Abstract

Abstract

Получены условия разрешимости и оценки решений неявного функционально-диф-ференциального уравнения. Используются результаты о накрывающих отображениях ча-стично упорядоченных пространств.

Full Text

Введение С теории дифференциальных уравнений важное значение имеют оценки решений. Для получения таких оценок часто применяют извест-ную теорему Чаплыгина [1] о дифференциальном неравенстве. Эта тео-рема утверждает, что если функция v удовлетворяет неравенствам v(t) > f(t; v(t)) 8t > t0; v(t0) > x0; то для решения x задачи Коши x = f(t; x) 8t > t0; x(t0) = x0; справедлива оценка x(t) < v(t) при t > t0: ее данной работе предлагается оценка решений неявного функцио-нально-дифференциального уравнения, аналогичная теореме Чаплыги-на. Наше исследование основано на результатах об антитонном возму-щении упорядоченно накрывающего отображения и условиях упорядо-ченного накрывания оператора Немыцкого. Отметим, что аналогичными методами в работе [2] получены оценки решений неявного дифференци-ального уравнения. В Накрывающие отображения упорядоченных пространств Пусть заданы упорядоченные пространства (X; ); (Y; ): Для эле-мента u 2 X обозначим 1Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 17-41-680975р а). 85 И.Д. Серова : OX (u) = fx 2 X : x ug: Отображение G : X ! Y называют изотонным на множестве В X; если для любых x; u 2 V из x u следует G(x) G(u); и антитонным на V X; если для любых x; u 2 V из x u следует G(x) G(u): Определение 1 [3]. Отображение G : X ! Y называется упорядо-ченно накрывающим множество V Y; если если для любого u 2 X выполнено включение OY G(u) \ V G OX (u) : Отметим, что отображение G упорядоченно накрывает множество V тогда и только тогда, когда справедливо соотношение 8 u 2 X 8 y 2 V y G(u) ) 9x 2 X G(x) = y & x u: (1) Рассмотрим уравнение F (x) = y; (2) где y 2 Y , а отображение F : X ! Y представимо в виде F (x) = (x; x); 8x 2 X: Здесь отображение : X2 ! Y по одному аргументу обладает свойством упорядоченного накрывания, а по другому -- монотонности. Следуя работам [2, 3], по отображению : X2 ! Y; множеству U X и элементу y 2 Y определим множество S( ; U; y) всех цепей S U, таких что имеют место соотношения 8 x 2 S (x; x) y; 8 x1; x2 2 S x1 x2 ) (x1; x2) y: Утверждение о существовании и оценках решений уравнения (2) по-лучено Е.С. Жуковским в статье [2]. Приведем несколько менее общее утверждение из работы [4]. Теорема 1. Пусть существует такой элемент u0 2 X; что 86 Об оценках решения дифференциального уравнения (u0; u0) y; (3) к выполнены условия: при любом x 2 OX (u0) отображение ( ; x) : X ! Y упорядочен-но накрывает множество V = fyg; при любом x 2 OX (u0) отображение (x; ) : X ! Y является антитонным на OX (u0); В любая цепь S 2 S ; OX (u0); y ограничена снизу, и существу-ет ее нижняя граница ! 2 X, удовлетворяющая неравенству (!; !) y: Тогда множество решений уравнения (2) не пусто, в нем существует минимальный элемент, который принадлежит OX (u0). Через W = W ([a; b]; Rm) обозначим пространство всех измеримых функций x : [a; b] ! Rm; через L1 = L1([a; b]; Rn) -- банахово про-странство существенно ограниченных функций x : [a; b] ! Rn с нормой kxk = vrai supt2[a; b]jx(t)jRn : Для множества B Rn обозначим че-рез L1(B) = L1([a; b]; B) подмножество пространства L1, содержащее функции со значениями x(t) 2 B; t 2 [a; b]. В перечисленных множе-ствах измеримых функций считаем, что задан ¾обычный¿ порядок, т. е. для функций x; u полагаем x 6 u; если x(t) 6 u(t) при п. в. t 2 [a; b]: Пусть заданы число r > 0; удовлетворяющая условиям Каратеодори функция g : [a; b] Rn ! Rm и измеримая функция y : [a; b] ! Rm. Обозначим через gr сужение функции g на множество [a; b] Br; где множество Br =: fx 2 Rn : jxj 6 rg -- шар в пространстве Rn с центром в 0 и радиуса r. Определим соответствующий оператор Немыцкого Ngr : L1(Br) ! W; (Ngr x)(t) = gr t; x(t) ; t 2 [a; b]: Теорема 2. Если при п. в. t 2 [a; b] функция gr t; ) : Br ! Rm упо-рядоченно накрывает одноточечное множество fy(t)g Rm, то соот-ветствующий оператор Немыцкого Ngr : L1(Br) ! W упорядоченно накрывает множество fy( )g W . Доказательство. Пусть для некоторой функции u 2 L1(Br) выполнено Ngr u > y: Это неравенство означает, что gr t; u(t) > y(t) для п. в. t 2 [a; b]: Так как g t; ) упорядоченно накрывает одното- r 2 U(t) = (u(t)) Brf: g , то y(t) 2 [a; b], где чечное множество y(t) gr t; U(t)) для п. в. t O T 87 И.Д. Серова По теореме Филиппова (см., напр., [5, п. 1.5.2]), существует измеримая функция x : [a; b] ! Rn, такая что x(t) 2 U(t); gr t; x(t)) = y(t) при п. в. и 2 [a; b]; т. е. имеют место соотношения Ngr x = y и x 2 L1(B): Таким образом, оператор Ngr упорядоченно накрывает множество fy( )g: Я Неявные функционально-дифференциальные уравнения Здесь на основании теорем 1 и 2 предлагается утверждение о суще-ствовании и оценках решений задачи Коши для неявного функциональ-но-дифференциального уравнения. Обозначим через AC1 = AC1([a; b]; Rn) пространство таких абсо-лютно непрерывных функций x : [a; b] ! Rn; что x 2 L1; через AC1 Br) = AC1 [a; b]; Br) -- подмножество AC1; содержащее функции x : [a; b] ! Rn; производная которых x 2 L1(Br); т. е. jx(t)j 6 r при п. в. t 2 [a; b]: R n R k R n ! R m , K : k n n ! R Пусть заданы функции f : [a; b] R ; где = f(t; s) : a 6 s 6 t 6 bg; и вектор = ( 1; : : : ; n) 2 R : Рассмотрим задачу Коши для уравнения вида f t; x(a); Z t a K(t; s)x(s)ds; x(t) = 0; t 2 [a; b] (4) с начальным условием x(a) = : (5) уравнению (4) сводятся многие функционально-дифференциаль-ные уравнения, в том числе обыкновенное дифференциальное уравнение, уравнения с сосредоточенным и распределенным запаздыванием [6]. Уравнение (4) можно рассматривать не только на всем [a; b]; но и на любом отрезке [a; a + ] [a; b]; таким образом, решением (4) будем счи-тать функцию x 2 AC1([a; a + ]; Rn); удовлетворяющую этому уравне-нию при п. в. t 2 [a; a + ]: Сформулируем утверждение о существовании 6) оценке таких решений, аналогичное теореме Чаплыгина. Теорема 3. Пусть для некоторой функции v0 2 AC1; удовлетво-ряющей начальному условию v0(a) = ; справедливо неравенство f t; v0(a); Z t aK(t; s)v0(s)ds; v0(t) > 0 при п. в. t 2 [a; b]: (6) Пусть выполнены условия: 88 Об оценках решения дифференциального уравнения (d) функция f( ; ; v; u) : [a; b] ! Rm измерима при любых v 2 Rk; u 2 Rn; . при п. в. t 2 [a; b] и любых v 2 Rk функция f(t; ; v; ) : Rn ! Rm непрерывна и ее сужение fr0 (t; ; v; ) : Br0 ! Rm на шар Br0 Rn с центром в 0; некоторого радиуса r0 > vrai supt2[a; b]jv0(t)jRn упорядоченно накрывает одноточечное множество f0g Rm. . существует такое > 0, что при п. в. t 2 [a; b] и любых u 2 Rn функция f(t; ; ; u) : Rk ! Rm по каждому аргументу vi 2 R; i = 1; k; не возрастает на отрезке [ ; ] и непрерывна справа; в матрица-функция K : ! Rk Rn измерима, имеет неот-рицательные компоненты, и существует такая неотрицатель-ная суммируемая на [a; b] функция K : [a; b] ! R; что при п. в. (t; s) 2 имеет место неравенство jK(t; s)jRk Rn 6 K(s). Тогда существует 0 2 (0; b a] и решение x 0 2 AC1([a; a + 0]; Br0 ) задачи (4), (5), удовлетворяющее неравенствам x 0 (t) 6 v0(t); jx 0 (t)jRn 6 r0 при п. в. t 2 [a; a + 0]: (7) Доказательство. Запишем задачу (4), (5) в виде операторного уравнения (2) относительно производной решения рассматриваемой за-дачи (4), (5). Такое представление позволит воспользоваться теоремой 1 для доказательства данного утверждения. Определим функции : R R; (x) = 8 ; если x > ; ! : < x; если x 2 [ ; ]; 10. ; если x < ; k : Rk ! Rk; k(x1; : : : ; xk) =: (x1); : : : ; (xk) ; 'r0 : [a; b] Rk Br0 ! Rm; 'r0 (t; v; u) =: fr0 t; ; k(v); u : Функция 'r0 по первому аргументу t 2 [a; b] измерима, по третьему аргу-менту u 2 Br0 непрерывна и накрывает f0g Rm; по каждой компонен-те vi 2 R; i = 1; k; второго аргумента v 2 Rk не возрастает на всем R и непрерывна справа. Определим соответствующий функции 'r0 оператор Немыцкого: : N'r0 : L1(Br0 ) L1 ! W; N'r0 (u; v) (t) = 'r0 t; v(t); u(t) ; t 2 [a; b]: 89 И.Д. Серова Из предположения (e) согласно теореме 2 получаем, что при любом x 2 L1 отображение N'r0 ( ; x) упорядоченно накрывает f0g W: В силу предположения (f) отображение N'r0 (u; ) является антитонным. Из условия (g) следует, что для любой функции v 2 L1(Br0 ) функ- ция a( ) K( ; s) v(s) ds измерима и ограниченаt непрерывнойt функцией, а именно, выполнено неравенство a K(t; s) v(s) ds R k 6 r 0 a K (s) ds: От- R t R K ( ) интеграла (s) ds следует соотношение сюда в силу непрерывности R Z a R 9 0 > 0 8v 2 L1(Br0 ) a K(t; s) v(s) ds Rk 6 (8) при п. в. t [a; a + 0 ]: 2 Условие (g) обеспечивает изотонность интегрального оператора Вольтер-ры H : L1(Br0 ) ! L1; (Hv)(t) =: Z t a K(t; s) v(s) ds; t 2 [a; b]: Рассмотрим уравнение N'r (u; Hu) = 0: (9) 0 Для доказательства разрешимости уравнения (9) определим отображе-ние : : L1(Br0 ) L1(Br0 ) ! W; (u1; u2) = N'r0 (u1; Hu2) и покажем, что это отображение удовлетворяет условиям теоремы 1. Из предположения (6) следует неравенство (v0; v0) > 0; т. е. выполнено условие (3), где u0 = v0 2 L1(Br0 ). Из установленных выше свойств операторов N'r0 ; H прямо следует, что для отображения выполнены условия (a) и (b) теоремы 1. Зададим цепь S L1(Br0 ), такую, что для любого u 2 S выполнено (u; u) = N'r (u; Hu) > 0: Любая ограниченная в L 1 цепь обладает 0 : точной нижней границей, поэтому существует ! = inf S: Выделим убы- вающую последовательность fuig S такую, что inffuig = inf S = ! [7, гл. IV, §11, следствие 7]. Следовательно, при п. в. t 2 [a; b] справед-ливо !(t) = inffui(t)g = limi!1 ui(t): В силу невозрастания функции 'r0 (t; ; u) и неотрицательности компонент функции K получаем N'r0 (ui; H!) > N'r0 (ui; Hui) > 0: Поскольку функция 'r0 (t; v; ) непрерывна, при п. в. t 2 [a; b] выполнено соотношение 90 Об оценках решения дифференциального уравнения N 'r0 ( !; H! ) ( ) = ' r0 ( H! )( ) ( ) = i!1 ' r0 i (t) > 0: t t; t ; ! t lim t; (H!)(t); u Итак, условие (c) теоремы 1 также выполнено. Из теоремы 1 следует, что существует решение z 2 L1([a; b]; Br0 ) уравнения (9), удовлетворяющее неравенству z(t) 6 v0(t) для п. в. t 2 [a; b]: Согласно (8) при t 2 [a; a + 0] выполнено Z t K(t; s) z(s) ds Rk 6 (Hz)(t) = a k 2 t = (Hz)(t): Поэтому при п. в. t [a; a + 0] и, следовательно, (Hz)(t) f t; ; ZaK(t; s)z(s)ds; z(t) = t = 'r0 t; k ZaK(t; s)z(s)ds ; z(t) = 0: : + t z(s)ds; Полученное соотношение означает, что функция x (t) = Rиa определенная на [a; a + 0], является решением задачи0 (4), (5), это решение удовлетворяет неравенствам (7). Следствие 1. Пусть выполнены все условия теоремы 3, и, кроме того, функция f(t; ; ; u) : Rk ! Rm по каждому аргументу vi 2 R; i = 1; k; не возрастает на всем R: Тогда существует определенное на всем [a; b] решение x 2 AC1([a; b]; Br0 ) задачи (4), (5), удовлетворяющее неравенствам x(t) 6 v0(t); jx(t)jRn 6 r0 при п. в. t 2 [a; b]: Приведем пример, иллюстрирующий применение теоремы 3 и ее след-ствия к исследованию конкретных уравнений. Пример 1. Обозначим 1; если v > 0; : R ! R; (v) = 0; если v < 0: Пусть заданы > 0; 2 R; y 2 L1([0; T ]; R): Рассмотрим задачу Коши x2 + x 2 = y(t); t 2 [0; T ]; x(0) = : (10) t Докажем, что если для некоторой функции v0 2 AC1([0; T ]; R) вы-полнены условия 91 И.Д. Серова v_02 +v0 2 6 y(t); t 2 [0; T ]; v0(0) = ; (11) t то существует такое решение x 2 AC1([0; T ]; R) задачи (10), что jx(t)j 6 r0 =: vrai sups2[0;T ] maxfy(s); p x(t) 6 v0(t); t 2 [0; T ]: y(s)g; Отметим, что из (11) следует неотрицательность функции y: Перепишем задачу (10) в виде + y(t) = 0; t 2 [0; T ]: x2+ Z 02 x(s) ds! (12) t Зададим функцию : [0; T ] R R ! R; f(t; u; v) = u2 (v) + y(t) 14. проверим выполнение условий теоремы 3 и следствия 1. Очевидно, функция f( ; u; v) измерима, так как y( ) -- измеримая функция. Функция f(t; ; v) не возрастает и непрерывна справа. Проверим, что сужение fr0 (t; x; ) функции f(t; x; ) на отрезок [ r0; r0] упорядоченно накрывает множество f0g: Если для некоторо-го u0 2 [ r0; r0] имеет место неравенство u20 (v) + y(t) > 0, то y(t) (v) > 0 и p p y(t) (v) 6 u0 6 y(t) (v): p Для u = y(t) (v) получаем u2 (v) + y(t) = 0; u 2 [ r0; r0]; u 6 u0: Таким образом, соотношение (1) выполнено. Условие (6) прямо следует из (11). Последнее условие (g) теоремы 3 также, очевидно, выполнено, так как в данном случае функция ( 1; если s 2 [0; t ]; K(t; s) = 2 0; если s 2 [ t ; t]; 2 при всех t, s удовлетворяет неравенствам 0 6 K(t; s) 6 K(s); где K(s) 1. 92