Abstract

Abstract

Reverse road traffic organization is a way to solve the current difficult traffic situation in a large city. The paper presents a queuing system for modeling this type of traffic management, as well as the method to selecting the optimal direction of a reverse-line functioning by solving an optimization problem.

Full Text

Введение Вопрос загруженности дорог стоит очень остро в современных развитых городах, где имеет место большое количество личных автотранспортных средств. Одновременный выезд автомобилей на отдельный участок приводит к образованию заторов. Все это влечет за собой необходимость поиска выходов из сложившейся ситуации. Одним из вариантов разрешения этой проблемы является организация полос реверсивного движения. Такие участки предполагают, что в зависимости от значения некоторого параметра, который может быть принят в качестве управляющего, полоса будет использоваться для движения в одном из направлений. Такие дороги с реверсивным движением можно описать с помощью систем массового обслуживания с симметричным резервным прибором. Управление этим резервным прибором происходит по времени ожидания заявки в системе, а не по длине очереди. Принятие в качестве критерия переключения длины очереди было бы некорректным, так как очередь теряет свой смысл, когда транспортные средства в ней движутся с допустимой на данном участке скоростью. В данной работе рассматриваются построение и оптимизация системы управления реверсивными полосами на автодорогах с однотипным, симметричным резервным прибором, управляемым по текущему времени ожидания заявки, находящейся первой в очереди, позволяющей находить оптимальный момент включения резервного прибора (реверсивной полосы). 1. Система массового обслуживания с подключаемым резервным прибором Рассмотрим однолинейную систему массового обслуживания с пуассоновским входящим потоком (интенсивность λ), к которой может быть подключен резервный прибор. Обслуживание предполагается экспоненциальным с интенсивностью μ1 и μ2 для основного и резервного приборов соответственно. Дисциплина обслуживания системы зависит от времени ожидания s заявки, находящейся в очереди первой, и описывается следующим правилом: как только s достигает величины s1, подключается резервный прибор и берет для обслуживания заявку, стоящую в очереди первой; после обслуживания одного требования резервный прибор выключается, если s < s0, и продолжает работать, если s ≥ s0 (s0 < s1). Поскольку поток заявок является простейшим, а обслуживание экспоненциальным, то s представляет марковский случайный процесс. Тогда финальная плотность вероятностей Р(s) величины s: для работы только основного прибора P1(s) в области s ≤ s0 и P2(s) в области s0 ≤ s ≤ s1, для работы основного и резервного приборов P3(s) в области s ≤ s0 и P4(s) в области s0 ≤ s ≤ s1 и P5(s) в области s ≥ s1 [1]. Обратное уравнение Колмогорова с учетом возможных переходов за время Δt: (1) где υ - интервал времени, через который поступило требование, следующее за находящимся в очереди первым [2]. Раскладывая (1) в Тейлора по Δt и переходя к пределу Δt →0, получим (2) Производя замену (s + υ) = y, умножая на e-λυ и затем дифференцируя по s, приведем (2) к виду Аналогично получаем (3) (4) (5) Особого внимания требует рассмотрение моментов s = s0 и s = s1. Рассматривая переходы в точках s = s0, получим откуда после предельного перехода (Δt →0) P1(s0) = P2(s0). Аналогично P3(s0) = P4(s0). Принимая в уравнениях (2)-(5) s = s0 и сравнивая их правые части, можно получить выполнение остальных условий сшивания. Обозначим через π(0, 0) вероятность того, что в системе нет заявок, через π(1, 0) - вероятность того, что в системе находится одна заявка, которая обслуживается основным прибором, через π(0,1) - вероятность нахождения в системе одной заявки, которая обслуживается резервным прибором, и через π(1,1) - вероятность того, что в системе находятся две заявки, одна из которых обслуживается основным прибором, а вторая - резервным. Рассматривая возможные переходы в точке s = 0, получим Переходя к пределу при Δt →0, получим . (6) Аналогичным образом можно получить , (7) , (8) , (9) (10) (11) Полагая в (2) и (4) s = 0 и сравнивая правые части с (10) и (11), получим (12) (13) С учетом (6) и (7) соотношения (12) и (13) примут вид , (14) . (15) Получено шесть условий в нуле (6)-(9) и (14)-(15). Отметим, что одно из них является следствием остальных. К этим условиям следует добавить еще естественное условие и условие нормировки Выписанные уравнения для P1(s), P2(s), P3(s), P4(s), P5(s), условия сшивания, граничные условия при s → 0 и s → ∞, условия нормировки, определяют Р(s) однозначно. В силу громоздкости решение не приводится. Его можно найти, например, в работе [1]. 2. Моделирование автомагистрали с реверсивной полосой На основе математической модели, приведенной в предыдущем пункте, построим модель, позволяющую найти оптимальный момент подключения реверсивной полосы на автодорогах. Будем рассматривать такую автодорогу как систему массового обслуживания с резервным симметричным прибором и опишем ее случайным процессом с компонентами {s(t), υ(t)}, где s(t) - текущее время ожидания транспортного средства, находящегося первым в очереди, υ(t) - число работающих полос в момент времени t. Кроме того, возможны еще три особых состояния системы: 1) υ(t) = 0 - система пуста, в очереди нет ни одного транспортного средства; 2) υ(t) = 1 - очередь пуста, и функционирует только основная полоса движения; 3) υ(t) = 2 - очередь пуста, и функционирует основная полоса движения с подключенной реверсивной полосой. Как только s(t) - текущее время ожидания заявки в системе достигает некой величины s0 = const, подключается резервный прибор. Поскольку поток заявок является простейшим, а обслуживание экспоненциальное, то процесс {s(t), υ(t)} с состояниями υ(t) = 0, υ(t) = 1, υ(t) = 2 представляет собой марковский случайный процесс. Достаточным условием существования стационарного режима работы рассматриваемой системы массового обслуживания является условие λ < 2μ. Стоит также указать, что интенсивность обслуживания (пропускная способность полосы) резервного прибора совпадает с интенсивностью обслуживания (пропускной способностью основной полосы) основного прибора. Найдем финальную плотность вероятностей Р(s, υ) величины (s, υ) и финальные вероятности состояний: (16) где m = μ (2μ - λ) - λ2e(λ - μ)s0, λ > μ. Если λ = μ, то Pi(s), i = 1, 2, 3 … и π(υ), υ = 1, 2, 3, … имеют следующий вид: (17) 3. Оптимизация системы Естественным для рассмотрения является случай, когда в описываемой системе существуют два вида потерь: потери на ожидания заявки (транспортного средства) в очереди (такие потери могут, например, быть представлены количеством израсходованного топлива) и потери на амортизацию резервного прибора (например, износ дорожного полотна резервной полосы). Нахождение заявок в системе, ожидающих обслуживания, приводит к потерям, которые будут называться потерями на ожидание. Будем считать, что если в очереди находится i заявок, то потери в единицу времени равны F(i). Найдем математическое ожидание М(F(i)) этих потерь. Пусть в какой-то момент времени заявка, находящаяся в очереди первой, ожидает обслуживания в течение времени s. За это время с вероятностью пришла еще одна i - 1 заявка. Таким образом, условное распределение числа заявок в очереди i есть Тогда среднее значение потерь можно записать в виде [3] , (18) где . В частности, если потери пропорциональный числу заявок, находящихся в очереди F(i) = D1(i), то F(s) = D1(λs+1), где D1 - положительная константа, имеющая смысл потерь от ожидания одной заявки в единицу времени. Будем считать, что работа резервного прибора приводит к потерям в единицу времени, равным D2. Тогда среднее значение потерь на амортизацию резервного прибора в единицу времени имеет вид . (19) Таким образом, средние суммарные потери системы массового обслуживания в единицу времени примут вид [2, 4] (20) где p1(s), p2(s), p3(s), π(2) для значений λ = μ и λ ≠ μ имеют вид (18) и (19) соответственно. Задача оптимизации такой системы массового обслуживания сводится к нахождению момента xopt включения резервного прибора, который минимизирует функцию общих потерь (20). Рассмотрим систему массового обслуживания, в которой функция потерь линейно зависит от числа заявок в системе F(i)-Di(i), где Di - потери от ожидания одной заявки в единицу времени. Тогда средние суммарные потери системы в единицу времени имеют вид (21) Перейдем к безразмерным величинам ω = μ/λ, x0 = λs0. Принимая во внимание (18) и (19), перепишем функцию общих потерь в виде . (22) При ω ≠ 1 При ω = 1 Аналитически решить задачу нахождения оптимального момента включения резервного прибора xopt, который минимизирует функцию общих потерь, получилось только для ω = 1. Если ω = 1, D1/D2 < 1, то . (23) Для значений ω ≠ 1 задача оптимизации решена численно (метод оптимизации - BFGS [5]). 4. Численный эксперимент Для численных расчетов было разработано программное обеспечение в среде Qt. Структурно программа представляет собой систему поддержки принятия решений, которая может быть использована как в онлайн-режиме (при наличии поступления данных об интенсивности и о пропускной способности полосы движения), так и в режиме офлайн (для анализа сложившейся ситуации и оценки перспектив ее дальнейшего развития). Функционально каждая из полос движения моделируется системой массового обслуживания с подключаемой реверсивной полосой. В качестве интенсивностей обслуживания основного и резервного приборов (пропускной способности основной и реверсивной полос) было выбрано рекомендованное значение прив. авт./ч [6]. В зависимости от значений интенсивностей движения и пропускных способностей, а также потерь различных типов параллельно решаются две оптимизационные задачи - для прямого и обратного направлений движения. В качестве реверсивного выбирается то направление, для которого оптимальный момент времени включения резервного прибора меньше.