Abstract

Abstract

In the paper investigated boundary optimal control problem for Goursat-Darboux systems assuming the convex of control domain. Analogous linearization maximum condition is obtained. Necessary optimality conditions of quasi-singular controls are derived.

Full Text

Введение Задачи оптимального управления, описываемые системами Гурса-Дарбу и с управляемым граничным условиям, начали изучаться еще в работах А.И. Егорова [1, 2]. Отметим работы [3-9], в которых получен ряд необходимых условий оптимальности и доказаны теоремы существования оптимальных граничных управлений. В предлагаемой статье исследуется одна граничная задача оптимального управления, описываемая системой Гурса-Дарбу при предположении выпуклости области управления. Установлено необходимое условие оптимальности в форме линеаризованного условия максимума, и исследован случай его вырождения (квазиособый случай). 1. Постановка задачи Рассмотрим задачу о минимуме функционала (1) при ограничениях , (2) , (3) (4) , (5) (6) Здесь - заданная n-мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по до второго порядка включительно; - заданная измеримая и ограниченная (n ´ n)-матричная функция; - заданная n-мерная абсолютно непрерывная вектор-функция; - заданы; - заданный постоянный вектор; - заданная n-мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по до второго порядка включительно; и - заданные дважды непрерывно дифференцируемые скалярные функции; - заданное непустое ограниченное и выпуклое множество; - измеримая и ограниченная r-мерная управляющая вектор-функция. Каждую управляющую функцию с вышеприведенными свойствами назовем допустимым управлением. Предполагается, что при заданном допустимом управлении задача Коши (5)-(6) и задача Гурса (3)-(4) имеют единственное абсолютно непрерывное решение (в смысле [10-13]) и соответственно. Допустимое управление доставляющее минимум функционалу (1) при ограничениях (2)-(6), назовем оптимальным управлением, а соответствующий процесс - оптимальным процессом. 2. Специальное приращение функционала качества Считая фиксированным допустимым процессом, введем обозначения , , , , , , , , , , , , где и пока неизвестные n-мерные вектор-функции. Через обозначим произвольный допустимый процесс и запишем приращение критерия качества: (7) Далее ясно, что приращение состояния есть решение задачи (8) , (9) (10) (11) Умножая обе части соотношения (8) ((10)) слева скалярно на , а затем интегрируя обе части полученного соотношения по (по ), получим (12) (13) С учетом тождеств (12) и (13) формула приращения (1) записывается в виде Отсюда, используя формулу Тейлора, будем иметь (14) где при . Ясно, что , (15) , (16) , (17) . (18) Используя формулы (15)-(18) и применяя формулу Фубини (см., например, [10]), можно доказать, что , (19) (20) (21) (22) С учетом доказанных тождеств (19)-(22) формула (14) для приращения функционала качества (1) представляется в виде (23) Если предполагать, что является измеримым и ограниченным решением системы интегральных уравнений типа Вольтерра (24) (25) то формула приращения (23) примет вид (26) Пусть - произвольное число, а - произвольная измеримая и ограниченная r-мерная вектор-функция (допустимое управление). В силу выпуклости области управления специальное приращение управления можно определить по формуле , . (27) Через обозначим специальное приращение вектора состояния отвечающее приращению (27) управления . Из оценок, приведенных, например, в работах [1-4, 6, 7, 11-13], следует, что , (28) , где L - некоторая постоянная, Используя эти оценки и формулу (27), при помощи (8)-(9), (10)-(11) доказывается следующее. Теорема 1. Для специального приращения состояния имеют место разложения , , (29) , где является решением аналога уравнения в вариациях (30) , (31) (32) (33) С учетом разложений (29) из формулы приращения (26) получаем, что (34) 3. Необходимые условия оптимальности Из разложения (34) сразу следует теорема 2. Теорема 2. Для оптимальности допустимого управления в рассматриваемой задаче необходимо, чтобы для всех , выполнялось соотношение . (35) Необходимое условие оптимальности (35) есть аналог интегрального линеаризованного (см., например, [14]) условия максимума для рассматриваемой задачи. Следуя работам [15, 16], можно доказать нижеприведенное утверждение. Теорема 3. Необходимое условие оптимальности (35) имеет место тогда и только тогда, когда для всех правильных точек (точек Лебега) управления (см., например, [17-19]) и для всех выполняется неравенство . (36) Соотношение (36) есть аналог линеаризованного (дифференциального) (см., например, [14]) условия максимума, принадлежит классу необходимых условий оптимальности первого порядка и нередко вырождается (см., например, [20]). Такие случаи называются квазиособыми. Определение 1. Допустимое управление назовем квазиособым управлением в задаче (1)-(6), если для всех . (37) Из разложения (34) в силу (35), (36) следует теорема 4. Теорема 4. Для оптимальности квазиособого управления в задаче (1)-(6) необходимо, чтобы неравенство (38) выполнялось для всех , . Неравенство (38) есть неявное необходимое условие оптимальности квазиособых управлений. Используя его, можно получить необходимые условия оптимальности квазиособых управлений, непосредственно выраженные через параметры задачи (1)-(6). Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (30) с начальным условием (31) допускает представление [10, 21] (39) где - (n ´ n)-матричная функция, являющаяся решением задачи , , - (n ´ n)-единичная матрица. С помощью результата работы [22] решение краевой задачи записывается в виде , (40) где - (n ´ n)-матричная функция решения интегрального уравнения. Из (40) с учетом (16) имеем (41) Полагая, что , (42) из (41) получим . Отсюда в силу представления (39) имеем Полагая, что (43) окончательно будем иметь (44) Следовательно, (45) Используя представления (39), (44), (45), займемся преобразованием отдельных слагаемых в (38). При помощи представления (39) получим (46) , (47) (48) Далее при помощи (44), (45) доказывается справедливость тождеств (49) (50) (51) Введем обозначения (52) Матричная функция является аналогом матричных функций, введенных в рассмотрение в работах [18, 23, 24]. С учетом обозначения (52) и тождества (46)-(51) неравенство (38) записывается в виде (53) Сформулируем полученный результат. Теорема 5. Для оптимальности квазиособого управления в задаче (1)-(6) необходимо, чтобы неравенство (53) выполнялось для всех , . Неравенство (53) есть интегральное необходимое условие оптимальности квазиособых управлений и носит довольно общий характер. Из него можно получить, используя произвольность , ряд более легко проверяемых условий оптимальности. Непосредственным следствием теоремы 5 является теорема 6. Теорема 6. Для оптимальности квазиособого управления в задаче (1)-(6) необходимо, чтобы для всех , выполнялось неравенство (54) Неравенство (54) есть аналог условия Лежандра-Клебша в случае выпуклой области управления. Теперь изучим случай вырождения аналога условия Лежандра-Клебша. Определение 2. Квазиособое управление назовем квазиособым второго порядка управлением, если для всех , . (55) Теорема 7. Если - квазиособое второго порядка управление, то для его оптимальности необходимо, чтобы (56) выполнялось для всех и . Неравенство (56) есть аналог условия Габасова-Кирилловой, полученный в работах [25, 26] в случае обыкновенной динамической системы другим способом.