Abstract

Abstract

Рассмотрены условия разрешимости и способы представления решений линейных нормально разрешимых операторных уравнений и краевых задач для них в банаховых пространствах. Полученные результаты проиллюстрированы на примере линейной крае-вой задачи для интегрального уравнения Фредгольма с вырожденным ядром в банахо-вом пространстве.

Full Text

1. Линейные уравнения Пусть l1(I; B1)-- банахово пространство ограниченных вектор-функ-ций z(t), определенных на конечном промежутке I со значениями в бана-ховом пространстве B1; z( ) : I ! B1 с нормой jjjz jjj = supt2I kz(t)kB1 , а l1(I; B2) -- банахово пространство ограниченных вектор-функций '(t); определенных на том же промежутке I со значениями в банаховом про-странстве B2 с нормой jjj'jjj = supt2I k'(t)kB2 [1]. Рассмотрим уравнение (Lz)(t) = '(t); (1) где L : l1(I; B1) ! l1(I; B2) -- линейный ограниченный оператор, яд-ро N(L) и образ R(L) которого дополняемы [2, 3] в банаховых про-странствах B1 и B2, соответственно. Известно [2], что каждой парой взаимно дополняемых пространств связаны ограниченные проекторы PN(L) : l1(I; B1) ! N(L) и PR(L) : l1(I; B2) ! R(L), которые инду-цируют разбиение B1 и B2 в прямые топологические суммы l1(I; B1) = N(L) X; (2) l1(I; B2) = Y R(L): Следовательно [4, с. 139], оператор L обобщенно обратим. Дополнитель-ные проекторы на подпространства X и Y соответственно будем обозна-чать PX = IB1 PN(L) и PY = IB2 PR(L). 16 Нормально разрешимые краевые задачи дальнейшем класс линейных ограниченных обобщенно обратимых операторов, действующих из банахова пространства l1(I; B1) в бана-хово пространство l1(I; B2), будем обозначать GI(l1(I; B1); l1(I; B2). Очевидно, что оператор из GI(l1(I; B1); l1(I; B2) является нормально разрешимым. Известно [2, c. 73], что если подпространство X1 дополняемо подпро-странством X2 в банаховом пространстве B, то оно имеет бесконечно много различных дополнений Xe2: С каждой парой взаимно дополняе-мых подпространств связан ограниченный проектор PX1 : Норма проек-тора может служить оценкой ¾качества¿ дополнения. Чем больше kPX1 k; тем ¾хуже¿ дополнение. Описание ограниченных проекторов PeX1 в об-щем виде, порождающих это множество дополнений, дается в лемме С Собчика [2, c. 80]. Сначала рассмотрим задачу об условиях существования и постро-ении ограниченного обобщенно-обратного оператора L к оператору ее 2 GI(l1(I; B1); l1(I; B2), установлении критерия разрешимости и представлении решений уравнения (1). Поставленная задача будет рассматриваться в предположении, что выполнено одно из следующих условий. (а1) Подпространство N(L) линейно изоморфно дополняемому в Y подпространству Y ; N(L) = Y Y: 1 1 В этом случае существуют линейный ограниченный обратимый опе-ратор J1 : N(L) ! Y1, такой что J1N(L) = Y1; J1 1Y1 = N(L), и ограни-ченный проектор PY1 : l1(I; B2) ! B2, разбивающий подпространство Y в прямую сумму замкнутых подпространств Y = Y1 Y2; (3) где Y1 = PY1 l1(I; B2); Y2 = PY2 l1(I; B2); PY2 = (PY PY1 ) -- ограни-ченный проектор. Тогда справедливы следующие разложения для тождественных операторов: Il1(I; B1) = PN(L) + PX ; (4) Il1(I; B2) = PY1 + PY2 + PR(L) пространств l1(I; B1) и l1(I; B2) соответственно. (а2) Подпространство Y линейно изоморфно дополняемому в N(L) подпространству N (L) ; Y = N (L) N(L): 1 1 17 В.Ф. Журавлев В этом случае существуют линейный ограниченный обратимый опе-ратор J2 : N1(L) ! Y , такой что J2N1(L) = Y; J2 1Y = N1(L), и ограниченный проектор PN1(L) : l1(I; B1) ! l1(I; B1), разбивающий подпространство N(L) в прямую сумму замкнутых подпространств N(L) = N1(L) N2(L); где N1(L) = PN1(L)l1(I; B1), N2(L) = PN2(L)l1(I; B1), PN2(L) = PN(L) PN1(L) -- ограниченный проектор. Тогда имеем два следующих разложения: Il1(I; B1) = PN1(L) + PN2(L) + PX ; I = P + P : (а3) Подпространство N(L) линейно изоморфно подпространству Y ; N(L) Y . = этом случае существует линейный ограниченный обратимый опе-ратор J3 : N(L) ! Y такой что J3N(L) = Y; J3 1Y = N(L). Продолжим нулем операторы J1 и J3 на подпространстве X, а J2 -- на подпространстве X N2(L) и обозначим расширения операторов Ji; i = 1; 2; 3 на пространство B1 через PY1 : B1 ! Y1 Y . Анало-гично продолжим нулем оператор J1 1 на подпространстве Y2 R(L), к операторы J2 1, J3 1 -- на подпространстве R(L) и обозначим через PN1(L) : B2 ! N1(L) N(L) -- расширения операторов Ji 1; i = 1; 2; 3 на пространство B2: В случае (a3) имеем Y1 Y , N1(L) N(L), и поэтому PY1 PY , PN1(L) PN(L). Лемма 1. Пусть L 2 GI(l1(I; B1); l1(I; B2)) и выполнено одно из условий (а1) или (а2). Тогда оператор L = L + PY1 имеет ограниченный односторонне обратный оператор 1 (L + ) 1 ; N(L) = Y Y; l; r ((L + PY ) 1 -- правый; если N(L) N1 (L) = Y: L = Y1 l -- левый если 1 P r 1 задается фор- Общий вид односторонне обратных операторов Ll0; r0 мулой 1(I 1 ( L ) ; N(L) = Y Y; l0; r0 = (IB1 N2(L))Lr 1 -- правый; если N(L) N1 (L) = Y; L lB2 P -- левый если 1 Y2 P e где N2(L) : l ( I ; B1)e N2 (L) и P Y2 : l ( I ; B2) ! Y2 -- произвольные P 1 ! 1 e e ограниченные проекторы. 18 Нормально разрешимые краевые задачи Доказательство. Пусть, например, N(L) изоморфно подпростран-ству Y1 Y . Покажем, что оператор L + PY1 имеет ограниченный левый обратный. Для этого необходимо и достаточно показать, что [4, c. 61]: В N(L) = N(L + PY1 ) = f0g; В R(L + PY1 ) дополняемо в B2: Покажем это. 1. Пусть существует элемент z0 2 B1; z0 6= 0, такой что (L + PY1 )z0 = Lz0 + PY1 z0 = 0: Отсюда имеем, что Lz0 2 R(L), PY1 z0 2 Y1. Подпространства R(L) и Y взаимно дополняют друг друга, а Y1 Y , T следовательно, R(L) Y1 = f0g. Таким образом, они имеют только один общий элемент -- нулевой, Lz0 = 0 и PY1 z0 = 0, т.е. z0 2 N(L) и z0 2 N(PY1 ) X одновременно. Подпространства N(L) и X взаимно до- T полняют друг друга. Следовательно, N(L) X = f0g: Отсюда следует, что z0 = 0: Полученное противоречие доказывает, что N(L + PY1 ) = f0g. и Дополняемость R(L + PY1 ) следует из ограниченности проектора PY2 и соотношения (3). Таким образом, оператор L + PY1 имеет левый обратный. Известно [4], что левые обратные операторы в общем виде запи- 1 1 сываются следующим образом: Ll0 = Ll PR( ); где PR( ) -- некото- L L рый проектор, обладающий свойством R(PR( )) = R( L ). Как следует L из разложений (4), таким свойством обладает проектор IB2 PY2 , т. е. R(I PY2 , где PY2 : l ( I ; B ) ! Y -- ограниченный проектор, ) = R(L) 1 B2 2 2 e e e построенный в общем виде. Отсюда следует, что общее представление левых обратных операторов можно записать в виде 1 1 Ll0 = Ll (Il1(I; B2) PYe2 ): Я случае когда Y изоморфно подпространству N1(L) N(L), име-ем, что Y1 Y и PY1 PY : Для существования ограниченного правого обратного оператора к оператору L + PY необходимо и достаточно по-казать, что [4, c. 62]: 1) R(L) = R(L + PY ) = B2, 2) N(L + PY ) дополняемо в B1: Для этого случая доказательство проводится аналогично проведен-ному выше. 19 В.Ф. Журавлев Замечание 1. Если оператор L 2 GI(l1(I; B1); l1(I; B2)) -- нете-ров (ind L = dim ker L dim ker L 6= 0 < 1), то лемма 1 переходит в лемму 2.4 из работ [5, c. 47; 6]. Замечание 2. В отличие от конечномерного случая, когда ядро и коядро оператора L конечномерны, для ограниченности односторонне 1 обратного оператора Ll ; r в бесконечномерном случае требования до- 0 0 полняемости нуль-пространства N(L) и образа R(L) оказывается недо-статочно, так как ядро и образ оператора L могут оказаться недополня-емыми. Поэтому дополняемость подпространств Y1, N1(L) в Y и N(L) соответственно является существенным условием и выполняется в ба-наховых пространствах далеко не всегда (в отличие от гильбертовых, имеющих ортогональное дополнение к любому подпространству). Для случая 3, когда N(L) изоморфно Y; имеет место следующее утверждение. Теорема 1. Пусть L 2 GI(l1(I; B1); l1(I; B2)) и выполнено усло-вие (а3). Тогда оператор L 1 1 = ( L + PY ) PN(L) = L PN(L) (5) является ограниченным обобщенно-обратным к оператору L. Общий вид обобщенно-обратных операторов L0 к оператору L да-ется формулой L0 = (Il1(I; B1) PeN(L))L (Il1(I; B2) PeY ); где PeN(L) : l1(I; B1) ! N(L) и PeY : l1(I; B2) ! Y произвольные ограниченные бесконечномерные проекторы. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоре-мы 1. Замечание 3. Если оператор L 2 GI(l1(I; B1); l1(I; B2)) имеет конечномерные ядро и коядро и dim N(L) = dim N(L ), т. е. он явля-ется фредгольмовым, то конструкция (5) переходит в конструкцию из работы [7, c. 340]. 20 Нормально разрешимые краевые задачи Далее получим условия разрешимости и представление общего реше-ния операторного уравнения (1). Из формулы (3) следует, что общее решение операторного уравне-ния (1) с линейным ограниченным обобщенно обратимым оператором L представляет собой прямую сумму z(t) = z~(t) + z(t) общего решения z~(t) соответствующего уравнению (1) однородного урав-нения (Lz)(t) = 0 и частного решения z(t) = (L ')(t) неоднородного уравнения (1). Поскольку оператор L 2 GI(l1(I; B1); l1(I; B2)); то линейное опе-раторное уравнение (1) является нормально разрешимым, и для его раз-решимости необходимо и достаточно, чтобы элемент '(t) 2 l1(I; B2) принадлежал образу R(L) оператора L: Поскольку R (L) = N (PY ), то из выражений (2) следует, что ' 2 l1(I; B2) будет принадлежать образу R(L) оператора L тогда и только тогда, когда (PY ')(t) = 0: (6) Эти рассуждения позволяют сформулировать следующую теорему. Теорема 2. Пусть L 2 GI(l1(I; B1); l1(I; B2)): Операторное урав-нение (1) разрешимо для тех и только тех '(t) 2 l1(I; B2), для кото-рых выполняется условие (6), и при этом оно имеет семейство реше-ний z(t) = (PN(L)z^)(t) + (L ')(t); (7) где (PN(L)z^)(t) -- общее решение соответствующего (1) однородного уравнения (Lz)(t) = 0; z^(t) -- произвольный элемент банахового про-странства l1(I; B1); (L ')(t) -- частное решение операторного урав-нения (1); L -- ограниченный обобщенно-обратный оператор к опера-тору L. Доказательство. Подставив решение (7) в исходное уравнение (1), получим Lz = LPN(L)z^ + LL ' = LL ' = (Il1(I; B2) PY )' = . IB2 ' PY ' = Il1(I; B2)' = '; поскольку LPN(L) = 0; LL = Il1(I; B2) PY , а PY ' = 0 по условию теоремы. 21 В.Ф. Журавлев 2. Линейные краевые задачи Далее рассмотрим задачу о необходимых и достаточных условиях разрешимости и структуре множества решений z(t) 2 l1(I; B1) линей-ной краевой задачи (Lz)(t) = '(t); (8) `z( ) = ; (9) где ` = col(l1; l2; l3; : : :) : l1(I; вектор-функционал, B-- банахово компонентами, 2 B. B1) ! B -- линейный ограниченный пространство векторов с постоянными По теореме 2 нормально разрешимое уравнение (8) разрешимо для тех и только тех '(t) 2 l1(I; B2); которые удовлетворяют условию (6), при выполнении которого общее решение уравнения (8) представимо в виде (7). Для того чтобы решение (7) неоднородного операторного уравнения в было решением краевой задачи (8), (9) необходимо и достаточно, что-бы элемент z^(t) = z^0(t) 2 l1(I; B1) удовлетворял операторному уравнению `(PN(L)z^0)( ) + `(L ')( ) = ; полученному после подстановки решения (7) в краевое условие (9). Обозначим через L = `PN(L) линейный оператор, действующий из банахова пространства l1(I; B1) в банахово пространство B. Оператор L является ограниченным как суперпозиция ограниченных функционала ` и проектора PN(L): Пусть оператор L 2 GI (l1(I; B1); B. Обозначим: PN(L) : l1(I; B1) ! 5. N(L) -- ограниченный проектор банахова пространства l1(I; B1) на нуль-пространство оператора L; PYL : B ! YL -- ограниченный проектор банахова пространства B на подпространство YL B; L -- линейный ограниченный обобщенно-обратный оператор к оператору L. Из операторного уравнения z ` L ' )( ) (10) (L^0)( ) = ( определим элемент z^0(t) 2 l1(I; B1), при котором решение (7) уравнения (8), существующее при выполнении условия (6), будет решением краевой задачи (8), (9). Поскольку по предположению оператор L -- обобщенно обратим, а следовательно, нормально разрешим, то уравнение (10) раз-решимо тогда и только тогда, когда выполнено условие 22 Нормально разрешимые краевые задачи PYLf `(L ')( )g = 0: При выполнении этого условия уравнение (10) имеет семейство решений вида z t z t ) + (L f ` L ' t ; (11) ^0( ) = (PN(L) ^)( ( )( )g)( ) где z^(t) произвольный элемент банахова пространства l1(I; B1): Подставляя z^0(t) из (11) вместо z^(t) в (7), получим общее решение краевой задачи (8), (9) z(t) = (PN(L)f(PN(L)z^)( ) + L [ `(L ')( )]g)(t) + (L ')(t) = = (PN(L)PN(L)z^)(t) + (G')(t) + (PN(L)L )(t): Здесь PN(L)PN(L) -- разрешающий оператор соответствующей (8), (9) од-нородной краевой задачи, а оператор G : l1(I; B2) ! N(`) l1(I; B1) имеет представление (G')(t) = (L ')(t) (PN(L)L `(L ')( ))(t) (12) 11. называется обобщенным оператором Грина полуоднородной ( = 0) краевой задачи (8), (9). Таким образом, справедлива теорема. Теорема 3. Пусть выполнены условия L 2 GI(l1(I; B1); l1(I; B2)) и L 2 GI(l1(I; B1); B). Тогда соответствующая задаче (8), (9) однородная краевая задача ('(t) = 0, = 0) имеет семейство решений z(t) = (PN(L)PN(L)z^)(t); где z^(t) -- произвольный элемент банахова пространства l1(I; B1): Неоднородная краевая задача (8), (9) разрешима для тех и только тех '(t) 2 l1(I; B2) и 2 B, которые удовлетворяют условиям (PYL')(t) = 0; PYLf `(L ')( )g = 0; и при этом имеет семейство решений z(t) = (PN(L)PN(L)z^)(t) + (G')(t) + (PN(L)L )(t); (13) где PN(L)PN(L) -- разрешающий оператор соответствующей задаче (8), (9) однородной краевой задачи; G-- обобщенный оператор Грина (12). 23 В.Ф. Журавлев Следствие 1. Если операторы L и L -- нормально разрешимые и действуют в гильбертовых пространствах, то в теореме 4 вместо обобщенно-обратных операторов L и L будут псевдообратные опера- торы L+ и L+ [6], а вместо проекторов PN(L); PYL и PN(L); PYL будут ортопроекторы PN(L); PN(L ) и PN(L); PN(L ) соответственно. В этом случае формула (13) примет вид z(t) = (PN(L)PN(L)z^)(t) + (G')(t) + (PN(L)L+ )(t); где (G')(t) = (L+')(t) (PN(L)L+`(L+')( ))(t) -- обобщенный оператор Грина. Применим теорему 3 к следующей начальной задаче: (Lz)(t) = '(t); (14) `z( ) z(t0) = z0; t0 2 I: (15) Эта задача является специфической краевой задачей, в которой L = = (PN(L) )(t0). Следствие 2. Пусть L 2 GI(l1(I; B1); l1(I; B2)) и L 2 GI(l1(I; B1); B). Тогда задача Коши (14), (15) разрешима для тех и только тех z0 = = z(t0) 2 B1 и '(t) 2 l1(I; B2); которые удовлетворяют условиям (PYL')(t) = 0; PYLfz0 (L ')(t0)g = 0; и при этом имеет семейство решений z(t) = (PN(L)PN(L)z^)(t) + (G0')(t) + (PN(L)L z0)(t); (16) где PN(L)PN(L) -- разрешающий оператор соответствующей (14), (15) однородной (z0 = 0, '(t) = 0) задачи Коши; z^(t) -- произволь-ный элемент банахова пространства l1(I; B1); (G0')(t) = (L ')(t) (PN(L)L (L ')(t0))(t) -- оператор Грина полуоднородной (z0 = 0) за-дачи Коши (14), (15). Замечание 4. Если L -- всюду разрешимый дифференциальный оператор (Lz)(t) = z0(t) A(t)z(t); действующий из банахового простран-ства C1(I; B) непрерывно дифференцируемых функций со значениями 24 Нормально разрешимые краевые задачи в банаховом пространстве B в банахово пространство C(I; B) непре-рывных вектор-функций с супремум-нормой, и '(t) -- непрерывная на промежутке I вектор-функция, то PYL 0, оператор L = (PN(L) )(t0) обратим для любого t0 2 I; обобщенно-обратный оператор L будет ин-тегральным правым обратным оператором Lr 1: В этом случае формула (16) примет вид [3, c. 148] Zt z(t) = U(t; t0)z0 + U(t; )'( )d ; t0 2 I; t0 где U(t; ) = U(t)U 1( ) -- эволюционный оператор. 3. Линейные краевые задачи для интегральных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром В качестве примера рассмотрим линейную краевую задачу для инте-грального уравнения Фредгольма с вырожденным ядром. Пусть z(t) -- вектор-функция, которая действует из отрезка I = [a; b] в действительное банахово пространство B1; z(t) 2 C(I; B1) означа- ет, что z( ) ! B1; jzj = supt2Ijz(t)jB1 ; C(I; B1) -- банахово пространство непрерывных на I вектор-функций; B -- действительное банахово пространство. Рассмотрим в банаховом пространстве B1 линейную краевую задачу для интегрального уравнения Фредгольма с вырожденным ядром b (Lz)(t) := z(t) M(t) Za N(s)z(s)ds = '(t); (17) `z( ) = ; (18) где оператор-функции M(t) и N(t), действующие из банахова простран-ства B1 в B1, сильно непрерывны с нормами jjjMjjj = supt2I kM(t)kB1 = = M0 < 1 и jjjNjjj = supt2I jjN(t)jjB1 = N0 < 1; оператор ` ограничен и действует из банахова пространства C(I; B1) в банахово пространство B1; ` : C(I; B1) ! B, 2 B. Известно [3, c. 141], что произведение M(t)x сильно непрерывной оператор-функции M(t) на элемент x 2 B1 является непрерывной век-тор-функцией. Поэтому оператор L действует из банахова пространства C([a; b]; B1) в это же пространство. Обозначим 25 В.Ф. Журавлев Zb D = IB1 A; A = N(s)M(s) ds: a Линейный оператор D действует из банахова пространства B1 в B1 и является ограниченным. Пусть оператор D 2 GI(B1; B1). Тогда суще-ствуют следующие ограниченные проекторы: PN(D) : B1 ! N(D), кото-рый проектирует банахово пространство B1 на нуль-пространство N(D) оператора D; и PYD : B1 ! YD, который проектирует банахово простран-ство B1 на подпространство YD, изоморфное нуль-пространству N(D ) сопряженного оператора D к оператору D. Также существует ограни-ченный обобщенно-обратный оператор D . Теорема 4. Пусть D 2 GI(B1; B1). Тогда интегральный оператор L из задачи (17) обобщенно обратим. Для доказательства обобщенной обратимости интегрального опера-тора (17) построены проекторы b (PN(L)z)(t) = M(t)PN(D) Za N(s)z(s)ds; PN(L) : C([a; b]; B1) ! N(L); (PYLf)(t) = M(t)PYD Zb N(s)f(s)ds; PYL : C([a; b]; B1) ! YL; a и доказано, что они ограничены. Теорема 5. Пусть D 2 GI(B1; B1). Тогда оператор Zb (L f)(t) = '(t) + M(t)D N(s)f(s)ds (19) a является ограниченным обобщенно-обратным оператором к интеграль-ному оператору L из (17), где D -- ограниченный обобщенно-обратный оператор к оператору D. Сначала найдем условия существования и общий вид решения опера-торного уравнения (17). Поскольку обобщено обратимый оператор нор-мально разрешим, то для уравнения (17) справедлива следующая теоре-ма. 26 Нормально разрешимые краевые задачи Теорема 6. Пусть D 2 GI(B1; B1). Тогда при выполнении условия Zb (PYLf)(t) = M(t)PYD N(s)'(s)ds = 0 a и только при нем операторное уравнение (17) разрешимо и имеет се-мейство решений z(t) = M(t)PN(D)c + (L ')(t); (20) где M(t)PN(D) -- оператор-функция, которая является решением соот-ветствующего уравнению (17) однородного уравнения; c-- произвольный элемент банахова пространства B1; L -- обобщенно-обратный опера-тор (19) к интегральному оператору L из уравнения (17). Запишем уравнение (17) в виде z(t) = M(t) c + '(t); (21) где c = Rb N(s)z(s)ds: a Применив к обеим частям уравнения (21) оператор-функцию N(t) и проинтегрировав их на промежутке [a; b], получим операторное уравне-ние b b b Za N(s)z(s)ds = Za N(s)M(s) c ds + Za N(s)f(s)ds; или (IB1 A)c = Dc = b; (22) где Zb b = N(s)f(s)ds: a Учитывая обобщенную обратимость оператора D = IB1 A имеем, что операторное уравнение (22) нормально разрешимо, т. е. оно разре-шимо тогда и только тогда, когда выполняется условие PYD b = 0; при этом семейство решений уравнения имеет вид 27 В.Ф. Журавлев c = PN(D)c^ + D b; где c^-- произвольный элемент банахова пространства B1. Подставив полученное c в выражение (20), получим общее решение интегрального уравнения (17) z t M t c D b g + ' t ( ) = ( ) fPN(D)^ + ( ) = b = M(t) PN(D)c^ + '(t) + M(t)D Za N(s)'(s)ds = = M t c L ' t ; (23) ( ) PN(D)^ + ( )( ) поскольку по теореме 4 Zb (L ')(t) = '(t) + M(t)D N(s)'(s)ds: a Далее найдем условия существования и общее решение краевой зада-чи (17), (18). Подставив решение (20) неоднородного операторного урав-нения (17) в краевое условие (18), получим операторное уравнение b `(M( )PN(D))^c + `'( ) + `M( )D Za N(s)'(s)ds = : (24) Обозначим через Q = `(M( )PN(D)) оператор, который действует из банахова пространства B1 в банахово пространство B. Оператор Q ограничен как суперпозиция ограниченного оператора ` и ограниченной оператор-функции M(t)PN(D): Тогда уравнение (24) запишется в виде b c^ =`'( ) `M( )D Za N(s)'(s)ds: (25) Пусть оператор Q 2 GI (B1; B). Обозначим через PN(Q) : B1 ! N(Q) ограниченный проектор банахова пространства B1 на нуль-пространство N(Q) оператора Q, PYQ : B ! YQ -- ограниченный проектор банахова пространства B на подпространство YQ B. Поскольку оператор Q обобщенно обратим, а следовательно, нормально разрешим, то уравнение (25) разрешимо тогда и только тогда, когда выполняется условие 28 Нормально разрешимые краевые задачи PYQ h `'( ) `M( )D Zb N(s)'(s)ds = 0; a i при выполнении которого уравнение имеет семейство решений c^ = PN(Q)c~ + Q `'( ) `M( )D Zb N(s)'(s)ds ; (26) h a i где c~-- произвольный элемент банахова пространства B1; Q -- ограни-ченный обобщенно-обратный оператор к оператору Q: Подставляя c^ из (26) в (23), получим общее решение краевой задачи (17), (18) z(t) = M(t)PN(D)PN(Q)c~ + h'(bt) M(t)PN(D)Q `'( )i + M(t) IB1 PN(D)Q `M( ) D Z N(s)'(s)ds + M(t)PN(D)Q = a Q ; = M t c G' t M t ( )PN(D)PN(Q)~ + ( )( ) + ( )PN(D) где (Gf)(t) = (t) M(t)PN(D) b ( ) + ' Q `' +M(t) IB1 PN(D)Q `M( ) D Z N(s)'(s) ds (27) a есть обобщенный оператор Грина полуоднородной ( = 0) краевой зада-чи (17), (18), а оператор-функция M(t)PN(D)PN(Q) является решением соответствующей однородной ('(t) = 0, = 0) краевой задачи. Действительно, (Lz)(t) = M(t)PN(D)PN(Q) = M(t)PN(D)PN(Q) поскольку A = IB1 D; DPN(D) Zb n o M(t) N(s) M(t)PN(D)PN(Q) ds = a M(t)APN(D)PN(Q) = 0; = 0, а 29 В.Ф. Журавлев `(M( )PN(D))PN(Q) = QPN(Q) = 0; так как `(M( )PN(D)) = Q, а QPN(Q) = 0. Следовательно, для краевой задачи (17), (18) справедлива следующая теорема. Теорема 7. Пусть операторы D 2 GI(B1; B1) и Q 2 GI(B1; B). Тогда соответствующая задаче (17), (18) однородная ('(t) = 0; = 0) краевая задача имеет семейство решений z(t) = M(t)PN(D)PN(Q)c;~ где c~-- произвольный элемент банахова пространства B1. Неоднородная краевая задача (17), (18) разрешима для тех и только тех '(t) 2 C(I; B1) и 2 B, которые удовлетворяют условиям b (PYLf)(t) = M(t)PYD Za N(s)'(s)ds = 0; PYQ `'( ) `M( )D Zb N(s)'(s)ds = 0; a при этом она имеет семейство решений z(t) = M(t)PN(D)PN(Q)c~ + (Gf)(t) + M(t)PN(D)Q ; где G -- обобщенный оператор Грина (27).