Abstract

Abstract

Изучается игровое равновесие в модели с производством в сети с двумя типами аген-тов, обладающих разной продуктивностью. Каждый агент может инвестировать часть своего начального запаса в первом из двух временных периодов; потребление во вто-ром периоде зависит от его инвестиций и продуктивности, так же как и от инвестиций его соседей в сети. Вводится формализация понятия динамики в терминах системы разностных уравнений, и изучаются вопросы устойчивости равновесий в полной сети, содержащей агентов с разной продуктивностью.

Full Text

Введение ее моделях экономики сетей и игр на сетях [1, 2] предполагается, что агенты в сети рациональны и решают свои оптимизационные задачи, а профиль действий агентов в сети образует игровое равновесие. При этом решение каждого агента подвержено влиянию поведения его соседей в сети. Наряду с учетом положения агентов в сети, важную проблему пред-ставляет также учет неоднородности агентов как фактор, определяющий различия в их поведении и благосостоянии. ее данной статье мы предполагаем, что есть два типа агентов с раз-ными продуктивностями. Изучаемый в статье вопрос -- это устойчивость равновесий в сетях с различными типами агентов. Вводится понятие ди-намики в терминах системы разностных уравнений, и изучается динами-ческая устойчивость состояний равновесия. Паттерны динамики и при-рода результирующего равновесия зависят от параметров, характеризу-ющих неоднородность агентов. 1. Описание модели Имеется сеть (неориентированный граф) с n вершинами i = В 1; 2; : : : ; n. Пусть M -- матрица смежности этой сети. В этой матри-це Mij = Mji = 1, если в сети имеется ребро, соединяющее вершины i и 55 В.Д. Матвеенко, А.В. Королев, М.О. Жданова j, и Mij = Mji = 0-- в противном случае. При всех i = 1; 2; : : : ; n полага-ем Mii = 0. В вершинах сети находятся агенты. В период 1 каждый агент наделен начальным запасом блага e > 0. Агент может использовать этот запас частично для потребления в первом периоде ci1, а частично для инвестиций в знания (ki), которые используются при производстве блага для потребления во втором периоде (ci2). Инвестиции немедленно пре-вращаются в запас знаний. Предпочтения i-го агента описываются квадратичной функцией по-лезности Ui(ci1; ci2) = ci1(e aci1) + dici2; где di > 0 и a -- коэффициент насыщения. Предполагается, что при ci1 2 [0; e] полезность возрастает по ci1 и что полезность имеет убывающую отдачу по ci1. Эти предположения эквивалентны условию 0 < a < 1=2. Производство в вершине i описывается производственной функцией F (ki; Ki) = gikiKi; gi > 0; зависящей от состояния знаний ki в данной вершине и от среды Ki, т.е. суммы инвестиций в знания самого агента и его соседей (агентов, находя-щихся в смежных вершинах сети). Произведение digi для удобства обо-значается как bi, и всегда предполагается, что a < bi. Поскольку увеличе-ние каждого из параметров di; gi способствует увеличению потребления второго периода, будем говорить о величине bi как о ¾продуктивности¿. Выделим три вида поведения агента: агент называется пассивным, если он делает нулевые инвестиции в знания ki = 0; активным -- если он делает инвестиции в знания ki 2 (0; e); гиперактивным -- если он делает максимально возможные инве-стиции в знания ki = e (т. е. не потребляет в первом периоде). Каждый агент решает следующую оптимизационную задачу: Ui(ci1; ci2) ! max; ci1;ci2;ki к ci1 6 e ki;> < ci2 6 F (ki; Ki); > :ci1 > 0; ci2 > 0; ki > 0: 56 Изучение динамики в социально-экономических сетях Первые два ограничения задачи в точке оптимума, очевидно, удовле-творяются как равенства. Подставляя эти ограничения в целевую функ-цию, мы можем определить новую функцию (платежную функцию): Vi(ki; Ki) = Ui(e ki; Fi(ki; Ki)) = = e2(1 a) kie(1 2a) aki2 + bikiKi: (1) Определение 1. Равновесием Нэша с экстерналиями назовем на-бор уровней знаний (инвестиций) (k1 ; k2 ; :::; kn), такой что каждое ki , В = 1; 2; : : : ; n, максимизирует платежную функцию Vi (ki; Ki ) при соот-ветствующей среде Ki , которая определяется этим же набором инвести-ций. Если все ki 2 (0; e), т. е. все агенты являются активными, то равнове-сие будем называть внутренним. Ясно, что внутреннее равновесие Нэша и экстерналиями (если оно существует при данных значениях парамет-ров) определяется системой уравнений D1Vi(ki; Ki) = 0; i = 1; 2; : : : ; n; (2) где D1 -- частная производная по первому аргументу. Из формулы (1) следует, что (2) эквивалентно системе уравнений 2aki + biKi = e(1 2a); i = 1; 2; : : : ; n: (3) Введем обозначения: I -- единичная матрица порядка n, B = = b ; b ; :::; b ng -- диагональная матрица, k = (k ; k ; : : : ; k )T , h = diagf 1 2 T n 1 2 n = e(1 2a)(1; 1; : : : ; 1) . Поскольку Ki = ki + j=1 Mijkj, уравнение (3) легко переписать в векторной форме P (B 2aI)k + BMk = h: (4) Можно доказать, что система уравнений (4) для полной сети имеет един-ственное решение. Следовательно, платежная функция Vi (ki; Ki) для i-й вершины, рассматриваемая при данном значении продуктивности агента Я i-й вершине и при данной среде Ki как функция от ki на всей веще-ственной оси, имеет единственный строгий глобальный максимум. 2. Характеризация видов поведения агента Центральную роль при анализе равновесий играет следующее утвер-ждение, доказанное в работе [3]. В его формулировке оказывается по- ~ P n M k -- лезным использовать понятие чистых экстерналий K = суммарных инвестиций в знания всех соседей i-го агента.i j=1 ij j 57 В.Д. Матвеенко, А.В. Королев, М.О. Жданова Лемма 1. При bi < 2a необходимые и достаточные условия раз-личных типов поведения агента следующие: ~ 2a); а) агент пассивен, если и только если Kibi 6 e (1 ~ bi); б) агент активен, если и только если e (1 2a) < Kibi < e (1 ~ bi). в) агент гиперактивен, если и только если Kbi > e (1 При bi > 2a необходимые условия различных типов поведения аген-та следующие: ~ 2a); а) если агент пассивен, то Kibi 6 e (1 ~ < e (1 2a); б) если агент активен, то e (1 bi) < Kibi ~ bi). в) если агент гиперактивен, то Kibi > e (1 Говоря о полной сети, будем опускать индекс i в обозначении среды i-го агента, поскольку в полной сети среда у всех агентов одинакова. Таким образом, через K обозначается сумма инвестиций всех агентов полной сети. 4) Равновесия в полной сети с двумя типами агентов Рассмотрим полную сеть, состоящую из p агентов с продуктивностью b1 (этих агентов мы будем называть агентами первой группы) и q агентов . продуктивностью b2 (их мы будем называть агентами второй группы), причем b1 > b2. Перечислим возможные в такой сети равновесия и соот-ношения параметров, при которых данные равновесия существуют. Агенты обеих групп гиперактивны: 1 b1 > b2 > p + q : Агенты первой группы гиперактивны, агенты второй группы ак-тивны: 0 < 1 2a pb2 < 1; qb2 2a p + q (1 2a pb2) > 1 : (5) qb2 2a b1 Агенты первой группы гиперактивны, второй группы - пассивны: 58 Изучение динамики в социально-экономических сетях b1 > 1 ; b2 6 1 2a : (6) p p Агенты первой группы активны, второй -- пассивны: b1 > 1 ; b2 6 pb1 2a : (7) p p Равновесие, при котором агенты обеих групп пассивны, возможно всегда. Агенты обеих групп активны: p(b1 b2) < 2a; 2ab1(p + q) > 2a + q(b1 b2): (8) = Динамика и динамическая устойчивость равновесия Введем понятие динамики приспособления, которая может начинать-ся после малого отклонения от положения равновесия или после объеди-нения сетей, каждая из которых изначально находилась в положении равновесия. Каждый агент максимизирует свою полезность путем выбо-ра уровня своих инвестиций; в момент принятия решения он рассматри-вает свою среду как экзогенно заданную. Примем следующие договорен-ности: если kin = 0 и D1Vi(ki; Ki)jki=0 6 0, то kin+1 = 0; если kin = e и D1Vi(ki; Ki)jki=e > 0, то kin+1 = e; во всех остальных случаях является решением системы разностных уравнений: 2akin+1 + biKin e(1 2a) = 0; i = 1; 2; : : : ; n: (9) Как и прежде, рассмотрим полную сеть, состоящую из p агентов с продуктивностью b1 (тип 1) и q агентов с продуктивностью b2 (тип 2). Z начальный период времени каждый агент типа 1 инвестирует k01 и каждый агент типа 2 инвестирует k02 . Соответственно, среда (общая для всех агентов) в начальный период равна K = pk01 +qk02 . Перечислим все ситуации, когда k1n; k2n определяются системой разностных уравнений: k01 = 0 и D1V1(k1; K)jk1=0 > 0; 59 В.Д. Матвеенко, А.В. Королев, М.О. Жданова 5. k01 = e и D1V1 (k1; K)jk1=e < 0; 6. k01 2 (0; e); 7. k02 = 0 и D1V2 (k2; K)jk2=0 > 0; 8. k02 = e и D1V2 (k2; K)jk2=e < 0; 9. k02 2 (0; e). Обозначим k n n n T , h = e(1 1=2a)(1; 1) T , P = 1 pb1 qb1 и = (k1 ; k2 ) pb2 qb2 2a запишем систему (9) для рассматриваемого случая в векторной форме h i kn+1 = P kn + h; (10) дополнив ее начальными условиями k10 = k01; k20 = k02: (11) Решение задачи (10), (11) может быть найдено в явной аналитической форме. Предложение 1. Решение разностной задачи Коши (10), (11) име-ет вид n 1 b1 c1 kn = (pk01 + qk02 c0) b2 + c2 ; n = 1; 2; : : : ; (12) 2a где c0 = e(1 2a) (p + q) ; = pb1 + qb2 ; pb1 + qb2 2a 2a c1 = e(1 2a) (qb2 qb1 2a) ; c2 = e(1 2a) (pb1 pb2 2a) : (13) 2a (2a pb1 qb2) 2a (2a pb1 qb2) ~n неоднородной систе- Доказательство. Найдем частное решение k ~n T мы (10). Пусть k = (c1; c2) . Числа c1; c2 найдем, подставляя их вместо k1n; k2n в систему (10): 8 c 1 = pb1 c 1 + qb1 c 2 + e(2a 1) ; 2a 2a 2a > pb2 qb2 e(2a 1) < c2 = c1 + c2 + : 2a 2a 2a > Нетрудно убедиться, что решением этой системы являются числа, : определенные равенствами (13). ~n Заменой переменных x n = k n сводим задачу (10), (11) к более k простой: 60 Изучение динамики в социально-экономических сетях = e xn+1 = P xn; (14) x01 = k01 c1; x02 = k02 c2: Матрица P имеет два различных собственных числа: 0 и = pb1+qb2 , которым соответствуют собственные векторы e0 = (q; p)T и 2a h i = (b1; b2)T . Следовательно, матрица T = q b1 задает невырожp b2 денное преобразование, приводящее матрицу P к диагональной форме: T 1P T = P0 = diagf0; g. Значит, уравнение (14) эквивалентно урав-нению T 1xn+1 = (T 1P T )T 1xn. Обозначив yn = T 1xn, сведем систе-му (14) к системе yn+1 = P0y n, решение которой yn = P0ny0. Однако P0n = diagf0; ng, а y0 = T 1x0, следовательно, 0 n 2a p q k02 c2 yn = 0 0 1 b2 b1 k01 c1 = n 1 0 = p(k01 c1) + q(k02 c2) : 2a Возвращаясь к переменной xn = T yn, получаем: n x1n n 1 q b1 0 x = x2n = p b2 p(k01 c1) + q(k02 c2) = 2a n 1 b1 = (p(k01 c1) + q(k02 c2)) b2 : 2a Легко видеть, что pc1 + qc2 = c0, следовательно, n 1 b1 xn = (pk01 + qk02 c0) b2 ; 2a а так как k n = x n ~n , то для k n получаем представление (12). + k Определение 2. Равновесие называется динамически устойчивым, если при малом отклонении инвестиций одного или нескольких агентов от равновесных значений возникает динамика, которая возвращает сеть в исходное состояние равновесия. В противном случае равновесие назы-вается динамически неустойчивым. Предложение 2. Условия динамической устойчивости/неустой-чивости равновесий, перечисленных в разделе 3 (в случае их существо-вания), следующие. = Равновесие, при котором агенты обеих групп гиперактивны, устойчиво тогда и только тогда, когда 61 В.Д. Матвеенко, А.В. Королев, М.О. Жданова (p + q)b1 > 1; (p + q)b2 > 1: (15) и Равновесие, при котором все агенты первой группы гиперактив-ны, а все агенты второй группы активны, устойчиво тогда и только тогда, когда qb2 < 2a; pb1 + qb1(1 2a pb2) > 1: (16) qb2 2a и Равновесие, при котором все агенты первой группы гиперактив-ны, а все агенты второй группы пассивны, устойчиво тогда и только тогда, когда pb1 > 1; pb2 < 1 2a: = Равновесие, при котором все агенты первой группы активны, а все агенты второй группы пассивны, всегда неустойчиво. = Равновесие, при котором все агенты обеих групп пассивны, устойчиво. = Равновесие, при котором все агенты обеих групп активны, всегда неустойчиво. Доказательство. 1. Согласно уравнению (4) D1V (k1; K)jk1=e = b1(p + q)e e; D1V (k2; K)jk2=e = b2(p + q)e e: Обе производные положительны тогда и только тогда, когда выполнено условие (15). 2. Согласно равенствам (4) и (5) 1 1 jk1=e 1 qb2 2a D V (k ; K) = b pe + qe(1 2a pb2) e e > 0: Для устойчивости, однако, нужно строгое неравенство. Пусть выполнено условие (16) и k1 = e. Запишем разностное уравнение для любого из агентов второй группы: kn+1 = qb2 kn + peb2 + e(2a 1) : 2 2a 2 2a 2a Для устойчивости решения данного уравнения необходимо и достаточно выполнения условия qb2 < 2a. 3. Согласно равенствам (4) и (6) 62 Изучение динамики в социально-экономических сетях D1V (k1; K)jk1=e = pb1e e > 0; D1V (k2; K)jk2=0 = e(2a 1) + b2pe 6 0: Для устойчивости, однако, нужны строгие неравенства. 4. Согласно равенствам (4) и (7) D V (k ; K) jk2 = e(2a 1) + b pe(1 2a) = 2 pb1 2a 1 2 =0 e(1 2a)(pb2 pb1 + 2a) = 6 0: Для устойчивости необходимо строгое неравенство. Пусть второе нера-венство (7) выполняется как строгое. Запишем разностное уравнение для любого из агентов первой группы: kn+1 = pb1 kn + e(2a 1) : 1 2a 1 2a Согласно первому неравенству (7) имеем pb1 > 1 > 2a, поэтому рассмат-риваемое равновесие неустойчиво. 5. Согласно уравнению (4) D1V (k1; K)jk1=0 = e (2a 1) < 0; D1V (k2; K)jk2=0 = e (2a 1) < 0: 6. Из соотношения (8) следует, что одно из собственных чисел системы (10) по модулю больше единицы: = pb1+qb2 > 1, поэтому рассматри- 2a ваемое равновесие неустойчиво.