Abstract

Abstract

Рассматривается квазилинейное функционально-дифференциальное уравнение пер-вого порядка нейтрального типа с нелинейным оператором в правой части, не обладаю-щим, вообще говоря, свойством монотонности. Приводятся достаточные условия разре-шимости начальной и краевой задач, а также оценки на их решения. В качестве одного из возможных приложений рассматривается задача динамики основных производственных фондов на предприятии.

Full Text

Важное место в теории функционально-дифференциальных уравне-ний (ФДУ) занимают нелинейные краевые и начальные задачи. Такие задачи естественно возникают при моделировании реальных процессов в том случае, когда линейные модели дают слишком грубое описание или вовсе невозможны. К настоящему времени наиболее глубоко разработана теория нелинейных краевых задач для обыкновенных дифференциаль-ных уравнений (см., например, монографию [1], обзоры [2, 3] и имеющую-ся там библиографию). Сравнительно недавно стала развиваться теория нелинейных задач и для ФДУ благодаря работам [4 6]. Первый вопрос, который возникает при изучении нелинейных краевых и начальных задач -- это вопрос о разрешимости. Одним из эф-фективных методов доказательства существования решения нелинейной задачи является, как отмечается в обзоре [7], монотонный итеративный метод. В основе этого метода лежит редукция исходной задачи к уравне-нию x = Ax с монотонным оператором A, определенным на некотором частично упорядоченном множестве. Вспомогательным аппаратом при таком подходе является метод дифференциальных неравенств (метод нижних и верхних решений). Для пространств функций, заданных на отрезке [0; b], будем исполь-зовать следующие стандартные обозначения: C -- пространство непре-рывных на [0; b] функций; Lp -- пространство функций, суммируемых на [0; b] со степенью p (1 6 p < 1); L1 -- пространство функций, измери- 48 Разрешимость краевых задач мых и ограниченных в существенном на [0; b]; Dp = R Lp -- пространство абсолютно непрерывных на [0; b] функций с производной из Lp. Положим ( (Sry)(t) = yr(t) = y[r(t)]; r(t) 2 [0; b]; 0; r(t) 2= [0; b]; r(t) = fyr1 (t); : : : ; yrn (t)g. y Рассмотрим уравнение m (Mx)(t) x(t) Xi =1 bi(t)xgi (t) + q(t)x(t) = (1) = f(t; x(t); h(t))); t 2 [0; b]; x где bi 2 L1, i = 1; : : : ; m; q 2 Lp; gi (i = 1; : : : ; m), hj (j = 1; : : : ; n) -- измеримые функции, причем gi (t) 6 t, hj (t) 6 t при почти всех t 2 [0; b]; функция f : [0; b] Rn+1 ! R удовлетворяет условиям Каратеодори. Пусть e [0; b], g 1(e) = ft 2 [0; b] : g(t) 2 [0; b]g и mes-- мера Лебега. Будем предполагать выполнеными следующие условия [8]: (i) для всех i = 1; : : : ; m и 1 6 p < 1 i = nsupe [0; b] mes e o 1 < 1, mes gi 1(e) p где верхняя грань берется по всем таким подмножествам e отрезка [0; b], что mes e > 0; (ii) существует такое > 0, что при всех i = 1; : : : ; m множества = t 2 [0; b] : t g (t) 6 ; g (t) 2 [0; b] g либо пусты, либо i m f i i P i=1 i vrai supt2 i jbi(t)j < 1. Условие (i) обеспечивает непрерывное действие оператора внутренней Pm суперпозиции (Sy)(t) = i=1 bi (t) (Sgi y) (t) в пространстве Lp. Как показано в работе [8], число i является нормой оператора Sgi , действующего в пространстве Lp (1 6 p < 1); если p = 1, то kSgi k = 1. При выполнении условия (ii) спектральный радиус оператора S мень-ше единицы. Решением уравнения (1) назовем функцию x 2 Dp, удовлетворяю-щую этому уравнению при почти всех t 2 [0; b]. Дополнительное условие для уравнения (1) зададим в виде 49 А.С. Ларионов, И.А. Никишина `x = ; 2 R; (2) где ` : Dp ! R-- линейный ограниченный функционал. Для vj; zj 2 L1, vj 6 zj, обозначим [vj; zj] = fx 2 L1 : vj 6 x 6 zjg, j = 0; 1; : : : ; n; [ ] = [v0; z0] [v1; z1] : : : [vn; zn]. v; z Напомним [8], что оператор A называется изотонным, если из x1 6 x2 следует, что Ax1 6 Ax2, и антитонным, если Ax1 > Ax2. v; z Будем говорить [8], что функция f удовлетворяет условию L1[ 1 ; r 1] условию [v; z]), если существуют такие функции r (соответственно, 2 2 L2 j (соответственно; r ; rj ), j = 1; : : : ; n, принадлежащие Lp, и такой изотонный (антитонный) оператор N1 : [ ] ! R (N2 : [ ] ! R), что v; z v; z n Xj N1(u; h)(t) = f(t; u(t); h(t)) + r1(t)u(t) + rj1(t)uhj (t); (u; h) 2 [ u u u v; z]; =1 n Xj (N2(u; h)(t) = f(t; u(t); h(t)) + r2(t)u(t) + rj2(t)uhj (t); (u; h) 2 [ u u u v; z]): =1 Без ограничения общности считаем, что r1(t) > 0, rj1(t) > 0, r2(t) 6 0, rj2 (t) 6 0, j = 1; : : : ; n. Обозначим ( 1; если r(t) 2 [0; b]; r(t) = 0; если r(t) 2= [0; b]: Теорема 1. Пусть bi (t) gi (t) > 0, i = 1; : : : ; m, существуют функ-ции v; z 2 Dp, такие что v 6 z и при почти всех t 2 [0; b] выполняются неравенства (Mv)(t) 6 f(t; v(t); h(t)); (3) v (Mz)(t) > f(t; z(t); h(t)); (4) z lv 6 lx 6 lz: (5) Пусть далее v0 = v, vj = vhj , z0 = z, zj = zhj , j = 1; : : : ; n, функция f удовлетворяет условию L1[v; z], а краевая задача n X (M1x)(t) (Mx)(t) + r1(t)x(t) + rj1 (t) xhj (t) = 1 (t) ; lx = 0 (6) j=1 однозначно разрешима и ее функция Грина G1(t; s) положительна в квадрате [0; b] [0; b]. 50 Разрешимость краевых задач Тогда существует решение x краевой задачи (1), (2), удовлетворя-ющее неравенствам v 6 x 6 z: Если, кроме того, функция f удовлетворяет условию L2[v; z], крае-вая задача n X (M2x)(t) (Mx)(t) + r2(t)x(t) + rj2 (t) xhj (t) = 2(t); lx = 0 j=1 однозначно разрешима, а ее функция Грина G2(t; s) положительна в квадрате [0; b] [0; b], то решение x -- единственно. Приведем схему доказательства теоремы 1. Запишем уравнение (1) в виде m X (M1x)(t) x(t) bi(t)xgi (t) + q(t)x(t) + r1(t)x(t)+ i=1 n Xj (t) = N1(x; xh)(t); t 2 [0; b]: + rj1(t) xhj (7) =1 Тогда задача (7), (2) эквивалентна уравнению x = Ax; где оператор A : [v; z] ! C определен равенством Zb (Ax)(t) = G1(t; s)N1(x; xh)(s)ds + 1(t); 0 С 1 (t) -- решение задачи (M1x)(t) = 0, lx = . Оператор A : [v; z] ! C изотонен и вполне непрерывен. Из условий теоремы следует, что оператор A отображает конусный отрезок [v; z] в себя. В силу принципа Шаудера он имеет неподвижную точку, которая является решением задачи (1), (2). Единственность решения в конусном отрезке доказывается на основе редукции задачи (1), (2) к уравнению с антитонным оператором. Замечание 1. Другие достаточные условия существования решения краевой задачи (1), (2) приведены в работе [9]. Замечание 2. При доказательстве теоремы 1 существенным яв-ляется вопрос о знакоопределенности функции Грина соответствующей линейной краевой задачи (функции Коши в случае начальной задачи 51 А.С. Ларионов, И.А. Никишина `x = x(0)). Эффективные признаки положительности функции Коши уравнения (Mx)(t) = (t) приведены в работе [10]. Если `x = x(b), то признаки знакопостоянства функции Грина соответствующей линейной краевой задачи вытекают из результатов работы [10]. Замечание 3. В случае если функция f обладает свойством мо-нотонности по функциональным аргументам, можно привести ряд след-ствий теоремы 1. Справедливо, например, следующее утверждение. Теорема 2. Пусть bi(t) gi (t) > 0; i = 1; : : : ; m и существует пара функций v; z 2 L1, v 6 z, таких что при почти всех t 2 [0; b] выпол-няются неравенства (3) (5). Пусть функция f не убывает по функци-ональным аргументам, краевая задача (6) однозначно разрешима, а ее функция Грина положительна в квадрате [0; b] [0; b]. Тогда существует решение x краевой задачи (1), (2), удовлетворя-ющее неравенствам v 6 x 6 z: Рассмотренная задача (1), (2) представляет собой динамическую мо-дель, которая даже в случае bi(t) = 0, i = 1; : : : ; m, охватывает доста-точно широкий класс моделей, возникающих при исследовании реальных процессов с учетом эффекта последействия (запаздывания) (см., напри-мер, [9]). Рассмотрим одну такую модель, описывающую динамику ос-новных производственных фондов (ОПФ) на предприятии. В линейном случае эта модель исследована в книге [5]. На производственных предприятиях со временем приходится обнов-лять основные производственные фонды. При этом важно учитывать неизбежную задержку во времени от момента выделения средств на эти цели к моменту введения новых ОПФ. Эта задержка возникает по ряду причин. К примеру, из-за высокой стоимости фондов не всегда удается сразу выделить на эти цели нужную сумму, поэтому предприятие вы-нуждено накапливать эту сумму постепенно. И даже при наличии необ-ходимой суммы требуется время на монтаж оборудования, его наладку и пуск в эксплуатацию. На практике наиболее часто встречается такой вариант моделирова-ния запаздывания в процессе освоения капитальных вложений, который предполагает наличие промежутка времени , по прошествии которо-го капиталовложения превращаются в основные фонды. В этом случае математическая модель прироста ОПФ в непрерывном времени описы-вается следующим дифференциальным уравнением 52 Разрешимость краевых задач _ (8) K(t) = I(t ) K(t); где K(t) -- объем ОПФ в текущий момент времени; I -- инвестиции в развитие; -- промежуток времени, по истечении которого происходит прирост ОПФ; -- коэффициент амортизации. Пусть в уравнении (8) поступление инвестиций носит нелинейный ха-рактер, например, I(t ) = sin K(t ). Тогда уравнение (8) принимает вид K_(t) + K(t) = sin K(t ): Рассмотрим краевую задачу _ (9) (MK)(t) K(t) + K(t) = sin K(t ); t 2 [0; T ]; K(T ) = 2K(0): (10) ее качестве функций v и z выберем v 0, z 1, тогда функция sin u(t ) удовлетворяет условию L1[0; 1] с коэффициентом r11(t) = 1. Неравенство (Mv)(t) 6 sin v(t ) очевидно. При > sin 1 выполня-ется также неравенство (Mz)(t)(t) > sin z (t ). Таким образом, спра-ведливо следующее утверждение. Теорема 3. Пусть функция Грина G(t; s) задачи _ 1 (t); K(T ) = 2K(0) (11) K(t) + K(t) + K(t ) = положительна в квадрате [0; T ] [0; T ] и выполняются неравенства 0 6 x (0) 6 0;5; > sin 1: Тогда существует решение K задачи (9), (10), удовлетворяющее нера-венствам 0 6 K(t) 6 1. Для доказательства теоремы 3 достаточно проверить выполнение условий теоремы 2. Замечание 4. Условия знакопостоянства функции Грина G(t; s) задачи (11) приведены, например, в работе [11].