. Сметанников О.Ю., Ильиных Г.В. Численное моделирование высокоскоростного течения газа в области с движущимися границами // Прикладная математика и вопросы управления. - 2016. - № 1. - С. 34-42.
  7. Стволова С.С., Зубко И.Ю. О возможности описания упругой анизотропии в дискретно-атомистическом подходе на примере плоских квазикристаллических структур // Прикладная математика и вопросы управления. - 2016. - № 1. - С. 43-56.
  8. Батин С.Е., Гитман М.Б. Об одном способе определения совместной плотности распределения функции нескольких случайных переменных // Прикладная математика и вопросы управления. - 2016. - № 1. - С. 59-66.
  9. Колмогоров Г.Л., Мельникова Т.Е. Применение метода Ритца - Тимошенко для расчета круглых гибких пластин // Прикладная математика и вопросы управления. - 2016. - № 2. - С. 14-23.
  10. Попов И.П. Волновые уравнения и меры движения // Вестник Удмуртского университета. Физика и химия. - 2014. - Вып. 2. - С. 30-33.

Statistics

Views

Abstract - 3

PDF (Russian) - 1

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies