Abstract

Abstract

For the linear neutral-type equation, , t Î [ a , b ], solvability conditions for the Cauchy problem are obtained. It is allowed that the coefficient, m (·), can be zero on a positive-measure set of [ a , b ] (the degenerate case).

Full Text

1. Рассмотрим уравнение , , (1) и исследуем вопрос о существовании решения, удовлетворяющего начальному условию , в пространстве абсолютно непрерывных функций. Будем предполагать, что: , функции измеримы и ограничены в существенном, - линейный оператор. В предлагаемой работе рассматривается случай, когда носитель , т.е. допускается, что коэффициент первого слагаемого может обращаться в нуль на множестве положительной меры. В этом и заключается вырожденный случай рассматриваемого уравнения. Пусть . Через обозначим пространство функций суммируемых по Лебегу с квадратом, с нормой ; - пространство измеримых и ограниченных в существенном функций с нормой . Решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию, будем искать в пространстве таких абсолютно непрерывных функций , что , с нормой . 2. В этом пункте напомним необходимые сведения об операторе внутренней суперпозиции и сформулируем вспомогательные утверждения, необходимые в дальнейшем. В данной работе систематически используются понятия, связанные с мерой Лебега, в частности производная Радона - Никодима. Приводимые здесь сведения можно найти в монографиях [1-3] и работах [4, 5]. Определение производной Радона - Никодима можно найти в [2], условия ограниченного действия оператора суперпозиции - в [5], а в работе [4] подробно излагаются сведения, относящиеся к мере . Пусть - мера Лебега измеримого множества относительно функции будем предполагать, что из следует . Определим функцию множества и пусть существует такая суммируемая функция , что , . Функция называется производной Радона - Никодима функции множества . Отметим, что , где - отрезок, содержащий точку Предположим, что существует такая измеримая функция , что почти всюду выполняются равенства , и . Следующие утверждения доказываются с применением формулы замены в интеграле Лебега: 1) пусть почти всюду. Тогда оператор , (называемый оператором внутренней суперпозиции, оператором сдвига, композиционным оператором) ограничен; 2) оператор сопряженный с оператором , имеет вид Положим , . Теорема 1. Пусть выполнены условия: 1) , 2) , , 3) , . Тогда справедливо неравенство , . Доказательство. Пусть - произвольный элемент. Имеем . Неравенство очевидно. Для оценки снизу преобразуем квадрат этого выражения посредством замены переменной в интеграле . Подробности преобразования интеграла после замены изложены в [4]. В условиях теоремы теперь нетрудно установит оценку . Теорема доказана. Замечание 1. Если , то в условиях теоремы 1 оператор имеет ограниченный правый обратный. Оператору поставим в соответствие оператор , определенный равенством . Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и, кроме того, выполнено неравенство . Тогда задача Коши для уравнения (1) имеет хотя бы одно решение для произвольных , . Доказательство. Рассмотрим операторное уравнение , (2) полученное из уравнения (1). Полагая докажем, что уравнение (2) имеет хотя бы одно решение для произвольного элемента . Отсюда и будет следовать разрешимость задачи Коши для уравнения (1). Поскольку условия теоремы (1) выполнены, оценим снизу для произвольного . С учетом утверждений теоремы 1 можно получить оценку . Теорема доказана. В качестве применения теоремы 2 рассмотрим задачу (3) сохранив прежние предположения на . Будем предполагать, что и - такая измеримая функция, что . Следствие теоремы 2. Если выполнено неравенство , то задача (3) имеет хотя бы одно решение при произвольных , . Замечание 2. Отметим, что в условиях приведенных теорем не участвует «мера вырожденности» коэффициента , т.е. мера множества . Это объясняется тем, что при соответствующих предположениях оператор является сюръективным, и поэтому разрешимость задачи Коши для уравнения (1) зависит только от оператора . В заключение отметим, что при дополнительном предположении о существовании конечной производной функции для нахождения производной Радона - Никодима можно воспользоваться следующей формулой: . Например, для функции , имеем .