Abstract

Abstract

Для линеаризованной системы Навье -- Стокса рассмотрена математическая модель (начально-краевая задача), описывающая нестационарное течение вязкой многофазной среды в сетеподобной гидросети (сетеподобной области). Методом Фаэдо -- Галеркина С помощью специального базиса (множества обобщенных собственных функций специ-альной спектральной задачи) и априорных оценок нормы решения типа энергетических неравенств показана однозначная разрешимость рассматриваемой начально-краевой за-дачи в слабой постановке. Приведен анализ распространенных в приложениях задач распределенного и стартового управлений с финальным наблюдением, получены необ-ходимые и достаточные условия существования оптимальных управлений в терминах сопряженных состояний соответствующих систем. Решена задача синтеза оптимального управления для случая отсутствия ограничений на управляющие воздействия, и полу-чены аналоги известных для конечномерного случая результатов Калмана.

Full Text

Введение В прикладных задачах гидродинамики система двух уравнений @Y n @Y Y + Xi + rp = f; @t Yi @xi (1) =1 ! n div Y = 0 X @Y = 0 (2) i=1 @xi относительно пары функций fY (x; t); p(x; t)g (система Навье -- Стокса в эволюционном случае [1, с. 77]; Y = f Y ; Y ; :::; Y ng -- вектор-функция, n 1 2 p -- скалярная функция, x 2 R ) описывает динамику несжимаемой вязкой среды ( -- коэффициент вязкости) с вектором скорости Y гидравли-ческого потока и конвективной составляющей, определяемой слагаемым Pn @Y i=1 Yi @xi в соотношении (1). Во многих случаях, прежде всего при ла-минарных процессах, конвективная составляющая в описании процесса отсутствует, и уравнение (1) становится линейным, а система (1), (2) -- линеаризованной системой Навье -- Стокса. 65 ее Провоторов, Е.Н. Провоторова О работах [2 5] систематически изучались различного типа задачи оптимального управления эволюционными уравнениями с распределен-ными параметрами на геометрическом графе (сети). Настоящая работа является естественным продолжением упомянутого исследования в на-правлении увеличения размерности как пространственной переменной x (x 2 Rn, n > 2), так и функций, описывающих состояние исследуе-мой системы. При этом изучается более простой случай отсутствия кон-вективного эффекта (ламинарное течение несжимаемой вязкой среды). Затронут довольно широкий круг вопросов теории оптимального управ-ления системами с распределенными параметрами на сетеподобных об-ластях: однозначная разрешимость соответствующей начально-краевой задачи, анализ часто встречающихся на практике задач оптимального управления (распределенного и стартового). Достаточное внимание уде-лено вопросам синтеза оптимального управляющего воздействия. В Необходимые обозначения, понятия и определения n = евклидова простран- Рассмотрим открытую ограниченную область ства R , имеющую сетеподобную структуру [3, 4]: = = ( k =k) ( l Sl), где через S l обозначена поверхность, разделяющая смежные области =k , S S S @=-- граница = (гладкость границы @= сначала не играет роли). Место сопряжения смежных областей =k назовем узловым местом (везде ниже обозначено через ). Оно представляет собой объединение поверхностей Sl( ), число которых равно числу сопрягаемых областей: = l Sl( ). На протяжении всего исследования используются измеримые функции S и интеграл Лебега. Последний по области = понимается как сумма интегралов по областям =k: Pf =k f dx. g = f dx = k Для вектор-функции YR (x; t) = y1R(x; t); y2(x; t); : : : ; yn(x; t) (x = В fx1; x2; : : : ; xng), определенной в области =T = = (0; T ) (T < 1), рассмотрим линеаризованную систему Навье -- Стокса: @Y Y + rp = f; (3) @t div Y = 0; (4) при этом в каждом узловом месте справедливы соотношения Y jSl ( ) = Y jSl+( ); (5) 66 Управление линеаризованной системой Навье -- Стокса l @nl Sl ( ) + l @nl+ Sl+( ) = 0; (6) X @Y X @Y называемые в литературе условиями сопряжения (см., например, [3 5]); Sl ( ) и Sl+( ) -- односторонние поверхности для Sl( ), определяемые на-правлением нормалей nl , n+l к поверхностям Sl ( ), Sl+( ). Присоединяя к (3) (6) начальные условия Y (x; 0) = Y0(x); x 2 = (7) в момент времени t = 0 и краевые условия Y j@= = 0 (8) на границе объема сплошной среды, получаем начально-краевую задачу (3) (8) для отыскания функций Y (x; t) и p(x; t) (p(x; t) скалярная функция) в замкнутой области =T (=T = (= [ @=) [0; T ]). к прикладных задачах гидродинамики сетеподобная область = суть гидросистема, обусловленная давлением p (rp = grad p -- градиент дав-ления), распределяющая потоки жидкости (моногофазной среды), функ-ция Y (x; t) описывает вектор скорости гидравлического потока в области =T , соотношения (3), (4)-- динамику несжимаемой жидкости с вязкостью S > 0 в области k =k (0; T ), балансные равенства (5), (6) определя-ют условия перетекания жидкости в узловых местах гидросистемы =, f(x; t) -- плотность внешних сил; процесс переноса многофазной среды является изотермическим. Определим слабое решение начально-краевой задачи (3) (8). Для этого введем необходимые пространства и проведем предварительные рассуждения. Обозначим через L2(=)n пространство измеримых функций (классов) = f 1; 2; :::; ng, суммируемых с квадратом по области =. Скалярное произведение для ; 2 L2(=)n определяется соотношением и Z X ( ; ) = i(x) i(x) dx; (9) i=1 = k k = ( ; )1=2. Пусть D(=)n пространство функций, бесконечно дифференцируемых в области = и имеющих в = компактные носители. По-ложим D(=)n = f' : ' 2 D(=)n; div ' = 0g, а D0(=)n сопряженное к 67 @ @x В.В. Провоторов, Е.Н. Провоторова D(=)n пространство (здесь и везде ниже символ ¾0¿ использован для обо-значения сопряженного пространства). Определим пространство H(=) как замыкание D(=)n в норме L2(=)n со скалярным произведением (9), k kH(=) = ( ; )1=2, H(=) = H(=)0. Введем пространство H1(=), элементами которого являются 2 L2(=)n, имеющие обобщенную производную 2 L2(=)n ( @ 2 L2(=), @xi Я = 1; n). Пространство H1(=) снабжено нормой k kH1(=) = (k k2L2(=)+ +k@x@k2L2(=))1=2 и является гильбертовым пространством со скалярным произведением ( ; )H1(=) = ( ; ) + (@x@; @x@). Далее определим пространство V01(=) как замыкание в норме H1(=) множества элементов 2 D(=)n, удовлетворяющих условиям сопряже-ния 5) @ . @nl ( ) Sl ( ) X @ + l @n+l Sl+( ) = 0: Здесь V01(=) подпространство функций из H1(=), ¾удовлетворяющих условиям сопряжения¿ во всех узловых местах области = и ¾равных нулю¿ на @=. Отметим, что пространство V01(=) можно определить экви-валентным образом как замыкание в норме H1(=) множества элементов 2 D (=)n D(=)n (элементы множества D (=)n, в отличие от элемен-тов D(=)n, удовлетворяют приведенным выше условиям сопряжения). Рассмотрим билинейную форму n @uj @vj X dx; (10) = (u; v) = i; j=1 Z @xi @xi на функциях u; v; !, таких, для которых сходятся интегралы в представ-лении данной формы. Лемма. Билинейная форма (10) непрерывна на V 01(=) V 01(=). Доказательство. Применяя в правой части формы (10) неравенство Коши -- Буняковского для функций @uj и @vj , получим @xi @xi @uj @vj dx 6 vZ ( @uj )2 dx vZ ( @vj )2 dx 6 (11) Z @xi @xi @xi @xi u u = u= u= t t 9.kujkV01(=)kvjkV01(=): Утверждения леммы следуют из неравенства (11). 68 Управление линеаризованной системой Навье -- Стокса Введем пространства функций u(x; t) переменных x; t 2 =T и бу-дем рассматривать u как функцию от t со значениями в пространстве функций от x, а именно: если V -- гильбертово пространство, то через L2(0; T ; V ) обозначим пространство функций (классов) u : (0; T ) ! V , измеримых, принимающих значения из V и таких, что 0ZT ku(t)kV2 dt1 1=2 kukL2(0;T ;V ) = < 1: @ 0 A Очевидно равенство L2(=T )n = L2(0; T ; L2(=)n). Далее введем пространства W 1;0(=T ) и W 1(=T ). Пусть W 1;0(=T ) -- пространство функций u(x; t) 2 L2(=T )n, имеющих обобщенную произ-водную 1-го порядка по x, принадлежащую L2(=T )n, норма в W 1;0(=T ) определяется соотношением kukW 1;0(=T ) = kukL22(=T )n + @x L2( T )n ! 1=2 ; @u 2 = W 1(=T )-- пространство функций из L2(=T )n, имеющих обобщенные про-изводные 1-го порядка также из L2(=T )n, kukW 1(=T ) = kukL22(=T )n + @t L2( T )n + @x L2( T )n ! 1=2 : @u 2 = @u 2 = Исходя из свойства следов элементов W 1(=T ) на каждом сечении =T плоскостью t = t0 (t0 2 [0; T ]) как элементов L2(=)n, непрерывных по t в норме L2(=)n [6, с. 70], определим 0(=T ): 0(=T ) -- множество функций u(x; t) 2 W 1(=T ), которые при фиксированном t 2 [0; T ] принадлежат классу V01(=). Замыкание множества 0(=T ) в норме W 1(=T ) обозначим через W01(=T ). Пусть далее b0(=T ) -- множество всех функций u(x; t) 2 W 1;0(=T ), которые: а) имеют конечную норму k k2;=T = 06t6T k kL2(=) @x L2 ( T )n u max u( ; t) n + @u ; (12) = б) имеют след, который определен на сечениях области =T плоско-стью t = t0 (t0 2 [0; T ]) как функция класса V01(=), т. е. для каждого 69 В.В. Провоторов, Е.Н. Провоторова элемента u 2 b0(=T ) при фиксированном t 2 [0; T ] существует последо-вательность fung функций un(x; t) 2 V01(=), сходящаяся в норме H1(=) к этому следу; в) непрерывны по t в норме H1(=) на [0; T ], т. е. для любого t 2 [0; T ] ku( ; t + t) u( ; t)kH1(=) ! 0 при t ! 0 равномерно на отрезке [0; T ]. Замыкание в норме (12) множества b0(=T ) обозначим через V 10;0(=T ), при этом W01;0(=T ) -- замыкание в норме W 1;0(=T ) множества b0(=T ), элементы которого удовлетворяют только свойству б. Ясно, что V 10;0(=T ) W01;0(=T ) W 1;0(=T ). Пространство V 10;0(=T ) используется при доказательстве разрешимости задачи (3) (8), W01;0(=T ), W 1;0(=T ) и 13. 01(=T ) -- вспомогательные. Замечание 1. Если Y 2 V 10;0(=T ), то Y = 0 на @=, т. е. соотношения (5), (6), (8) следует понимать как условия принадлежности Y простран-ству V 10;0(=T ). Равенство (7) понимается почти всюду на =. Замечание 2. Утверждение леммы 1 остается справедливым и для функций, определенных в области = = = (0; ) и имеющих следы для любого t 2 (0; ), где принимает любое фиксированное значение отрезка [0; T ]. Доказательство этого дословно повторяет приведенное выше. Данное замечание естественным образом приводит к следующему определению решения задачи (3) (8), где исходные данные, т. е. функ-ции f и Y0, подчинены следующим условиям: f(x; t) 2 L2;1(=T ); Y0(x) 2 H(=); (13) здесь L2;1(=T ) пространство, элементы которого принадлежат L1(=T ) L2;1(=T ). конечную норму k f kL2;1(=T ) R 0 R= 2 ( =T ) и имеют = T f2dx 1=2 dt, L Определение. Слабым решением начально-краевой задачи (3) (8) называется пара fY; pg. При этом функция Y (x; t) 2 V01;0(=T ) удовле-творяет интегральному тождеству t (Y (x; t); (x; t)) Z Y (x; ) @ (x; ) dxd + Z0 (Y; ) d = @ =t Z f(x; ) (x; ) dxd = (Y0(x); (x; 0)) + (14) =t 70 Управление линеаризованной системой Навье -- Стокса для любых t 2 [0; T ] и любых (x; t) 2 W01(=T ), а функция p(x; t) при-надлежит классу D0(=T )n. Здесь D0(=T )n -- сопряженное пространство к пространству D(=T )n, элементы D(=T )n суть бесконечно дифференци-руемые в =T функции с компактным носителем из =T (см. аналогичные пространства D(=)n и D0(=)n). Замечание 3. Несмотря на кажущуюся точность, определение ре-шения задачи (3) (8), т. е. пары fY; pg, содержит ярко выраженную осо-бенность (неоднозначность), порожденную вариационной формулиров-кой (14) этой задачи, ¾исключающей¿ функцию p(x; t): нет никаких све-дений относительно функции p(x; t), лишь только соотношение (14), по-этому отыскание функции p(x; t) достаточно с точностью до класса, и именно, p(x; t) 2 D0(=T )n. В приложениях последнее является вполне приемлемым условием, гарантирующим ненулевую динамику жидкости в области =T (во многих прикладных ситуациях p(x; t) -- априори за-данная функция). В связи со сказанным в дальнейшем изложении будет говориться о функции Y (x; t) как о ¾решении¿ задачи (3) (8), суще-ствование же функции p(x; t) и ее принадлежность классу D0(=T )n будет прямым следствием существования Y (x; t) класса V01;0(=T ). Ниже рассматриваются вопросы однозначной слабой разрешимости начально-краевой задачи (3) (8) и приводится последующий анализ за-дачи оптимального управления системой (3) (6), при этом некоторые рассуждения аналогичны приведенным в работах [1, с. 77; 3 5]. = Однозначная слабая разрешимость задачи (3) (8) Идея обоснования наличия единственного слабого решения задачи (3) (8) остается той же, что и в работах [3 5] при анализе аналогич-ных задач с распределенными параметрами на геометрическом графе (сети), однако имеется существенное отличие (в этом и состоит основная сложность): областью изменения пространственной переменной задачи (3) (8) является ограниченная область = евклидова пространства Rn, в е. пространственная переменная является векторной, функция Y (x; t) также является векторной. Последнее привносит дополнительные слож-ности технического характера и прежде всего влияет на структуру и свойства пространств, выбираемых для описания слабых решений зада-чи (3) (8). 71 В.В. Провоторов, Е.Н. Провоторова Доказательство существования слабого решения начально-краевой задачи (3) (8) предварим рассмотрением спектральной задачи в обла-сти = U = U; Uj@= = 0; аналогичной таковой на графе [7], т. е. задачи определения множества таких чисел , каждому из которых соответствует по крайней мере одно нетривиальное решение U(x) 2 V01(=), удовлетворяющее тождеству ((U; )) = (U; ) при любой функции (x) 2 V01(=); здесь через (( ; )) обозначено скаляр-ное произведение вида n @xi ; @xi L2( )n : ((U; )) = i=1 X @U @ = Это означает тот факт, что U(x) есть обобщенная собственная функция класса V01(=), а -- соответствующее ей собственное значение. Остаются справедливыми следующие свойства собственных значений и обобщен-ных собственных функций, аналогичные представленным в работе [2]. Z Собственные значения вещественные и имеют конечную кратность, их можно занумеровать в порядке возрастания модулей с учетом кратностей: f igi>1; соответственно нумеруются и обобщенные соб-ственные функции: fUi(x)gi>1. Z Система обобщенных собственных функций fUi(x)gi>1 образует ор-тогональный базис в пространствах V01(=) и L2(=)n. Замечание 4. Приведенные утверждения остаются справедливыми и для спектральной задачи, где краевое условие Uj@= = 0 заменено на более общее @U @n + Uj@= = 0; где постоянная своя для каждой области @=l \ @=; @U@n -- производная по нормали, направленной внутрь области =. Обобщенная собственная функция в этом случае принадлежит пространству V 1(=) (определение пространства V 1(=) отличается от V01(=) заменой в описании множе-ства краевого условия V j@= = 0 на вышеприведенное общее краевое условие) и удовлетворяет тождеству 72 Управление линеаризованной системой Навье -- Стокса ((U; )) + (U; )@= = (U; ) при любой функции (x) 2 V 1(=); через ( ; )@= обозначено скалярное произведение (9) на @=, -- собственное значение. Теорема 1. Существует по меньшей мере одно слабое решение начально-краевой задачи (3) (8) при произвольном (конечном) T > 0. Доказательство. Воспользуемся системой собственных функций fUi(x)gi>1 как базисом для представления приближения Ym(x; t) реше-ния в виде m X Ym(x; t) = gi m(t)Ui(x) i=1 (скалярные функции gi m(t) абсолютно непрерывны на [0; T ]), удовлетво-ряющего системе @tm ; Ui + (Ym; Ui) = (f; Ui); i = 1; m; t 2 [0; T ]; (15) @Y Ym(x; 0) = Y0 m(x); (16) где Y (x) = P m g0 U (x) (g0 = g (0)), Y (x) ! Y (x) в норме H(=).0 m i=1 i m i i m i m 0 m 0 Система (15), (16) является системой дифференциальных уравнений относительно функций gi m(t) и позволяет определить Ym для любых t 2 [0; T ]. Покажем это, для чего получим априорные оценки норм Ym в 10. 10;0(=T ). Умножая (15) на gi m(t) и суммируя по i = 1; m, получим 1 @ 2 @tkYmkL2 2(=)n +(Ym; Ym) = (f; Ym): (17) Левая часть соотношения (17) равна 12 @t@kYmk2L2(=)n + k(Ym)xk2L2(=)n ; для правой части имеет место оценка (f; Ym) 6 kfkL2(=)n kYmkL2(=)n ; откуда с учетом формулы (17) вытекает неравенство 73 В.В. Провоторов, Е.Н. Провоторова 12 @t@kYmk2L2(=)n + k(Ym)xk2L2(=)n 6 kfkL2(=)n kYmkL2(=)n ; после интегрирования которого по t от 0 до t приходим к неравенству t 1 kYmkL22(=)n + Z0 k(Ym)xkL22(=t)n d 6 2 1 Y ( ; 0) 2 n + f 2 max Y ( ; ) (18) n 6 2k m kL2(=) k kL2;1(=t) 2[0;t] k m kL2(=) для произвольного t 2 [0; T ]. Обозначим через z(t) = max 2[0;t] kYm( ; )kL2(=2 ) и, умножив обе части неравенства (18) на 2, получим в силу kYm( ; 0)kL2(=)n 6 z(t) z2(t) + 2 k(Ym)xkL22(=t) 6 kYm( ; 0)kL2(=)n z(t) + 2kfkL22;1(=t)z(t); из которого вытекают два неравенства: z2(t) 6 J(t); k(Ym)xkL22(=t)n 6 1 J(t) 2 (здесь J(t) = kYm( ; 0)kL2(=)n z(t) + 2kfk2L2;1(=t)n z(t)), из которых следует оценка kYmk2;=t = z(t) + k(Ym)xkL2(=t)n 6 1 + p2 J1=2(t) 6 1 6 1 + p2 kYm( ; 0)kL2(=)n + 2kfkL2;1(=t) 1=2 kYmk21;==2t 1 или для любых t 2 [0; T ] kYmk2;=t 6 1 + p2 2 kYm( ; 0)kL2(=)n + 2kfkL2;1(=t) : (19) 1 m Учитывая соотношение (19) и разложение Y0 m(x) = P gi0mUi(x), i=1 Y0 m(x) ! Y0(x) в норме H(=), имеем kYm( ; 0)kL2(=)n 6 ckY0kL2(=)n (c > 0 -- постоянная, не зависящая от m) и вытекающую из (19) оценку 74 Управление линеаризованной системой Навье -- Стокса kYmk2;=t 6 1 + p2 2 6 (20) ckY0kL2(=)n + 2kfkL2;1(=t) 1 6 C kY0kL2(=)n + 2kfkL2;1(=t) ; где C > 0 -- постоянная, не зависящая от m. Полученная оценка (20) преследует двоякую цель: 1) для любого номера m нормы приближений Ym(x; t) и их обобщенных производных @Ym(x;t) в пространстве H(=) ограничены одной посто- @x янной C, не зависящей от m: kYmkL2(=)n 6 C; @x L2( )n 6 C; (21) @Ym( ; t) = в для любого номера m нормы приближений Ym(x; t) оценивают-ся нормами исходных данных Y0(x), f(x; t) начально-краевой задачи (3) (8). Исходя из этого, воспользуемся известным утверждением для после-довательности fYmgm>1 с ограниченными в совокупности нормами эле-ментов [7, c. 31]: из последовательности fYmgm>1 можно выделить под-последовательность fYmk gk>1, слабо сходящуюся по норме (12) к неко- торому элементу Y 2 V 10;0(=T ) (fYmk gk>1 слабо сходится к Y в L2(=T )n вместе с @Y@xmk ). Покажем, что элемент Y (x; t) является решением задачи (3) (8). Умножим соотношение (15) на абсолютно непрерывную на [0; T ] функцию di(t), просуммируем по i = 1; m, результат проинтегрируем по t от 0 до t: (Ym(x; t); m(x; t)) Z Ym(x; ) @ m(x; ) dxd + @ t =t (22) + Z0 (Ym; m) d = (Y0(x); m(x; 0)) + Z f(x; ) m(x; ) dxd ; =t где m(x; t) = im=1 di(t)Ui(x). (x; t) с произволь- через множество всех функций Обозначим P m ными di(t), обладающими указанными выше свойствами, и произволь-ными натуральными m. Множество плотно в W01(=T ). Это следует из плотности множества fUi(x)gi>1 в V01(=), непрерывности m(x; t) по t в 75 В.В. Провоторов, Е.Н. Провоторова норме H1(=) на [0; T ], принадлежности m(x; t) 2 V01(=) для каждого фиксированного t 2 [0; T ] и определении пространства W01(=T ). Зафиксируем в (22) функцию m(x; t) = m (x; t) 2 : m X m (x; t) = di (t)Ui(x); i=1 по выбранной выше подпоследовательности fYmk gk>1 перейдем к пределу, начиная с номера m > m , прежде всего заметив, что интеграл Rt k Rt 0 (Ymk ; m ) d в силу утверждения леммы 1 сходится к 0 (Y; m ) d . = результате предельного перехода получим соотношение (22) для пре-дельной функции Y (x; t). Следовательно, при (x; t) = m (x; t) в силу плотности множества в W01(=T ) функция Y (x; t) -- слабое решение из V 10;0(=T ) начально-краевой задачи (3) (8). Для завершения доказательства остается показать существование функции p(x; t) 2 D0(=T )n. Это вытекает из следующих соображений. Найденная функция Y (x; t) как слабое решение задачи (3) (8) удовле-творяет тождеству (14) при t = T , а значит, формально положив @Y n @Y Xi f = F; @tY + Yi @xi =1 2 =T n 1 D( )n получим в силу (13) и (14) (F; ) = 0 для любого элемента (D(=T ) плотно в W0(=T ), что означает принадлежность элемента F пространству D0(=T )n) и представление его в виде F = rp, где функ-ция p(x; t) -- некоторый элемент пространства D0(=T )n. Замечание 5. Доказательство теоремы содержит более глубокое утверждение относительно слабого решения Y (x; t): функция Y (x; t) обладает производной @Y (x;t) класса L2(0; T ; V 1(=)) по переменной t, что @t 0 обусловлено представлением элементов Ymk (x; t) подпоследовательности fYmk gk>1 для предельной функции Y (x; t). Покажем, что задача (3) (8) не может иметь двух различных реше-ний класса V01;0(=T ). Если бы существовало два таких решения Y1(x; t) и Y2(x; t), то их разность Y (x; t) = Y1(x; t) Y2(x; t) была бы слабым ре-шением задачи (3) (8) (f(x; t) = 0, Y0(x) = 0) из класса V01;0(=T ). Для решения Y (x; t) как предельного элемента последовательности Ym(x; t) будет справедлива аналогичная (20) оценка с правой частью, равной ну-лю (см. доказательство теоремы 1). Следовательно, Y (x; t) = 0, решения Y1(x; t) и Y2(x; t) совпадают. Таким образом, доказано следующее. 76 Управление линеаризованной системой Навье -- Стокса Теорема 2. Начально-краевая задача (3) (8) имеет единственное слабое решение в пространстве V01;0(=T ). Следствие. Слабое решение начально-краевой задачи (3) (8) непрерывно зависит от исходных данных f(x; t) и Y0(x), что выте-кает из упомянутой оценки (20). Отсюда и из утверждений теорем 1 и 2 следует корректность по Адамару задачи (3) (8). 3. Задача оптимального управления Далее рассматриваются два типа задач оптимального управления, достаточно часто встречающиеся на практике -- распределенное и стар-товое, наблюдение при этом финальное. В первом случае управляющее воздействие присутствует в правой части системы Навье -- Стокса (т. е. определяет плотность внешних сил), во втором -- определяет начальное условие системы при t = 0; в обоих случаях физическая задача состоит в том, чтобы к заданному (финальному) моменту времени t = T разогнать несжимаемую вязкую многофазную среду до заданного векторного поля скорости. Пусть задано пространство управлений (x; t) -- гильбертово про-странство U, V01;0(=T ) -- пространство состояний Y ( ) системы Навье -- Стокса. Отметим, что выбор пространства состояний системы влияет на выбор пространства управлений (и наоборот), в связи с чем для за-дач оптимального распределенного и стартового управлений считаем U подпространством L2(=T )n и L2(=)n соответственно. В обоих случаях наблюдение системы осуществляется на области =T в финальный мо-мент времени t = T (возможны и другие типы наблюдений, например граничное). Пусть C : L2(=T )n ! H -- линейный непрерывный опера-тор (оператор наблюдения, H -- пространство наблюдений (здесь и ни-же H = L2(=)n); случай наличия шума не рассматривается), CY ( ) = и DY ( )(x; T ), D : H ! H -- линейный ограниченный оператор. На за-мкнутом выпуклом множестве U@ пространства U задается требующий минимизации функционал J( ), определяемый с помощью двух операто-ров-- оператора перехода от управления к состоянию Y ( ) и оператора перехода от состояния Y ( ) к наблюдению CY ( ): J( ) = kCY ( ) z0kH2 + (N ; )U = (23) = kDY ( )(x; T ) z0kH2 + (N ; )U; где z0(x; t) 2 L2(=T )n -- заданное наблюдение, N : U ! U -- линейный 77 В.В. Провоторов, Е.Н. Провоторова непрерывный эрмитов оператор, (N ; )U > k kU ( > 0 -- фиксиро-ванная постоянная). Присутствие слагаемого (N ; )U в представлении функционала J( ) гарантирует коэрцитивность квадратичной компонен-ты функционала J(v) [1, с. 13]. Задача оптимального распределенного (или стартового) управления системой Навье-- Стокса состоит в отыскании minv2U@ J(v): Элемент u 2 U@ назовем оптимальным управлением системы, если он достав-ляет минимум функционалу J(v) на множестве U@. Распределенное управление. Пусть задан линейный ограничен-ный оператор B : U ! L2;1(=T ), уравнение (3) принимает вид @Y Y + rp = f + B ; (24) @t состояние fY ( )(x; t); p( )(x; t)g системы (23), (4) (6) определяется сла-бым решением начально-краевой задачи (23), (4) (8), корректность по Адамару последней вытекает из результатов пункта 2. Имеет место непрерывная зависимость состояния Y ( ) от управления (отображение ! Y ( ) -- непрерывное), поэтому применимы результаты теории ми-нимизации положительно определенных квадратичных форм, заданных на замкнутом выпуклом множестве гильбертова пространства [1, гл. I], см. также [3; 4; 8, гл. I]. Дальнейший анализ аналогичен представленно-му в работах [3, 4], где осуществлено изучение вопросов оптимального управления системами с распределенными параметрами на графе (сети). Для системы (24), (4) (6) определим сопряженное состояние !( )(x; t) 2 W01(=T ), !( )(x; T ) = D (DY (T ; ) z0), (D -- оператор, сопряженный к D) как функцию, удовлетворяющую интегральному тож- деству T Z @! )(x; ) (x; )dxd + Z0 ( (!( ); )d = 0 (25) @ =T для любых функций (x; t) 2 W 10;0(=T ) (вариационная формулировка, аналогична (14) и ¾исключает¿ функцию p(x; t)). Для доказательства существования единственного слабого решения !( ) достаточно приме-нить теорему 1, заменив t на T t. При высказанных условиях справедливо приведенное ниже утвер-ждение, аналогичное представленному в теореме 5 из работы [3]. 78 Управление линеаризованной системой Навье -- Стокса Теорема 3. Для того чтобы элемент u(x; t) 2 U@ был оптималь-ным распределенным управлением системы (24), (4) (6), необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись следующие соотношения: t (Y (u)(x; t); (x; t)) Z Y (u)(x; ) @ (x; ) dxd + Z0 (Y (u); )d = @ =t Z = (Y0(x); (x; 0)) + (f(x; ) + Bu(x; )) (x; )dxd =t для любых t 2 [0; T ] и любых (x; t) 2 W01(=T ); T Z @! u)(x; ) Z0 ( (x; )dxd + (!(u); )d = 0 @ =T для любых (x; t) 2 W01;0(=T ); Z (!(u)(x; t) + Nu(x; t)) (v(x; t) u(x; t)) dxdt > 0 (26) =T для любых v 2 U@. V 1;0 (=T ), !(u) 2 W 10(=T ) и !(u)(x; T ) = Здесь Y (u) 2 0 = D [DY (T ; u) z0], x 2 =. Замечание 6. Вариантом распределенного управления является случай точечного управления системой (3) (6), имеющий важное значение для приложений. Правая часть f в (3) заменяется на Pm j(t) j=1 (x xj), (t) = f 1(t); 2(t); : : : ; m(t)g 2 L2(0; T )m, xj 2 Sk =k. Опи-санная таким образом ситуация означает приложение точечных управляющих воздействий в фиксированных точках области =. Состояние Y ( ) определяется в вариационной формулировке как эле-мент пространства V 10;0(=T ), для которого справедливо интегральное тождество t (Y ( )(x; t); (x; t)) Z Y ( )(x; ) @ (x; ) dxd + Z0 (Y ( ); )d = @ =t 79 В.В. Провоторов, Е.Н. Провоторова =t m t X 0 = (Y0(x); (x; 0)) + Z f(x; ) (x; )dxd + j=1 Z j( ) (xj; )d при любых t 2 [0; T ] и любых (x; t) 2 W02;1(=T ). Здесь W02;1(=T ) -- замыкание элементов De(=T )n в норме пространства H2;1(=T ) = g : g; @g ; @2g ; @g 2 L2(=T )n @xj @xi@xj @t (свойства H2;1(=T ) см. в [1, с. 126]). Если граница @=T области =T до-статочно гладкая, сопряженное состояние !( ) является элементом про-странства W02;1(=T ), причем !( )(x; T ) = 0. Стартовое управление. Приведем другой пример управления си-стемой (3)-(6), актуальный на практике при анализе динамики перено-са многофазных сред. Управляющее воздействие (x) 2 U осуществля-ется в начальный момент времени и определяет начальное условие (7) (Y0(x) = (x)): Y (x; 0) = (x); x 2 =: (27) Состояние fY ( )(x; t); p( )(x; t)g системы (3) (6) определяется сла-бым решением Y ( )(x; t) начально-краевой задачи (3) (6), (8), (26) (в интегральном тождестве (14) функция Y0(x) заменяется на (x)) и произвольной функцией p(x; t), принадлежащей классу D0(=T )n. Кор-ректность по Адамару задачи (3) (6), (8), (26), как и в случае распреде-ленного управления, есть следствие результатов раздела 2. Сопряженное состояние !( )(x; t) системы (3) (6) определяется интегральным тожде-ством (26), при этом !( )(x; T ) = D (DY (T ; ) z0), x 2 = (последнее равенство понимается почти всюду на =). Имеет место утверждение, аналогичное приведенному в теореме 7 из работы [4]. Теорема 4. Для того чтобы элемент u(x) 2 U@ был оптимальным стартовым управлением системы (3) (6), необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись следующие соотношения: t (Y (u)(x; t); (x; t)) Z Y (u)(x; ) @ (x; ) dxd + Z0 (Y (u); ) d = @ =t 80 Управление линеаризованной системой Навье -- Стокса Z = (u(x); (x; 0)) + f(x; ) (x; ) dxd =t для любых t 2 [0; T ] и любых (x; t) 2 W01(=T ); T Z @! u)(x; ) Z0 ( (x; ) dxd + (!(u); ) d = 0 @ =T для любых функций (x; t) 2 W 10;0(=T ); Z (!(u)(x; 0) + Nu(x)) (v(x) u(x)) dxdt > 0 (28) = для любых v 2 U@. 1;0 (=T ), !(u) 2 W01(=T ) и !(u)(x; T ) = D [DY (T ; u) Здесь Y (u) 2 V 0 z0], x 2 =. 5. Синтез оптимальных управлений (обратная связь) Задачу синтеза оптимальных управлений рассмотрим для случая от-сутствия ограничений на управление: U@ совпадает с U. Тогда в соотно-шениях (26), (28) можно положить v = u , и в силу произвольности v 2 U они трансформируются в равенства, а значит, для оптимальных распределенного и стартового управлений справедливы равенства !(u)(x; t) + Nu(x; t) = 0; !(u)(x; 0) + Nu(x) = 0; u(x; t) = N 1!(u)(x; t); u(x) = N 1!(u)(x; 0): Таким образом, приходим к выводу, что оптимальное распределен-ное управление определяется из решения системы двух интегральных тождеств (вариационных соотношений) вида Z Y (x; t) (x; t) dx Z Y (x; t) @ (x; t) dxdt + `t(Y; ) = @t t Z f(x; t) (x; t) dxdt = Z Y0(x) (x; h) dx + t 81 В.В. Провоторов, Е.Н. Провоторова Z N 1!(x; t) (x; t) dxdt (29) @ t при любом t 2 [0; T ] и для любой функции (x; t) 2 W01( t); T Z @! u)(x; ) Z0 ( (x; )dxd + (!(u); )d = 0 (30) @ =T для любых функций (x; t) 2 W 10;0(=T ). Оптимальное распределенное управление имеет вид u(x; t) = N 1!(x; t): (31) Для определения оптимального стартового управления имеет место система интегральных тождеств, аналогичная (29), (30), причем u(x) = N 1!(x; 0): (32) Соотношения (31) и (32) осуществляют синтез оптимального распре-деленного и стартового управлений системами (24), (4) (6) и (3) (6) со-ответственно. Оптимальные управления определяются через сопряжен-ные состояния, тем самым осуществляется обратная связь через состоя-ния каждой из систем. Замечание 7. В принятых допущениях возможно установить более глубокие результаты синтеза оптимального управления, обобщающие из-вестные результаты Калмана для ограниченных операторов. Заключение Для линеаризованной системы Навье -- Стокса рассмотрены доста-точно распространенные в приложениях задачи распределенного и стар-тового управлений, получены условия синтеза оптимальных управлений 8.терминах сопряженных состояний систем (24), (4) (6) и (3) (6) и ана-логи (формулы (31) и (32)) известных для конечномерного случая ре-зультатов Калмана. Описанный метод применим и ко многим задачам оптимизации дифференциальных систем, состояния которых определя-ются слабыми решениями эволюционных уравнений на сетях типа изу-ченных в работах [3 5]. В работах [9 11] рассмотрены другие подходы 82 Управление линеаризованной системой Навье -- Стокса при анализе прикладных задач устойчивости решений некоторых клас-сов сложных систем, стабилизации решений [12, 13], имеющие, однако, аналогичную трактовку условий существования оптимального управле-ния. Отметим также, что изучаемая задача допускает в представлении эволюционных систем (3) и (23) особенности в виде стохастической ком-поненты [14] и разрывной нелинейности [15].