Abstract

Abstract

Описана модификация W -метода Н.В. Азбелева с помощью теории положительно обратимых матриц. Отличие состоит в том, что преобразуется каждое уравнение си-стемы в отдельности, и сначала оценивается каждая компонента решения. Далее для получения оценки решения, которая обеспечивает соответствующую устойчивость ре-шения, применяется теория положительно обратимых матриц. Такой подход позволяет получить новые результаты для линейных стохастических уравнений с последействием в терминах параметров этих уравнений.

Full Text

Введение W -метод в его настоящем виде был предложен Н.В. Азбелевым, но, согласно его комментарию в работе [1], он восходит к Г. Фубини и С Трикоми. Первоначально метод описывал способ регуляризации крае-вых задач для детерминированных дифференциальных уравнений. Поз-же он был развит, обобщен и применен в теории устойчивости детерми-нированных [2 7] и стохастических [8 15] функционально-дифференци-альных уравнений. детерминированном случае W -метод может быть схематически описан следующим образом (см. [1], где описана более общая ситуация). Прежде всего устанавливается связь между асимптотическим поведени-ем решений и допустимостью определенных пар функциональных про-странств на полуоси. Затем проверяется свойство допустимости при вы-боре более простого уравнения (называемого модельным уравнением), которое уже обладает требуемым свойством. Решив это уравнение, при-ходим к интегральному преобразованию (W -преобразованию), которое, будучи примененным к первоначальному уравнению, дает интегральное уравнение вида x x = f. Если последнее разрешимо (например, 32 Устойчивость решений стохастических уравнений с последействием если k k < 1), то допустимость, а значит, и устойчивость доказаны. Этот метод является особенно полезным для линейных функционально-дифференциальных уравнений, но во многих ситуациях эта идея может оказаться плодотворной и в нелинейном случае. ее определенном смысле W -метод аналогичен прямому (второму) ме-тоду Ляпунова. Только вместо поиска функции (функционала) Ляпунова мы пытаемся найти подходящее модельное уравнение, решения которо-го обладают заданными асимптотическими свойствами. Важно подчерк-нуть, что теоретически этот подход, как и метод Ляпунова, также дает необходимые и достаточные условия устойчивости. ее настоящей статье описывается модификация W -метода с помо-щью теории положительно обратимых матриц. Отличие состоит в том, что преобразуется каждое уравнение системы в отдельности, и сначала оценивается каждая компонента решения. Далее для получения оценки решения применяется теория положительно обратимых матриц. Такой подход позволяет получить новые результаты для линейных стохасти-ческих уравнений с последействием в терминах параметров этих урав-нений. При проведении исследований использован подход работы [16], примененный для исследования глобальной экспоненциальной устойчи-вости систем детерминированных нелинейных дифференциальных урав-нений с запаздываниями. В случае стохастических уравнений понятие стохастические функционально-дифференциальные уравнения введено нами по аналогии с детерминированным случаем и является обобщением стохастических обыкновенных уравнений и стохастических уравнений с последействием. Ранее нами устойчивость решений линейных стохасти-ческих уравнений с последействием была исследована на основе теории допустимости пар пространств для линейных стохастических функцио-нально-дифференциальных уравнений. В рамках этой статьи нами будут применены идеи этого подхода без использования терминологии допусти-мости пар пространств. В Предварительные сведения и объект исследования Пусть ( ; F; (F)t>0; P ) -- стохастический базис, где -- множество элементарных событий; F -- -алгебра событий на ; (F)t>0 -- непре-рывный справа поток -алгебр на ; P -- полная вероятностная мера на F; Bi, i = 2; : : : ; m независимые стандартные винеровские про-цессы; Nn -- линейное пространство n-мерных F0-измеримых случайных 33 Р.И. Кадиев, А.В. Поносов процессов, заданных на ( 1; 0); kn -- линейное пространство n-мерных F0-измеримых случайных величин; E -- символ математического ожида-ния; j j-- норма в Rn; k k-- норма n n-матрицы, согласованная с нормой n T в R ; Z = (z1; : : : ; zm) -- m-мерный семимартингал [17]; E -- единичная n n-матрица; 1 6 p < 1. Рассмотрим начальную задачу dx(t) = (V1x)(t) dZ(t); t > 0; (1) x(s) = '(s); s < 0; (1a) x(0) = x0; (1b) где V1 -- k1-линейный (см. ниже) вольтерров оператор, т. e. оператор, за-висящий от ¾прошлого¿, который определен на некоторых пространствах случайных процессов, ' 2 Nn, x0 2 kn. Под k1-линейностью понимается следующее свойство: V1( 1x1 + 2x2) = 1V1x1 + 2V1x2 для любых ограниченных F0-измеримых скалярных 1; 2 и любых x1; x2 из области определения оператора V1. Решение задачи (1), (1b) обознача-ется x(t; x0; '), t 2 ( 1; +1). Ниже предполагаются его существование и единственность для соответствующих '(s), x0. Замечание 1. Отметим, что в строке (1a) написано s < 0. Обыч-но строку (1b) включают в строку (1а), написав s 6 0. Н.В. Азбелев и его ученики называют (1), (1a) уравнением. Такой подход аналогичен подходу, принятому в работе [2], и позволяет рассматривать уравнение (1), (1а) как обобщение обыкновенного линейного стохастического урав-нения. В дальнейшем мы также будем называть (1), (1а) линейным сто-хастическим уравнением с последействием. Замечание 2. Уравнение (1), (1а) называют однородным, если '(s) 0. Определение 1. Нулевое решение однородного уравнения (1), (1а) называется: p-устойчивым по отношению к начальному значению x0 и функ-ции ¾предыстории¿ ' (или просто p-устойчивым), если для любо-го " > 0 найдется такое (") > 0, что для всех ' и x0 из неравенства Ejx0jp + vrai sups<0 Ej'(s)jp < следует оценка Ejx(t; x0; ')jp 6 " при t > 0; 34 Устойчивость решений стохастических уравнений с последействием асимптотически p-устойчивым, если оно p-устойчиво и, кроме того, для всех ' и x 0 , таких что E x p + vrai sup s<0 E '(s) p < , E j 0j p j j выполняется соотношение lim x(t; x ; ') j = 0 t ! + 1 j 0 ; экспоненциально p-устойчивым, если существуют положительные константы c, , такие что для всех ' и x0 справедливо неравенство Ejx(t; x0; ')jp 6 c(Ejx0jp +vrai sups<0 Ej'(s)jp) expf sg при t > 0. Как и в детерминированном случае, мы представим уравнение (1), (1а) в более удобном для анализа виде. Пусть x(t) -- случайный про-цесс на полуоси (t > 0), x+(t) -- случайный процесс, совпадающий с x(t) при t > 0 и равный нулю при t < 0, а ' (t) -- случайный процесс, сов-падающий с '(t) при t < 0 и равный нулю при t > 0. Тогда случайный процесс x+(t) + ' (t), заданный на всей числовой оси, будет решением задачи (1), (1b), если x(t) будет решением задачи dx(t) = ((V x)(t) + f(t)) dZ(t); t > 0; (2) x(0) = x0; (2a) где (V x)(t) = (V1x+)(t), f(t) = (V1' )(t) при t > 0. Действительно, V1(x+ + ' ) = V1(x+) + V1(' ) = V x + f, что дает (2). Заметим, что f однозначно определяется функцией ', задающей предысторию решения, и не зависит от решения x(t), t > 0. Отметим также, что задача Коши (2), (2а) эквивалентна начальной задаче (1), (1b) только для тех f, которые представимы в виде f = V1'1, где '1 является каким-либо продолжением функции ' на ( 1; +1). дальнейшем используются следующие линейные пространства слу-чайных процессов: Ln(Z) состоит из n m-матричных предсказуемых случайных про-цессов, заданных на [0; +1), строки которых являются локально интегрируемыми по семимартингалу Z (см., например, [17]); Dn состоит из n-мерных случайных процессов на [0; +1), которые могут быть представлены в виде x(t) = x(0) + R0t H(s)dZ(s); где x(0) 2 kn, H 2 Ln(Z). Как было отмечено во введении, ранее нами устойчивость триви-ального решения однородного уравнения (1), (1а) была исследована на основе теории допустимости пар пространств для уравнения (2), где Я : Dn ! Ln(Z) -- k1-линейный вольтерров оператор, f 2 Ln(Z). Опера-тор V : Dn ! Ln(Z) называют вольтерровым, если для любого момента 35 Р.И. Кадиев, А.В. Поносов остановки , значения которого из множества [0; +1) с вероятностью единица, и для любых случайных процессов x, y, принадлежащих про-странству Dn, из того, что x(t) = y(t) при t 2 [0; ] почти наверное, будет следовать (V x)(t) = (V y)(t) при t 2 [0; ] почти наверное. В дальнейшем 3)задаче (2), (2а) будем считать, что V : Dn ! Ln(Z) -- k1-линейный вольтерров оператор, f 2 Ln(Z), x0 2 kn. Решение задачи (2), (2а) -- это случайный процесс из Dn, удовлетво-ряющий интегро-функциональному уравнению x(t) = x0 + (F x)(t); t > 0; где (F x)(t) = R0t(V x)(s) dZ(s) -- вольтерров оператор, действующий в пространстве Dn (интеграл в предыдущем равенстве -- стохастический интеграл по семимартингалу Z [11]). Решением задачи (1), (1b) явля-ется решение задачи (2), (2а), если задача (2), (2а) является задачей, соответствующей задаче (1), (1b). Уравнение (2) называют линейным функционально-дифференциаль-ным уравнением по семимартингалу. Частными случаем уравнения (2) являются линейные функционально-дифференциальные уравнения Ито. . этом случае Z(t) = col (t; B2(t); : : : ; Bm(t)). Частными случаями уравнения (1), (1а) являются: система линейных обыкновенных стохастических дифференци-альных уравнений по семимартингалу (система линейных обык-новенных дифференциальных уравнений Ито); система линейных стохастических дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием по семимартингалу (система линейных дифференциальных уравнений Ито с сосредоточенным запаздыванием); линейное стохастическое интегро-дифференциальное уравнение по семимартингалу (линейное интегро-дифференциальное уравне-ние Ито); линейное стохастическое дифференциальное уравнение с распреде-ленным запаздыванием по семимартингалу (линейное дифферен-циальное уравнение Ито с распределенным запаздыванием). Следовательно, все упомянутые уравнения можно записать в виде уравнения (2). Если в уравнении (2) f 0, то его называют линейным однородным стохастическим функционально-дифференциальным уравнением. 36 Устойчивость решений стохастических уравнений с последействием Частными случаями уравнения (2) являются стохастические функ-ционально-дифференциальные уравнения в мерах. В этом случае Z(t) = в (t), где (t) -- некоторая функция с локально ограниченной вариа-цией; Ln(Z) -- линейное пространство n-мерных случайных процессов на [0; +1), траектории которых почти наверно локально интегрируемы по функции . К линейному стохастическому функционально-дифференци-альному уравнению в мерах (2) сводятся линейная система обыкновен-ных стохастических дифференциальных уравнений в мерах линейная си-стема стохастических дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием в мерах, линейная система стохастических интегро-диф-ференциальных уравнений в мерах, линейная система стохастических дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием в ме-рах. Кроме того, если пространство элементарных событий состоит из достоверного и невозможного событий, то стохастические функцио-нально-дифференциальные уравнения в мерах (2) являются детермини-рованными функционально-дифференциальными уравнениями в мерах. Частными случаями детерминированных функционально-дифференци-альных уравнений в мерах являются детерминированные функциональ-но-дифференциальные уравнения. В этом случае (t) t. Пусть B -- линейное подпространство пространства Ln(Z). Предпо-лагается, что пространство B наделено нормой k kB. Для заданной положительной непрерывной функции (t), t 2 [0; 1) положим B = в ff : f 2 B; f 2 Bg, что является линейным пространством с нормой kfkB = k fkB. Нам также понадобятся некоторые линейные нормированные подпро-странства пространств начальных данных kn и Nn, а также пространства решений Dn: Nn = f' : ' 2 Nn; vrai sup Ej'(s)jp) < 1; p s<0 kpn = f : 2 kn; Ej jp < 1; k kkpn = (Ej jp)1=pg; Mp = fx : x 2 Dn; sup Ej (t)x(t)jp < 1g; Mp1 = Mp: t>0 Определение 2. Нулевое решение однородного уравнения (1), (1а) назовем Mp -устойчивым по отношению к начальному значению x0 и функции ' (или просто Mp -устойчивым), если для любых x 0 2 kn и n p ' 2 Np имеем x(t; x0; ') 2 Mp и kx( ; x0; ')kMp 6 c(kx0kkpn + k'kNpn ), где c -- некоторое положительное число. 37 Р.И. Кадиев, А.В. Поносов Нетрудно убедиться, что: 6. если (t) = 1 (t > 0) и нулевое решение однородного уравнения (1), (1а) Mp -устойчиво, то нулевое решение однородного уравнения (1), (1а) p-устойчиво; 7. если (t) = expf tg (t > 0) и нулевое решение однородного уравне-ния (1), (1а) Mp -устойчиво, то нулевое решение однородного урав-нения (1), (1а) является экспоненциально p-устойчивым; 8. если limt!+1 (t) = +1 и (t) > > 0 при t 2 [0; +1) для неко-торого числа и нулевое решение однородного уравнения (1), (1а) Mp -устойчиво, то нулевое решение уравнения (1), (1а) является асимптотически p-устойчивым. Метод исследования Через xf (t; x0) обозначим решение задачи (2), (2а), т. е. решение урав-нения (2), удовлетворяющее условию (2а) (xf (0; x0) = x0). Представление решений детерминированных функционально-диффе-ренциальных уравнений (формула Коши) играет важную роль, напри-мер, в задачах устойчивости, краевых задачах, а также в теории ква-зилинейных уравнений. Рассмотрим вопрос представления решений для задачи (2), (2а). Лемма 1. Пусть задача (2), (2а) имеет единственное (с точно-стью до P -эквивалентности) решение для любых f 2 Ln(Z) и x0 2 kn. Тогда для решения этой задачи имеет место представление xf (t; x0) = X(t)x(0) + (Cf)(t); t > 0; (3) где X(t) (X(0) = E) -- n n-матрица, столбцами которой являют-ся решения однородного уравнения (2) (фундаментальная матрица), а 12. : Ln(Z) ! Dn -- k1-линейный оператор (оператор Коши), такой что (Cf)(0) = 0 и Cf -- решение уравнения (2). Доказательство. Используя k1-линейность оператора V нетрудно убедиться в том, что X(t)x(0) является решением однородного уравне-ния (2). Для уравнения (2) рассмотрим задачу Коши 38 Устойчивость решений стохастических уравнений с последействием x(0) = 0: (2b) Задача Коши (2), (2b) в силу предположений леммы однозначно раз-решима при любом f 2 Ln(Z). Следовательно, эта задача задает неко-торый оператор, действующий из пространства Ln(Z) в пространство Dn. Обозначим этот оператор через C. Очевидно, что (Cf)(0) = 0, а в k1-линейности этого оператора можно убедиться непосредственно про-веркой, используя при этом k1-линейность оператора V и однозначную разрешимость задачи (2), (2b). Отсюда следует, что (3) является реше-нием задачи (2), (2а). Любое W -преобразование порождается вспомогательным уравнени-ем, которое называется модельным уравнением. По этой причине мы предположим, что нам дано другое уравнение, которое похоже на урав-нение (2), только ¾проще¿, а решения его уже обладают требуемыми асимптотическими свойствами. Пусть модельное уравнение имеет вид dx(t) = [(Qx)(t) + g(t)] dZ(t); t > 0; (4) где Q : Dn ! Ln(Z) k1-линейный, вольтерров оператор, g 2 Ln(Z). Предполагается, что через любое x(0) 2 kn проходит единственное (с точностью до P -эквивалентности) решение x уравнения (4). Тогда в силу леммы 1 для этого решения x имеет место представление x(t) = U(t)x(0) + (W g)(t); t > 0; где U -- фундаментальная матрица и W -- оператор Коши уравнения (4). Как и в детерминированном случае, существуют два способа приме-нения стохастического W -преобразования к исходному уравнению: спра-ва и слева. Формально они порождаются одним и тем же модельным уравнением, но приводят к различным интегральным уравнениям. Усло-вия их применимости также различны. Для дальнейшего нам потребу- ется следующее условие на U(t). Условие 1. Для априорно заданной положительной непрерывной функции (t) (t > 0) предполагается, что фундаментальная матрица U(t) для уравнения (3) удовлетворяет оценке k (t)U(t)k 6 c , где c 2 R+ и t > 0. Начнем с правой подстановки. Подставив выражение (4) в уравнение (2), получим 39 Р.И. Кадиев, А.В. Поносов [(QUx(0))(t) + (QW g)(t) + g(t)] dZ(t) = = [(V Ux(0))(t) + (V W g)(t) + f(t)] dZ(t): Обозначив (V Q)W = r, приходим к операторному уравнению (I r)g = (V Q)Ux(0) + f: Подстановка является правой, так как оператор W стоит справа от оператора V в уравнении (2). Буква r в r происходит от слова right. Теорема 1. Пусть дана положительная непрерывная функция (t) (t > 0), случайный процесс f(t) = (V1' )(t) принадлежит B для всех ', таких что vrai sups<0 Ej'(s)jp < 1, а норма f удовлетворяет оцен- ке kfkB 6 K vrai sups<0(Ej'(s)jp)1=2p для некоторой константы K > 0. Предположим, что уравнение (2), построенное по уравнению (1), (1а), = модельное уравнение (4) удовлетворяют следующим условиям: операторы V , Q непрерывно действуют из Mp в B ; модельное уравнение (4) удовлетворяет условию 1; оператор W непрерывно действует из B в Mp . Если теперь оператор I r : B ! B имеет ограниченный об-ратный в этом пространстве, то тривиальное решение однородного уравнения (1), (1а) Mp -устойчиво. Доказательство. В предположениях теоремы мы имеем xf (t; x0) = в U(t)x0 + (W (I r) 1(V Q)Ux0)(t) + (W (I r) 1f)(t) для про-извольных x0 2 kpn , f 2 B . Беря нормы справа и слева в предыдущем равенстве и снова используя предположения теоремы, приходим к нера-венству kxf ( ; x0)kMp 6 c^(kx0kkpn + kfkB ), которое выполняется для всех x0 2 kpn, f 2 B . Здесь c^ некоторое положительное число. Если учесть, что xf (t; x0) = x(t; x0; ') и kfkB 6 K vrai sups<0(Ej'(s)jp)1=2p для неко- торой константы K > 0, то получим Mp -устойчивость тривиального ре-шения однородного уравнения (1), (1а). Теперь рассмотрим случай левого W -преобразования, переписав уравнение (2) в виде dx(t) = [(Qx)(t) + ((V Q)x)(t) + f(t)] dZ(t); t > 0; или эквивалентным образом 40 Устойчивость решений стохастических уравнений с последействием x(t) = U(t)x(0) + (W (V Q)x)(t) + (W f)(t); t > 0: Обозначив W (V Q) = l, получим операторное уравнение ((Il)x)(t) = U(t)x(0) + (W f)(t); t > 0: (5) Теорема 2. Пусть дана положительная непрерывная функция (t) (t > 0), случайный процесс f(t) = (V1' )(t) принадлежит B для всех ', таких что vrai sups<0 Ej'(s)jp < 1, а норма f удовлетворяет оцен- ке kfkB 6 K vrai sups<0(Ej'(s)jp)1=2p для некоторой константы K > 0. Предположим, что уравнение (2), построенное по уравнению (1), (1а), Z модельное уравнение (4) удовлетворяют следующим условиям: операторы V , Q непрерывно действуют из Mp в B ; модельное уравнение (4) удовлетворяет условию 1; оператор W непрерывно действует из B в Mp . Если теперь оператор (I l) : Mp ! Mp имеет ограниченный обратный в этом пространстве, то тривиальное решение однородного уравнения (1), (1а) Mp -устойчиво. Доказательство. В предположениях теоремы мы имеем, что U( )x0 2 Mp , как только x0 2 kpn, а также, что xf (t; x0) = ((I l) 1(Ux0))(t) + ((I l) 1W f)(t), t > 0, для произвольных x0 2 kpn, 4. 2 B . Беря нормы справа и лева в предыдущем равенстве и используя предположения теоремы, накладываемые на модельное уравнение, как и в предыдущей теореме, получаем неравенство kxf ( ; x0)kMp 6 c^(kx0kkpn + +kfkB ), где x0 2 kpn, f 2 B . Если учесть, что xf (t; x0) = x(t; x0; ') и kfkB 6 K vrai sups<0(Ej'(s)jp)1=2p для некоторой константы K > 0, то мы получим Mp -устойчивость тривиального решения однородного урав- нения (1), (1а). Буква l в l происходит от слова left. Это означает, что W -преобра-зование применяется к оператору V в (2) слева. = детерминированном случае W -преобразование и W -подстановку одинаково эффективно можно использовать для исследования устойчи-вости решений. Для исследования вопросов устойчивости для стохасти-ческих уравнений с последействием W -подстановка неэффективна, так как в этом случае размерность системы, полученной после W -подстанов-ки, на несколько порядков выше, чем у исходной системы. При практическом применении теорем 1 и 2 обратимость операторов I r : B ! B и (I l) : Mp ! Mp устанавливается оценкой нор-мы операторов r и l в пространствах B и Mp соответственно. Если 41 Р.И. Кадиев, А.В. Поносов нормы этих операторов меньше единицы, то обратимость соответству-ющих операторов обеспечена. Однако факт, что нормы операторов l и пространстве Mp меньше единицы, можно использовать и непосред-ственно для оценки решения задачи (1), (1b) в пространстве Mp . Для этого уравнение (5) перепишем в следующем виде: x(t) = ( lx)(t) + U(t)x(0) + (W f)(t); t > 0: (6) Переходя к норме в пространстве Mp в правой и левой частях уравнения (7), с учетом условий теоремы 2 получим неравенство kxkMp 6 k lkMp kxkMp + ckx(0)kkpn + c^kfkB ; где c; c^ некоторые положительнее числа. Из предыдущей оценки вид-но, что если k lkMp < 1, то тривиальное решение однородного уравнения (1), (1а) Mp -устойчиво. Используя этот факт и теорию положительной обратимости матриц, можно модифицировать W -преобразование урав-нения (2). В дальнейшем мы остановимся на этом. Пусть B = (bij)mi;j=1 m m-матрица. Матрицу B называют неотри-цательной, если bij > 0, i; j = 1; : : : ; m, и положительной, если bij > 0, i; j = 1; : : : ; m. Определение 3 [18]. Матрица B = (bij)mi;j=1 называется M-матри-цей, если bij 6 0 при i; j = 1; : : : ; m и i 6= j, а также выполнено одно из следующих условий: для матрицы B существует положительная обратная матрица B 1; диагональные миноры матрицы B положительны. Лемма 2 [18]. Матрица B является M-матрицей, если bij 6 0 при i; j = 1; : : : ; m и i 6= j, а также выполнено одно из следующих условий: m P bii >jbijj, i = 1; : : : ; m; j=1; i6=j m P bjj >jbijj, j = 1; : : : ; m; i=1; i6=j существуют положительные числа i, i = 1; : : : ; m, такие что m P ibii > jjbijj, i = 1; : : : ; m; j=1; i6=j существуют положительные числа i, i = 1; : : : ; m, такие что m P jbjj > ijbijj, i = 1; : : : ; m. i=1; i6=j 42 Устойчивость решений стохастических уравнений с последействием Обозначим x(t) = col (x1(t); : : : ; xn(t)), xi = supt>0 (Ej (t)xi(t)jp)1=p, x = col (x1; : : : ; xn). Пусть, переходя к оценкам в каждом уравнении системы (6), нам удалось получить матричное неравенство следующего вида: (7) Ex 6 Cx + cjjx(0)jjk2np E + c^k'kNpn E; где C -- некоторая n n-матрица, c; c^-- некоторые положительные числа. Тогда справедлива следующая теорема. Теорема 3. Если матрица C является Mматрицей, то три- E -устойчиво. виальное решение однородного уравнения (1), (1а) Mp Доказательство. В предположениях теоремы матрица E C поло-жительно обратима. Следовательно, неравенство (7) можно переписать в следующем виде: Ex E C 1 c x n E c ' n E ) : Тогда получаем 6 ( ) ( jj (0)jjk2p + ^k kNp jxj 6 K(kx(0)kk2np + k'knpn ); где K = (E x(t; x ; ') = x(t) и jj C) 1 jj max c; c^ f g. Поскольку 0 k x( ; x ; ') kMp 6 j x j, то из неравенства (8) следует, что для любых x 0 2 0 kpn и ' 2 Npn имеем x(t; x0; ') 2 Mp и kx( ; x0; ')kMp 6 c(kx0 kkpn + k'kNpn ), где c некоторое положительное число. Следовательно, тривиальное решение однородного уравнения (1), (1а) Mp -устойчиво. 3. Примеры Рассмотрим систему детерминированных линейных дифференциаль-ных уравнений с постоянными запаздываниями и коэффициентами вида m Xj t > 0; dx(t) =Ajx(t hj) dt; (8) =1 x(s) = '(s); s < 0; (8a) где Aj = (ajsl)ns; l=1, j = 1; : : : ; m, -- n n-матрицы, элементами которых являются действительные числа; hj, j = 1; : : : ; m, -- неотрицательные действительные числа; ' -- некоторая известная функция. m Пусть P ajss = as > 0, s = 1; : : : ; n, и n n-матрица C, элементы j=1 которой определены следующим образом: 43 Р.И. Кадиев, А.В. Поносов 1 m m css = 1 XXjasskjhkjassjj; s = 1; : : : ; n; a s k=1 j=1 csl = as " m m jasskjhkjasljj + jaslj# ; s; l = 1; : : : ; n; s 6= l; 1 m Xk X X =1 j=1 j=1 является M-матрицей. Тогда тривиальное решение однородной системы (8), (8а) экспоненциально устойчиво по отношению к начальному значе-нию и функции. Пусть в системе (8) h1 = 0, a1ss > 0, s = 1; : : : ; n, и n n-матрица C, элементы которой определены следующим образом: 1 m Xj (9) css = 1 a1 jassjj; s = 1; : : : ; n; ss =2 1 m csl = Xjasljj; s; l = 1; : : : ; n; s 6= l; a1 ss j=1 является M-матрицей. Тогда тривиальное решение однородной системы (8), (8а) экспоненциально устойчиво по отношению к начальному значе-нию и функции. Пользуясь достаточными условиями, обеспечивающи-ми то, что n n-матрица C, элементы которой определены формулами (9), будет M-матрицей, получим следующее. Если css > Pnl=1;l6=s jcslj, s = 1; : : : ; n, где csl, s; l = 1; : : : ; n, определены формулами (9), то триви-альное решение однородной системы (8), (8а) экспоненциально устойчи- во по отношению к начальному значению и функции. В частности, если все элементы матриц Aj, j = 2; : : : ; m, нулевые и ass1 > n jasl1j, l=1; l6=s s = 1; : : : ; n , то тривиальное решение однородной системы (8), (8а) экс- P поненциально устойчиво по отношению к начальному значению и функ-ции. Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений Ито с постоянными запаздываниями вида m1 m mi Xj A1jx(t h1j) dt + XX dx(t) = Aijx(t hij) dBi(t); t > 0; (10) =1 i=2 j=1 x(s) = '(s); s < 0; (10a) где Aij = (aslij)s;ln =1, i = 1; : : : ; m, j = 1; : : : ; mi, -- n n-матрицы, элементы которых являются действительными числами, hij, i = 1; : : : ; m, j = 1; : : : ; mi -- неотрицательные действительные числа, ' 2 Nn. 44 Устойчивость решений стохастических уравнений с последействием Пусть Pm1 a1j = as > 0, s = 1; : : : ; n, и n n - матрица C, элементы j=1 ss которой определены следующим образом: m1 m1 css = 1 a1 XXja1sskjh1kja1ssjj s k=1 j=1 p2as " m1 m mi jass1kj h1kjassijj + jassijj# ; s = 1; : : : ; n; cp m mi Xk XX p XX csl = as " =1 i=2 j=1 i=2 j=1 m1 jass1kjh1kjasl1jj + jasl1jj# 1 m1 m1 Xk X X p2as " =1 j=1 j=1 jaslijj# ; s; l = 1; : : : ; n; s 6= l; m1 m mi jass1kj h1kjaslijj + cp m mi Xk XX p XX =1 i=2 j=1 i=2 j=1 где cp -- некоторое число, зависящее от p из неравенства 4 работы [17, с. 65], является M-матрицей. Тогда тривиальное решение однород-ной системы (10), (10а) экспоненциально 2p-устойчиво по отношению к начальному значению и функции. Пусть в (10) m1 = 1, h11 = 0, a11ss > 0, s = 1; : : : ; n, и n n-матрица C, элементы которой определены следующим образом: cp m mi css = 1 XXjassijj; s = 1; : : : ; n; p 2a11 ss i=2 j=1 c = jasl11j cp m mi ; s; l = 1; : : : ; n; s = l; aij Xi X sla11 p 6 11 j slj ss 2ass =2 j=1 является M-матрицей. Тогда тривиальное решение однородной систе-мы (10), (10а) экспоненциально 2p-устойчиво по отношению к начально-му значению и функции. Для проверки факта, является ли матрица C M-матрицей, воспользуемся достаточными условиями, указанными на-ми ранее. В частности, если cp m mi 1 XXjassijj > p 2a11 ss i=2 j=1 2ass11 j j! ass11 > n jasl11j + cp m mi aij ; s = 1; : : : ; n; Xl XX p sl =1 i=2 j=1 45 Р.И. Кадиев, А.В. Поносов то матрица C является M-матрицей, а тривиальное решение однород-ной системы (10), (10а) экспоненциально 2p-устойчивo по отношению к начальному значению и функции. В заключение отметим, что в работе [19] исследованы вопросы гло-бальной экспоненциальной p-устойчивости (2 6 p < 1) систем нелиней-ных дифференциальных уравнений Ито с запаздываниями специального вида с помощью модифицированного W -метода Н.В. Азбелева и теории положительно обратимых матриц.