ON AN EQUATION OF SOBOLEV TYPE OF THIRD ORDER
- Authors: Bychkov E.V1, Kotlovanov K.I.1
- Affiliations:
- South Ural State University
- Issue: No 3 (2017)
- Pages: 30-34
- Section: ARTICLES
- URL: https://ered.pstu.ru/index.php/amcs/article/view/2209
- DOI: https://doi.org/10.15593/прикладная%20математика%20и%20вопросы%20управления%20/%20applied%20mathematics%20and%20control%20sciences.v0i3.2209
- Cite item
Abstract
We consider a mathematical model of thermoelastic plate vibrations under certain assumptions. The model is based on the nonclassical high-order equation of the mathematical physics, in addition, the equation is an equation of the Sobolev type. As is known, a Cauchy problem for the equation of Sobolev type is not solvable for arbitrary initial values. In this paper we consider the Showalter-Sidorov problem, which is solvable for arbitrary initial values and is more suitable for a Sobolev type equation. In appropriately chosen functional spaces, the considered mathematical model can be reduced to an abstract Sobolev type equation of the third order with relatively ( n , p )-sectorial operator on the right-hand side. The main research approach is the method to construct resolving semigroups.
Full Text
Введение В наше время методы математического моделирования широко применяются в исследованиях динамического поведения пластин. Они играют важную роль в современном строительстве различных зданий, автомобильных дорог, мостов. Вместе с тем элементы некоторых конструкций, таких как двигатели машин, самолетов, ракет, элементы различных ядерных и атомных станций, в процессе эксплуатации подвергаются различным воздействиям температуры. При проектировании такого рода конструкций их динамическое поведение описывается теорией термоупругости. Результаты о доказательстве существования единственного решения являются основой для дальнейшего исследования задач управления. В дальнейшем для рассмотрения модели колебаний термоупругой пластины будем рассматривать уравнение вида . (1) Функция u характеризует отклонение пластины от положения покоя. Коэффициенты k и γ - положительные, характеризующие свойства материала термоупругой пластины; f(x, y, t) - это внешнее воздействие. Под термоупругостью понимается тепловое расширение, полностью обратимое или термически упругое, т.е. эффекты деформации при нагревании и охлаждении по абсолютной величине равны. 1. Постановка задачи Будем рассматривать уравнение, моделирующее колебание термоупругой пластины [1]: . (2) Если предположить, что в процессе нагревания пластина не подвержена диффузии или диффузия незначительно влияет на физические свойства и процесс колебания, то параметр k можно положить равным нулю. Таким образом, уравнение (2) упрощается до уравнения вида . (3) Дополним уравнение (3) краевыми условиями Бенара [2] (4) и начальными условиями . (5) Проинтегрировав уравнение (3) с учетом начальных условий (5), получим . (6) , (7) . (8) Здесь - ограниченная область с достаточно гладкой границей 2. Задача Шоуолтера-Сидорова для уравнения математической модели колебаний термоупругой пластины Рассмотрим задачу Коши (9) для уравнения . (10) Уравнение (10) редуцируется к системе , (11) для уравнения . (12) Рассмотрим задачу Шоуолтера-Сидорова (13) для уравнения соболевского типа [3] , (14) Теорема 1. Для любой вектор-функции f, такой что и и произвольных начальных значениях u0, u1About the authors
E. V Bychkov
South Ural State University
Email: bychkovev@susu.ru
K. Iu Kotlovanov
South Ural State University
Email: kotlovanovki@susu.ru
References
- Фалалеев М.В., Красник А.В., Орлов С.С. Вырожденные дифференциальные уравнения высоких порядков специального вида в банаховых пространствах и их приложения // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2010. - Т. XIII, № 3 (43). - С. 126-139.
- Замышляева А.А. Об аналитическом исследовании математической модели Бенни-Люка // Математические заметки СВФУ. - 2013. - Т. 20, № 2. - С. 57-65.
- Sviridyuk G.A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operator. - Utrecht, Boston, Koln: VSP, 2003.
- Замышляева А.А. Фазовое пространство уравнения соболевского типа высокого порядка // Изв. Иркут. гос. ун-та. - 2011. - Т. 4, № 4. - С. 45-57.
- Свиридюк Г.А. Фазовые пространства полулинейных уравнений типа Соболева с относительно сильно секториальным оператором // Алгебра и анализ. - 1994. - Т. 6, № 5. - С. 252-272.
- Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов // Успехи мат. наук. - 1994. - Т. 49, № 4. - С. 47-74.
Statistics
Views
Abstract - 20
PDF (Russian) - 8
Refbacks
- There are currently no refbacks.