Abstract

Abstract

Рассматривается задача аппроксимации областей достижимости нелинейной управ-ляемой динамической системы. В качестве объекта управления используется модель летательного аппарата, движение которого описывается системой нелинейных диффе-ренциальных уравнений. В работе реализуется преобразование исходной дифференци-альной нелинейной модели объекта к дискретному линейному виду. Приводится описа-ние общего алгебраического метода построения области достижимости, и производится сравнительный анализ соответствующих областей достижимости исходной нелинейной непрерывной и линейной дискретной динамических систем.

Full Text

Введение С настоящее время в теории управления динамическими системами большое внимание уделяется проблеме построения или оценивания мно-жеств возможных фазовых состояний систем в различные моменты вре-мени. Эти множества, называемые множествами достижимости, играют важную роль при решении задач управления, наблюдения и прогнозиро-вания. Так, точное или приближенное построение множества достижимо-сти управляемой динамической системы позволяет оценить предельные возможности системы управления и существенно упростить решение, на-пример, задачи оптимального терминального управления [1, 2]. Приме-нительно к динамическим системам, подверженным возмущениям, мно-жества достижимости дают оценку разброса траекторий под влиянием этих возмущений. Все указанные задачи сводятся к построению или оцениванию мно-жеств достижимости, в которых может находиться фазовый вектор си-стемы, и к операциям с этими множествами, что в дальнейшем служит основой для разработки различных численных алгоритмов поиска реше-ния краевой или оптимизационной задачи для рассматриваемой дина-мической системы. Необходимо отметить, что практическое построение 1Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 15-01-02368 и № 17-01-00315). 112 Аппроксимация нелинейная областей достижимости множеств достижимости, особенно в нелинейных динамических систе-мах большой размерности, представляет собой весьма сложную задачу [3], поэтому заслуживают внимания эффективные методы аппроксима-ции этих множеств [4 6]. ее данной работе рассматривается методика аппроксимации областей достижимости исходной нелинейной модели движения летательного ап-парата с помощью построения точных областей достижимости фазовых состояний линеаризованной вдоль опорной траектории исходной дина-мической системы, основывающаяся на общем рекуррентном алгебраи-ческом методе, подробно описанном в работе [4]. 1. Нелинейные уравнения движения В качестве объекта управления рассматривается летательный аппа-рат, чья динамика описывается с помощью динамических уравнений дви-жения центра масс: 8 ! В dV(t) >m dt + ! V = G + P + RA + Fk + Fc; (1) > < >dL > > + ! L = MP + MA + Mk + Mc; : dt где m -- масса; V -- вектор скорости центра масс; ! -- вектор угловой скорости вращения вокруг центра масс; L -- вектор кинетического мо-мента; G -- сила тяжести; P и MP -- вектор полной тяги и момент тяги двигателей; RA и MA -- векторы полной аэродинамической силы и пол-ного аэродинамического момента; Fc и Mc -- главный вектор и главный момент управляющих сил. Несмотря на то что при составлении уравнений движения летатель-ного аппарата принимается большое количество допущений, построе-ние множеств достижимости объекта, описываемого этими нелинейны-ми дифференциальными уравнениями, представляет собой достаточно сложную задачу. Вследствие этого появляется необходимость в проведе-нии линеаризации дифференциальных уравнений относительно малых отклонений параметров движения от их значений для некоторой опор-ной траектории летательного аппарата. к работах [7, 8] показано, что с помощью формулы Тейлора, ограни-чившись первыми членами разложения, исходные нелинейные функции нескольких переменных раскладываются в ряд по степеням приращений 113 А.Ф. Шориков, А.Ю. Горанов параметров движения в окрестности их опорных значений. Формируе-мая таким образом система линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, подобно (1), описывает тот же динами-ческий процесс, однако в этой системе неизвестными функциями времени являются не прежние полные величины, а их отклонения от некоторых опорных значений. Обычно линеаризованные уравнения движения разбивают на группы, полагая при этом, что каналы управления работают независимо. Поэто-му, произведя преобразования уравнений (1), дальнейшие рассуждения будут вестись относительно одного канала движения -- канала продоль-ного движения, поскольку движение в боковом канале описывается по-добными уравнениями, а уравнения движения в канале вращения имеют менее сложную структуру: 8 • = C #(t) # + C+ C V V + C# + Fys; • > s ; V = CV (t) + CV V (t) V + CV # + Fx • _ = C# + C# s ; < # V + C#! # + C# # + M > V z : здесь #_, V , -- отклонения текущих значений угла тангажа, ли-нейной скорости центра масс и угла атаки от их значений для неко-торой опорной траектории; # -- вариация угла отклонения управля- ющих органов в продольном канале движения; Fxs, Fys, Mzs -- возму-щающие силы и момент в проекциях на соответствующие оси ССК; CV V (t); CV (t); : : : ; C# (t) -- известные динамические коэффициенты си-стемы. Данную систему линейных дифференциальных уравнений с перемен-ными коэффициентами, представляющую собой модель объекта в век-торно-матричной форме Коши, можно переписать в следующем ком-пактном виде: x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + !(t); (2) где x(t) -- вектор фазовых состояний системы, x(t) 2 Rn; u(t) -- вектор управления, u(t) 2 Rp; A(t)-- матрица состояния системы; B(t)-- матри-ца управления системы; !(t) -- вектор возмущений, !(t) 2 Rn. В дальнейших рассуждениях будет предполагаться отсутствие воз-мущений и то, что субъекту управления доступна полная информация о фазовом векторе x(t). 114 Аппроксимация нелинейная областей достижимости и Постановка задачи построения областей достижимости Полученной системе уравнений (2) ставится в соответствие дискрет-ная динамическая система, процедура получения которой подробно из-ложена в работах [9, 10], и базируется на основных положениях теории дифференциальных уравнений. Тогда на заданном целочисленном промежутке времени t 2 0; T = Я f0; 1; : : : ; T g, T > 0, T 2 N рассматривается линейная динами-ческая система, динамика которой описывается дискретным векторно-матричным рекуррентным соотношением x(t + 1) = A(t)x(t) + B(t)u(t); (3) здесь t 2 0; T 1 -- шаг дискретной системы, соответствующий дискрет-ному моменту времени t. Предполагается, что на априори неизвестные фазовый вектор началь-ного состояния и реализацию фазового вектора на произвольный момент времени t накладываются геометрические ограничения x(0) 2 X(0) Rn; x(t) 2 M(t) Rn; (4) где X(0) и M(t)-- выпуклые, замкнутые и ограниченные многогранники с конечным числом вершин. Считается также, что геометрические ограничения, формируемые ис-ходя из ограниченности физических возможностей рулевого привода ле-тательного аппарата, накладываются на значение управляющего воздей-ствия u(t) 2 P(t) Rn; (5) где P(t)-- выпуклый, замкнутый и ограниченный многогранник с конеч-ным числом вершин. Таким образом, в процессе управления движением системы (3) по ме-ре прохождения вдоль опорных участков траектории требуется, чтобы значения фазового вектора не выходили за границы области фазового пространства, описываемой ограничениями (4), а управляющее воздей-ствие не превышало накладываемых геометрических ограничений (5). Тогда рассматривается следующая задача. При заданных ограниче-ниях (4), (5) требуется построить множество всех возможных фазовых состояний GM (0; X(0); T ), в которое на момент времени T может быть переведена управляемая система (3), т. е. описать область достижимости 115 А.Ф. Шориков, А.Ю. Горанов рассматриваемой системы (3) (5), которая определяется следующим об-разом: GM (0; X(0); T ) = fx(T ) : x(T ) 2 Rn; (6) x(t + 1) = A(t)x(t) + B(t)u(t); t 2 0; T 1; x(0) 2 X(0); x(t) 2 M(t); u(t) 2 P(t)g: Под парой (X(0); 0) здесь понимается множество всех допустимых начальных фазовых состояний рассматриваемой системы. Область достижимости (6) можно рассматривать как естественное обобщение понятия решения системы рекуррентных уравнений (3), яв-ляющееся фундаментальной характеристикой управляемой системы. 8) Общий рекуррентный метод построения областей достижимости . работах [1, 4] было показано, что область достижимости представ-ляет собой выпуклый, замкнутый и ограниченный многогранник с ко-нечным числом вершин в пространстве Rn. Для такой области дости-жимости справедливо рекуррентное (полугрупповое) свойство, на осно-ве которого был разработан общий рекуррентный алгебраический метод построения областей достижимости линейных дискретных управляемых систем, сводящийся к реализации построения последовательности одно-шаговых областей достижимости GM (0; X(0); T ) = GM (t; GM (t); T ) ; t 2 1; T 1; где GM (t) = GM (0; X(0); t) -- область достижимости на момент време-ни t, соответствующая паре (X(0); 0), которая является выпуклым, замк-нутым и ограниченным многогранником с конечным числом вершин в пространстве Rn. Таким образом, реализуя построение областей достижимости только на один шаг вперед, можно получить область достижимости в терми-нальный момент времени, зависящую только от области достижимости на предыдущем шаге. При данном подходе описание множества допустимых фазовых состо-яний GM (t; G(t); t + 1) рассматриваемой управляемой системы в момент времени (t + 1) осуществляется на основе описания всех его вершин, определяемых согласно следующему алгоритму. в Формируется множество x(G(t)) всех вершин многогранника G(t). 116 Аппроксимация нелинейная областей достижимости 12. Формируется множество u(P(t)) всех вершин многогранника P(t). 13. Формируются следующие множества: Gu(t + 1) = y(t + 1) : y(t + 1) = B(t)u(t); u(t) 2 p(P(t)) ; Gx(t + 1) = x(t + 1) : x(t + 1) = A(t)x(t); x(t) x(G(t)) ; b b b 2 G^ (t + 1) = v^(t + 1) : v^(t + 1) = x(t + 1) + y(t + 1); b b b x(t + 1) Gx (t + 1); y(t + 1) Gu(t + 1) ; b 2 b b b2 b b здесь Gb(t + 1) -- сумма Минковского множеств Gbx(t + 1) и Gbu(t + 1), являющаяся множеством точек области достижимости, среди которых могут быть некоторые внутренние точки и все ее вершины. 16. Определяется множество, являющееся пересечением множества то-чек области достижимости Gb(t+1) и множества M(t+1), описывающего фазовые ограничения на движение объекта: GbM (t + 1) = Gb(t + 1) \ M(t + 1): 5. Для сформированного дискретного множества точек GbM (t + 1) = v^(i)(t + 1) i21; m GM (t; GM (t); t + 1) методами линейного математического программирования находится множество всех вершин его выпуклой оболочки [1] x(GM (t + 1)) = ve(i)(t + 1) i21; z; z 6 m: Тогда в силу того, что выполняется соотношение [11] conv (GbM (t + 1)) = GM (t; GM (t); t + 1) = GM (t + 1); крайние вершины построенного множества GbM (t+1) составят множество всех крайних опорных вершин искомой области достижимости (3), (4) и момент времени (t + 1), являющуюся выпуклым, замкнутым и ограни-ченным многогранником в Rn. При поиске всех вершин выпуклой оболочки множества достижи-мости GM (t; GM (t); t + 1) требуется рассмотреть только первый этап симплекс-метода, суть которого состоит в поиске опорного базисного до-пустимого решения, если таковое существует. Если базисное допустимое решение существует, то точка, соответствующая вектору, не является 117 А.Ф. Шориков, А.Ю. Горанов вершиной многогранника, поскольку ее можно представить как выпук-лую комбинацию других точек. В противном случае рассматриваемая точка является вершиной области достижимости. Таким образом, решив m задач линейного математического програм-мирования, формируются все вершины множества x(GM (t + 1)), кото-рые также будут являться вершинами области достижимости динамиче-ской системы (3) (5). 4. Численное моделирование = качестве примера, иллюстрирующего эффективность предложен-ного метода аппроксимации, приводится задача построения выпуклых оболочек областей достижимости нелинейной модели летательного ап-парата, динамика которого описывается системами уравнений (1), и ли-неаризованной модели, описываемой следующими рекуррентными урав-нениями: 0 _ 1 0 0 0 V_ B # C B 0 0 B в A @0 C #(t)BC • 0 0 # CV V (t) CV (t) 0 1 0 V 1+0 CV (t)1#: 0 0 1 C B # C B 0 C C V (t) C (t) C 0 (t) #_ C (t) #V # #! C B C B # C C (t) C (t) A @ A @ C (t) A Считается, что фазовые векторы начального и текущего состояний, Z также вектор управляющих воздействий удовлетворяют следующим ограничениям: x(0) = [0; 0; 0; 0]; j #j 6 5 град; j #_j 6 15 град/c; j V j 6 5 м/с; j #j 6 20 град: Произведем построение областей достижимости для исходной нели-нейной и линеаризованной систем, а результаты моделирования предста-вим в виде проекций в пространство параметров R3( #; #_; V ) и на плоскость параметров ( #; #_). Как видно на рис. 1, 2, графики переменных состояния исходной нелинейной (1) и линеаризованной (3), (4) моделей довольно близки, что подтверждает применимость рассмотренного метода аппроксимации об-ластей достижимости. 12. качестве фазовых координат рассматриваемой системы выступают вариации динамических параметров, а в основе предложенной методики линеаризации исходных нелинейных уравнений лежит предположение 118 Аппроксимация нелинейная областей достижимости Рис. 1. Проекции областей достижимости в пространство R3 Рис. 2. Проекции областей достижимости на плоскость параметров #; #_ в том, что в исследуемом динамическом процессе переменные движе-ния изменяются так, что их отклонения от опорных значений остаются в процессе управления достаточно малыми. Поэтому при необходимости увеличения точности аппроксимируемой области достижимости можно добиться, усилив ограничения, налагаемые вариацией параметров дви-жения объекта. 119 А.Ф. Шориков, А.Ю. Горанов Заключение = рамках данной работы описано преобразование исходной непрерыв-ной нелинейной модели летательного аппарата к дискретному линейно-му виду. Произведено описание предложенного метода аппроксимации, который основывается на общем алгебраическом методе построения об-ластей достижимости, разработанном в работах [1, 4], и сводит постро-ение аппроксимации нелинейных областей достижимости к реализации конечной последовательности одношаговых операций и решений задач линейного программирования. Действие этого алгоритма реализовано в программной среде MATLAB R2014а, где было проведено сравнение об-ластей достижимости исходной нелинейной и преобразованной систем. Важно отметить, что размерность рассматриваемой дискретной ди-намической системы (3), (4) и число шагов процесса построения областей достижимости для описанного метода аппроксимации ограничиваются только ресурсами памяти и быстродействия компьютера.