Abstract

Abstract

Для задачи Коши, связанной с управляемым полулинейным дифференциально-опе-раторным уравнением в банаховом пространстве, получены условия тотального (по мно-жеству допустимых управлений) сохранения глобальной разрешимости при варьирова-нии управлений в правой части.

Full Text

Введение Тотальное сохранение глобальной разрешимости (ТСГР)-- это свой-ство управляемой системы сохранять глобальную разрешимость для всех допустимых управлений. Для неэволюционных систем аналогично вво-дится понятие тотального сохранения разрешимости (ТСР). Понятие ТСГР было введено в работе [1]. Отметим, что нарушение глобальной разрешимости эволюционной управляемой системы весьма вероятно, когда порядок роста правой части соответствующего диффе-ренциального уравнения по фазовой переменной превышает линейный. Убедительные примеры на этот счет см. в работах [2, пример к тео-реме 2.2, с. 87, 88; § 4, с. 95 -- 100; 3, § 1; 4, введение, п. 2]. При отсут-ствии информации о сохранении однозначной глобальной разрешимости при варьировании оптимального управления, в частности при выводе необходимых условий оптимальности, обычно переходят к рассмотрению пар ¾управление -- состояние¿ (см., например, [5; 6, гл. 2]. При наличии информации о сохранении однозначной глобальной разрешимости есте-ственно использовать альтернативный подход, основанный на рассмот-рении функционалов оптимизационной задачи как функций, зависящих только от управлений, опираясь (при исследовании различных вопросов) на соответствующие теоремы функционального анализа или их обобще-ния (см., например, [3, 7, 8]). В рамках этого подхода свойство ТСГР 1Работа выполнена при финансовой поддержке МОН РФ в рамках проектной части государственного задания в сфере научной деятельности в 2014 2016 гг. (проект № 1727) и гранта (соглашение от 27.08.2013 г. № 02.В.49.21.0003 между МОН РФ и ННГУ). 94 О тотальном сохранении глобальной разрешимости (в совокупности со свойством единственности решения) представляется интересным для изучения тем, что позволяет, например, сделать следу-ющее (здесь мы, в основном, следуем работе [9]). ее Упростить корректный выбор начального приближения при численном решении задач оптимального управления итерационны-ми методами. Отметим, что при отсутствии ТСГР и выборе начально-го приближения наудачу функционалы задачи (рассматриваемые как функции управления) сразу могут оказаться не определены (и итера-ционный процесс закончится, не начавшись). При наличии ТСГР такая ситуация невозможна. ее Применить технику параметризации управления для чис-ленного решения задач оптимального управления. Суть этой техники, известной своей эффективностью, состоит в следующем (см., например, [10 13]). За счет дискретизации управления функционалы оптимизаци-онных задач преобразуются в функции многих переменных, заданных (за счет ТСГР) на известном множестве допустимых параметров ап-проксимации (как правило, достаточно простой структуры). Сама опти-мизационная задача тем самым преобразуется в конечномерную задачу математического программирования -- аппроксимирующую задачу, для решения которой используется любой подходящий метод конечномерной оптимизации. При отсутствии ТСГР информация об области определе-ния функций аппроксимирующей задачи оказывается недоступной. На-личие ТСГР позволяет получать ответы на некоторые важные вопросы. Если, например, множество допустимых конечномерных аппроксимаций управления (точнее, наборов параметров аппроксимации) компактно, а функциональные ограничения на этом множестве непротиворечивы (сов-местны), и удалось доказать непрерывность функций аппроксимирую-щей задачи, то непосредственно из классической теоремы Вейерштрасса следует существование глобального решения в такой задаче. При этом для его отыскания можно (при определенных обстоятельствах) исполь-зовать конечномерные методы глобальной оптимизации (см., например, [14]). Разумеется, на этом пути возникают также и другие вопросы -- гладкость функций и липшицевость градиентов аппроксимирующей за-дачи, разработка быстрых алгоритмов вычисления таких градиентов, сходимость аппроксимирующих задач к исходной оптимизационной зада-че, сходимость решений аппроксимирующих задач к решению исходной задачи, проблема понижения размерности аппроксимирующих задач (в частности, за счет использования подвижных, управляемых сеток), схо-димость тех или иных численных методов конечномерной оптимизации 95 А.В. Чернов для таких задач, постановка и проведение численных экспериментов и т.д. Однако такие вопросы автором успешно исследовались как раз на основе предположения о ТСГР (и о равномерной оценке решений в том или ином смысле) (см., например, [12, 13, 15, 16]). В работе [13], в частно-сти, был приведен достаточно показательный пример вычислительного характера, иллюстрирующий влияние наличия и отсутствия ТСГР на успешность численного решения оптимизационной задачи. Применять конечномерные топологические теоремы к ис-следованию проблемы поточечной управляемости. За счет дис-кретизации управлений эту проблему можно свести к вопросу о разре-шимости конечной системы нелинейных уравнений, где в качестве левых частей выступают исходные функционалы, преобразованные в функции многих переменных (параметров аппроксимации), заданные, например, на параллелепипеде (если множество допустимых значений управления В исходной задаче было прямоугольно и использовались кусочно-посто-янные аппроксимации). Если доказана непрерывность этих функций (и область, на которой они рассматриваются, имеет определенную геомет-рическую структуру, например, гомеоморфна шару, в частности, являет-ся параллелепипедом), то разрешимость системы можно устанавливать с помощью соответствующих топологических теорем (Брауэра, Хопфа, Борсука -- Улама и т.д.) (см., например, [17]). Ставить и исследовать игровые задачи, связанные с урав-нениями в частных производных. Действительно, даже в сосредо-точенном случае традиционно используются предположения, обеспечи-вающие ТСГР (см., например, [18, с. 236]). И это неслучайно, поскольку при отсутствии такого предположения сама постановка игровой зада-чи в известной мере утрачивает смысл, так как непонятно, как опреде-лить стратегии игроков, если мы не знаем, какими управлениями можно пользоваться, а какими -- нельзя. Предположение о наличии ТСР/ТСГР использовалось автором в основном при постановке таких задач и дока-зательстве существования равновесия в них (см., например, [19 22]). В данной статье для задачи Коши, связанной с управляемым полу-линейным дифференциально-операторным уравнением в банаховом про-странстве, аналогичного уравнению из [23, гл. V, §1], устанавливаются достаточные условия тотального сохранения глобальной разрешимости, а также единственность глобального решения. Ранее (см., например, [1, 4, 24 34]) при исследовании вопроса сохранения глобальной разреши-мости управляемых распределенных систем использовался метод, осно-ванный на сведении таких систем к функционально-операторному (опе- 96 О тотальном сохранении глобальной разрешимости раторному) уравнению в лебеговом (или более общо -- в банаховом иде-альном) пространстве измеримых функций, с последующим применени-ем соответствующих абстрактных результатов. В частности, при уста-новлении признаков ТСГР для эволюционных систем использовалась идея мажоризации (или миноризации и мажоризации) (см., например, [1, 31, 32, 34]). Здесь мы показываем, что сведение управляемой распре-деленной системы к дифференциально-операторному уравнению в бана-ховом пространстве позволяет получить мажорантный признак ТСГР, имеющий тем не менее принципиальные отличия. Во-первых, на этот раз не требуется изотонности разрешающего оператора соответствующей ли-нейной задачи. Во-вторых, в роли мажорантной задачи выступает задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения в пространстве R (а не начально-краевая задача для уравнения в частных производных, родственная исходной, и не абстрактное дифференциально-операторное уравнение). В-третьих, решение управляемой системы можно понимать к более сильном смысле (как решение в пространстве C1([0; T ]; X), где X -- некоторое банахово пространство). Теорема о тотальном сохране-нии глобальной разрешимости доказывается путем последовательного продолжения решения уравнения вдоль временной шкалы подобно тому, как ранее использовалось продолжение вдоль вольтерровой цепочки опе-ратора правой части уравнения типа Гаммерштейна, представляющего исследуемую управляемую систему. 1. Формулировка основных результатов Отправным пунктом нашего исследования является дифференциаль-но-операторное уравнение [23, гл. V, § 1]: x0(t) + G(t)x(t) = z(t); t 2 [0; T ]; x(0) = a: (1) Здесь T > 0 -- заданная константа; a 2 X; X -- вещественное банахово пространство с нормой k k; G = fG(t)g, t 2 [0; T ],-- некоторое семейство (вообще говоря, нелинейных) операторов G(t) : X ! X; z : [0; T ] ! X. При этом предполагаются выполненными следующие условия: G1. Для всех x 2 X функция t ! G(t)x, определяемая для t 2 [0; T ], принадлежит пространству C([0; T ]; X). G2. Операторы G(t) : X ! X из семейства G равномерно относительно t 2 [0; T ] липшиц-непрерывны. Иначе говоря, существует не зави- 97 А.В. Чернов сящая от t постоянная Липшица L такая, что для всех x; y 2 X выполняется условие Липшица: kG(t)x G(t)yk 6 L kx yk. Как показано в работе [23, гл. V, §1, лемма 1.1], при выполнении усло-вий G1, G2 имеем: Gx 2 C([0; T ]; X) для всех x 2 C([0; T ]; X). Кроме того (см. [23, гл. V, § 1, теорема 1.1]), для любых z 2 C([0; T ]; X), a 2 X задача (1) имеет единственное решение в пространстве C1([0; T ]; X). В отличие от [23, гл. V, § 1], мы далее будем считать операторы G(t) линейными, зато в правую часть добавим зависимость от фазовой пере-менной, а также от управления, а именно будем рассматривать полули-нейный управляемый аналог уравнения (1): x0(t) + G(t)x(t) = f[u] t; x(t) ; t 2 [0; T ]; x(0) = a: (2) Здесь u 2 U -- управление из, вообще говоря, произвольного множе-ства U, и предполагается, что для каждого u 2 U определена функция f[u](t; ) : [0; T ] X ! X, обладающая следующими свойствами: F1. Для всех u 2 U, x 2 C([0; T ]; X) функция t ! f[u] t; x(t) , опре-деляемая для t 2 [0; T ], принадлежит пространству C([0; T ]; X). F2. Существует функция N1(t; r) : [0; T ] R+ ! R+, неубывающая по и и суммируемая по Лебегу по t, такая, что f[u](t; ) 6 N1(t; M) для всех t 2 [0; T ], M > 0, 2 X, k k 6 M, u 2 U. F3. Существует функция N2(t; r) : [0; T ] R+ ! R+, неубывающая по r и суммируемая по Лебегу по t, такая что f[u](t; ) f[u](t; ) 6 N2(t; M) k k для всех t 2 [0; T ], M > 0, ; 2 X, k k; k k 6 M, u 2 U. Теорема 1.1. Пусть элемент a 2 X и семейство линейных опера-торов G, удовлетворяющее условиям G1, G2, произвольно фиксирова-ны, а правая часть удовлетворяет условиям F1 F3. Тогда справедливо следующее утверждение. Пусть x0 -- решение уравнения (2) при f 0, причем x0(t) 6 (t) 8t 2 [0; T ], где функция (t) непрерывна на [0; T ]. Предположим, что задача Коши d (t) = eLT N1 t; (t) + (t) ; t 2 (0; T ]; (0) = 0; (3) dt имеет решение -- неотрицательную абсолютно непрерывную функцию (t), t 2 [0; T ]. Тогда для любого u 2 U задача (2) имеет решение 98 О тотальном сохранении глобальной разрешимости x 2 C1 [0; T ]; X , удовлетворяющее оценке x(t) 6 x0 (t) + (t), Я 2 [0; T ]. Доказательство теоремы 1.1 см. в разделе 2. Теорема 1.2. Пусть элемент a 2 X и семейство линейных опера-торов G, удовлетворяющее условиям G1, G2, произвольно фиксирова-ны, а правая часть удовлетворяет условиям F1, F3. Тогда, каково бы ни было u 2 U, задача (2) не может иметь более одного решения. Доказательство теоремы 1.2 см. в разделе 2. 2. Доказательство основных результатов Прежде всего докажем следующее вспомогательное утверждение. Лемма 2.1. Пусть x = xi -- решение задачи (1) при a = ai, z = zi, i = 1; 2. Тогда справедлива оценка: n t o x1 (t) x2(t) 6 eLt 0 z1(s) z2 Доказательство. Решение x = xi удовлетворяет тождеству t 0 t 2 [0; T ]: xi(t) = ai Z G(s)xi(s) zi(s) ds; Отсюда, а также в силу условия G2 и свойств интеграла Бохнера, полу-чаем: x1(t) x2 (t) 6 k a1 a2 k + t z1 (s) z2(s) ds + Z 0 t 6 + G(s)x1 (s) G(s)x2(s) ds Z 0 t t ds 6 0 z1(s) z2(s) 0 6 ka1 a2k + Z ds + Z G(s)x1(s) G(s)x2(s) 99 А.В. Чернов t t 0 z1(s) z2(s) ds + L 0 ds: 6 ka1 a2k + Z Z x1(s) x2(s) Теперь непосредственно из леммы Гронуолла получаем доказываемое неравенство. В частности, при x1 = x, a1 = 0, z1 = z, a2 = 0, z2 = 0 получаем x(t) t z(s) t z(s) ds 8t 2 [0; T ]: 6 eLt Z ds 6 eLT Z 0 0 Доказательство теоремы 1.1. Зафиксируем произвольно u 2 U и покажем, что задача (2) имеет решение. Для этого достаточно доказать разрешимость следующей задачи: y0(t) + G(t)y(t) = f[u] t; x0(t) + y(t) ; t 2 [0; T ]; y(0) = 0: (4) Действительно, если y -- решение задачи (4), то с учетом линейности операторов G(t) получаем, что x = x0 + y -- решение задачи (2): x0(t) + G(t)x(t) = x00(t) + G(t)x0(t) + y0(t) + G(t)y(t) = f[u] t; x(t) : По условию, функции (t), (t) непрерывны на [0; T ], поэтому согласно теореме Вейерштрасса найдется константа M > 0, такая что 0 6 (t) + (t) 6 M 8t 2 [0; T ]: Пусть число > 0 таково, что (с учетом абсолютной непрерывности интеграла Лебега) eLT Z N2(t; M) dt 6 1 (5) 2 h при любом измеримом h [0; T ], mes h 6 . Выберем произвольное разбиение отрезка [0; T ] вида 0 = t0 < t1 < : : : < tk = T; jti ti 1j 6 ; i = 1; k: Будем рассматривать локальные аналоги задачи (4): 100 0. Если же (ti 1) > 0, то можно взять (t) = О тотальном сохранении глобальной разрешимости y0(t) + G(t)y(t) = f[u] t; x0(t) + y(t) ; t 2 [0; tj]; y(0) = 0: (6) Разрешимость задач (6) будем доказывать индукцией по j = 1; k (при j = 0 решение очевидно: y = y0 = 0). 1 Предположим, мы уже доказали существование функции y = yi 1 2 i 1 6 2 i 1 1 C [0; ti 1]; X , являющейся решением задачи (6) при j = i 1 и удовлетворяющей оценке y (t) (t) для всех t [0; t ]. Исходя из этого предположения, докажем существование функции y = y i 2 C [0; t ]; X , (6) j = i i при и удовлетворяющей оценке являющейся решением задачи yi(t) 6 (t) 2 8t 2 [0; ti]: (7) Y множество всех y Определим i как i y(t) 6 (t) 8t 2 [ti 1; ti]; y t2[0; ti 1] yi 1: Отметим, что множество Yi непусто, так как содержит функцию ( yi 1(t); t 2 [0; ti 1]; y(t) = где функция (t) неотрицательна, непрерывна на [ti 1; ti] и такова, что (ti 1) (ti 1) = (ti 1); (t) (ti 1) 6 (t) 8t 2 (ti 1; ti]: В частности, если (ti 1) = 0, то ясно, что y(ti 1) 0, и можно взять (t) (ti 1), t 2 [ti 1; ti]. i , где 2 i -- с помощью формулы Определим оператор F : Y ! C [0; t ]; X 1 i i i F [y] = C [0; t ]; X решение задачи Коши 0(t) + G(t) (t) = z(t); t 2 [0; ti]; (0) = 0; вия 2 и при z(t) = f[u] t; x0(t) + y(t) . В силу неравенства (2) (при x = ), усло- F определения функции (t) как решения задачи (3) получаем: t t (t) 6 eLT Z kz(s)k ds 6 eLT Z N1 s; (s) + (s) ds = (t); t 2 [0; ti]: 0 0 Заметим, что при t 2 [0; ti 1] имеем z(t) = f[u] t; x0(t) + yi 1(t) . По построению, а также в силу единственности решения задачи вида (1) 101 А.В. Чернов получаем, что (t) = yi 1(t), t 2 [0; ti 1]. Таким образом, 2 Yi. Иными словами, Fi : Yi ! Yi. Установим сжимаемость оператора Fi. Выберем произвольно y; y 2 Yi. В соответствии с леммой 2.1, определением оператора Fi, услоe 3 , а также неравенством (5) получаем оценку вием F ti f[u](s; x0(s) + y(s)) f[u](s; x0(s) + y(s)) ds = Fi[y] Fi[y] 6 eLT Z e 0 e ti = eLT Z f[u](s; x0(s) + y(s)) f[u](s; x0(s) + y(s)) ds 6 ti 1 e ti 6 eLT Z N2 s; (s) + (s) ds y(s) y(s) 6 ti 1 ti e 1 6 eLT Z N2 s; M ds y y 6 y y : C [0; ti];X 2 C [0; ti];X ti 1 e e По принципу сжимающих отображений заключаем, что уравнение y = Fi[y]; y 2 Yi; имеет единственное решение на множестве Yi. Это означает, что суще-ствует функция y = yi 2 C1 [0; ti]; X , являющаяся решением задачи (6) при j = i и удовлетворяющая оценке (7). По индукции делаем вывод, что аналогичное утверждение справедливо и при j = k. А это, в свою оче-редь, означает, что задача (2) имеет решение x = x0 + yk 2 C1 [0; T ]; X , удовлетворяющее оценке x(t) 6 x0 (t) + yk(t) 6 x0 (t) + (t); t 2 [0; T ]: Замечание 1. Из анализа доказательства видно, что в качестве функции (t) можно было взять решение интегрального уравнения t (t) = eLt Z N1 s; (s) + (s) ds; t 2 [0; T ]: 0 Доказательство теоремы 1.2. Рассуждая от противного, предпо-ложим, что существуют два решения x = x1 и x = x2. Положим 102 О тотальном сохранении глобальной разрешимости n o M = max kx1kC [0; T ]; X ; kx2kC [0; T ]; X ; = x2 x1: Пусть число > 0 таково, что (с учетом абсолютной непрерывности интеграла Лебега) выполнено неравенство (5). Выберем произвольное разбиение отрезка [0; T ] вида 0 = t0 < t1 < : : : < tk = T; jti ti 1j 6 ; i = 1; k: Ясно, что (t0) = (0) = 0. Предположим, мы уже доказали, что (t) 0 при t 2 [0; ti 1]. Исходя из этого предположения, докажем, что (t) 0 при t 2 [0; ti]. Согласно лемме 2.1, условию F3 и выбору разбиения и числа (т. е. неравенству (5)) имеем (t) 6 eLT Zti f[u] s; x2(s) f[u] s; x1(s) ds = 0 ti ti = eLT ti 1 ds 6 eLT ti 1 Z f[u] s; x2(s) f[u] s; x1(s) Z N2(s; M) (s) ds 6 ti 1 6 eLT Z N2(t; M) dt 6 ; t 2 [ti 1; ti]: C [ti 1; ti]; X C [ti 1; ti]; X 2 ti 1 Следовательно, 1 6 0, откуда (t) 0 при t 2 [ti 1; ti]. C [ti 1;ti];X 2 0 при t 2 [0; t ]. По индукции Согласно предположению индукции (t) i делаем вывод, что (t) 0 при t 2 [0; tk] = [0; T ]. 3. Некоторые вспомогательные утверждения Для того чтобы можно было перейти к рассмотрению примера кон-кретной начально-краевой задачи, нам понадобятся несколько вспомо-гательных утверждений. Первое из них известно как теорема Ф. Рисса 7) представлении линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве (см., например, [35, § 5.7, теорема 5.7, с. 83; 36, III, 6, с. 132]). Лемма 3.1. Пусть на гильбертовом пространстве H задан линей-ный непрерывный функционал F . Тогда существует однозначно опреде-ленный элемент ' 2 H, такой, что F [!] = ('; !) 8 ! 2 H; kF k = k'k. 103 А.В. Чернов Следующее утверждение известно как теорема Лакса -- Мильграма (см., например, [35, § 5.8, теорема 5.8, с. 84]). Лемма 3.2. Пусть H -- вещественное гильбертово пространство; B : H H ! R -- билинейная форма, которая является ограниченной и коэрцитивной, т. е. существуют константы 1, 2 > 0, такие, что B[x; y] 6 2kxk kyk; B(x; x) > 1kxk2 8x; y 2 H: Тогда для любого 2 H существует единственный элемент x 2 H, такой что B[x; ] = . Следующее утверждение является, по сути дела, аналогом утвержде-ния [36, III, 7, с. 134], являющегося специальным вариантом теоремы Лакса-- Мильграма (но в другой, неудобной для нас формулировке и для комплексного случая). Во избежание возможных недоразумений сопро-водим его собственным (более простым) доказательством, опирающимся непосредственно на леммы 3.1 и 3.2 (в отличие от работы [36]). Лемма 3.3. Пусть выполнены условия леммы 3.2. Тогда существу-ет сильно положительно определенный, линейный ограниченный опера-тор S : H ! H, взаимно однозначно обратимый на всем пространстве . такой, что B[x; y] = S[x]; y 8x; y 2 H; kSk 6 2, kS 1k 6 1 1. Доказательство. 1. Зафиксируем произвольно элемент x 2 H и определим функционал F [y] = B[x; y]. Заметим, что функционал F : H ! R является линейным и непрерывным. Это следует непосред-ственно из билинейности и ограниченности формы B. Тогда по лемме 3.1 найдется элемент S[x] 2 H, такой, что F [y] = S[x]; y 8y 2 H. Таким образом, на всем пространстве H определено отображение S : H ! H, такое что B[x; y] = S[x]; y 8x; y 2 H. в Докажем линейность оператора S. Выберем произвольно числа ; 2 R и элементы x; y; z 2 H. Имеем: S[ x + y]; z = B[ x + y; z] = B[x; z] + B[y; z] = 11. S[x]; z + S[y]; z = S[x] + S[y]; z : Обозначая ! = S[ x + y] S[x] S[y], имеем (!; z) = 0 8z 2 H. 15. частности, при z = ! получаем k!k2 = 0, т. е. ! = 0. Докажем ограниченность оператора S. Для произвольного x 2 H рассмотрим 104 О тотальном сохранении глобальной разрешимости kSxk2 = (Sx; Sx) = B[x; Sx] 6 2kxk kSxk; откуда kSxk 6 2kxk для всех x 2 H, т. е. kSk 6 2. 4. Проверим сильную положительную определенность: (Sx; x) = B[x; x] > 1kxk2 8x 2 H: и Докажем, что множеством значений оператора S является все про-странство H. Это означает, что для каждого ' 2 H тождество B[x; y] = ('; y) 8y 2 H (8) выполнено при некотором x 2 H. Действительно, в таком случае будет (Sx; y) = ('; y) , (Sx '; y) = 0 8y 2 H , Sx = ': = другой стороны, разрешимость тождества (8) следует непосредственно из леммы 3.2. Докажем взаимную однозначность оператора S. Предположим, что S[x] = 0. Нам достаточно доказать, что в таком случае x = 0 [36, вве- дение, 4, предложение, с. 38]. Рассмотрим B[x; y] = (0; y) = 0 8y 2 H. в частности, при y = x имеем 1kxk2 6 B[x; x] = 0, откуда kxk = 0. Таким образом, существует линейный оператор S 1 : H ! H. Докажем ограниченность оператора S 1. Пусть x = S 1[']-- реше-ние тождества (8). При y = x имеем 1kxk2 6 B[x; x] = ('; y) = j('; y)j 6 k'k kxk; откуда 1kxk 6 k'k, т. е. kS 1'k 6 1 1k'k для всех ' 2 H. Иначе говоря, kS 1k 6 1 1. Z Сведение линейного псевдопараболического уравнения к абстрактному уравнению Пусть n > 2 -- заданное натуральное число, область Rn ограни-чена и строго липшицева2. Для числа > 0 обозначим A( ) класс всех матричных функций A = A( ) = faij( )gni;j=1 2 Ln1 n( ), удовлетворяю-щих условию A(x) > j j2 для всех 2 Rn, п. в. x 2 (здесь ¾ ¿ означает скалярное произведение в пространстве Rn). Для J; K 2 A( ), ~ w 2 H01( ), a; b 2 L+1( ), z 2 C [0; T ]; L2( ) , Q 2 C [0; T ]; Ln2( ) рассмотрим в цилиндре T = [0; T ] задачу 2Для этого достаточно выпуклости (см. [37, с. 30, 31]). 105 А.В. Чернов div Jr @' + a @' div Kr' + b' = z div Q;~ (t; x) 2 T ; @t @t (9) '(t; ) @ = 0; t 2 [0; T ]; '(0; x) = w(x); x 2 : Уравнения вида (9) возникают при моделировании процессов теплопе-реноса [38], фильтрации в пористых средах [39 41], волновых процессов [42], квазистационарных процессов в кристаллических полупроводниках [43] (см. также обзор в [43]). Решение начально-краевой задачи (9) будем понимать как функцию '(t; x) 2 C1 [0; T ]; H01( ) , удовлетворяющую начальному условию, а также тождеству D @t ; ! + B['; !] = (t)[!] 8! 2 H01( ); t 2 [0; T ]; (10) @' где приняты обозначения D[ ; !] Z Jr r! + a ! dx; B[ ; !] Z Kr r! + b ! dx; (t)[!] Z n o ; ! 2 H01( ): z(t; x) !(x) + Q~(t; x) r!(x) dx; 11. работе [16] уже было показано, что билинейные формы D, B являются ограниченными и коэрцитивными в H = H01( ), поэтому согласно лем-ме 3.3 существуют линейные ограниченные операторы R, S : H ! H, обратимые на всем пространстве и такие, что в помощью неравенства Гельдера нетрудно показать (аналогично [16]), что функционал (t)[!] : H ! R является линейным и непрерывным. Поэтому согласно лемме 3.1 для каждого t 2 [0; T ] найдется единственный элемент Z(t) 2 H, такой что (t)[!] = Z(t); ! для всех ! 2 H. Более того, выполняются соотношения kRk; kSk 6 2; kR 1k; kS 1k 6 1 1; kZ(t)k = k (t)k; где константы 1, 2 > 0 зависят лишь от J, K, a, b. Таким образом, тождество (10) переписывается в виде Rddt' + S' Z(t); ! = 0 8! 2 H; t 2 [0; T ]: = учетом начального условия то же самое можно записать в виде задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения: 106 О тотальном сохранении глобальной разрешимости d' + R 1S['(t)] = R 1[Z(t)]; t 2 [0; T ]; '(0) = w: (11) dt Здесь для сопряжения с абстактной теорией мы приняли обозначение '(t) = '(t; ). Очевидно, задача (11) имеет вид (1), причем все предпо-ложения относительно нее выполнены. Некоторое пояснение требуется лишь относительно того, что Z 2 C [0; T ]; H . Выберем произвольно t, t + h 2 [0; T ] ! H имеем: . Для произвольного 2 (t + h) (t) [!]: Z(t + h) Z(t); ! = Z(t + h); !Z(t); ! = Гельдера Z(t+h) Z(t) = (t+h) По лемме 3.1 (t) , и согласно неравенству 6 L2 (t+h) ( ) ~ ~ ) L2( ) ! 0 при h ! 0. Таким образом, Z 2 C [0; T ]; H , поэтому задача (11) имеет единственное решение. Следовательно, принятая нами постановка исход-ной задачи корректна. и Пример: управляемое полулинейное псевдопараболическое уравнение Будем считать выполненными все предположения предыдущего раз-дела. Пусть U -- произвольное множество управлений; Ni(t; ) : [0; T ] R+ ! R+, i = 1; 2,-- функции, суммируемые по t 2 [0; T ], непрерывные и неубывающие по 2 R+. Для ` определим класс F` `-вектор-функ- 2 N n ` ций ~ R R ! R , зависящих от параметра f[u](t; x; ; ) : [0; T ] n u 2 U, измеримых по (t; x) 2 [0; T ] , непрерывных по ( ; ) 2 R R и удовлетворяющих условиям: N2 ~ ` для п.в. , 1 N1) f[u]( ; ; '; r') 2 C [0; T ]; L2( ) для всех ' 2 C [0; T ]; H , u 2 U; ~ 0, r , H 6 6 , . 2 ) f[u](t; ; ; ) ` (t; M) t [0; T ] для всех ~ 2 H k k~ M u 2 U M > 6 N2(t; M) k 0kH для N3) f[u](t; ; ; r ) f[u](t; ; 0; r 0) L2` ( ) 2 [0; T ], 8 0 2 nk kH k 0kH o 6 M, u 2 U. п.в. t M > 0, , H, max ; Для J; K 2 A( ), w 2 H01( ), a; b 2 L+1( ), f 2 F1, ~g 2 Fn рассмотрим управляемый полулинейный аналог задачи (9) 107 А.В. Чернов L['] = f[u](t; x; '; r') div ~g[u](t; x; '; r'); t 2 (0; T ]; x 2 ; L[']div Jr @' + a @' div Kr' + b'; (12) @t @t '(t; ) @ = 0; '(0; x) = w(x); x 2 : Пользуясь условием N1 и повторяя почти дословно рассуждения преды-дущего раздела, переходим от задачи (12) к задаче следующего вида: d ' + R 1S[ (t)] = R 1F [u](t; (t)); t 2 [0; T ]; (0) = w; (13) ' ' ' dt где F [u](t; (t)) H = [u; t; '] ; ' [u; t; '](!) f(t; x; '; ') !(x) + ~g(t; x; '; ') !(x) dx n r r r o Z для всех ! 2 H. Непосредственно из условия N1 и неравенства Гельдера получаем, что правая часть R 1F [u](t; '(t)) удовлетворяет условию F1. Выполнение условий F2, F3 получаем непосредственно из условий N2, N3 и неравенства Гельдера. Таким образом, можно пользоваться теоре-мами 1.1 и 1.2. Иначе говоря, справедливо следующее утверждение. Теорема 5.1. Пусть ' = '0 -- решение задачи (12) при f 0, на на . (t; ) 2 1 ~g 0, причем '0 H 6 (t) 8t 2 [0; T ], где функция (t) непрерыв- [0; T ] Предположим, что задача Коши (3) (при замене L на = и N1 на 1 1N1) имеет решение -- неотрицательную абсолютно непре-рывную функцию (t), t 2 [0; T ]. Тогда для любого u 2 U задача (12) '(t; ) H 6 '0 (t; ) H + (t), t 2[0; T ]. имеет единственное решение ' C1 [0; T ]; H , и справедлива оценка 2