Full Text

Введение Свободные гармонические колебания основаны на обмене энергией между элементами колебательной системы [1]. В механическом линейном гармоническом осцилляторе происходит обмен энергией между разнородными элементами - грузом (инертным элементом) и пружиной (упругим элементом). При этом кинетическая энергия груза преобразуется в потенциальную энергию пружины и наоборот. Существуют электромеханические колебательные системы [2], в которых свободные гармонические колебания осуществляются за счет взаимного преобразования потенциальной энергии пружины в энергию электрического поля конденсатора или кинетической энергии груза в энергию магнитного поля катушки индуктивности. Таким образом, свободные гармонические колебания сопровождаются самыми разнообразными вариантами преобразования энергии. В связи с этим представляет интерес возможность возникновения свободных гармонических колебаний, осуществляемых за счет преобразования кинетической энергии в кинетическую. Реализующая такие колебания система должна состоять только из инертных элементов. Механизм обмена энергией между однородными элементами в такой системе позволит, в частности, расширить возможности нейтрализации реакции инертных объектов на внешние периодические воздействия [3]. Как таковая теория колебаний была разработана преимущественно в 30-х гг. XX в. [4]. Современные источники в части свободных гармонических колебаний в основном сохраняют преемственность [5-7]. В указанных и подобных им источниках колебательные системы с однородными элементами не рассматриваются. 1. Синтез инертно-инертной системы Синтез системы [8] осуществляется на основе двух исходных условий. Первое исходное условие. Cистема содержит два инертных элемента - два груза массой m каждый. Элементы совершают гармонические колебания: x1 = Asin (z + z1), x2 = Asin (z + z2), где x1, x2 - текущие координаты грузов; A - амплитуда колебаний; z - фаза; z1, z2 - начальные фазы. Второе исходное условие. Энергия системы при колебаниях не меняется W1 + W2 = const. Одновременный учет обоих исходных условий дает представление о характере связи между инертными элементами. Действительно, , cos2 (z + z1) + cos2 (z + z2) = const. Последнее справедливо при условии z1 - z2 = ±p/2. Полученное соотношение позволяет определить связующее звено между инертными элементами. Таким звеном является устройство, изображенное на рисунке. Рис. Инертно-инертный осциллятор 2. Анализ инертно-инертной системы Внешние усилия к грузам не приложены. Масса промежуточного стержня и трение не учитываются. Координаты грузов соответствуют уравнениям x1 = lcosj, (1) x2 = lcos(p/2 - j). (2) В качестве обобщенной координаты удобно использовать j. Система имеет одну степень свободы, и уравнение Лагранжа второго рода [9, 10] для нее записывается в виде . Обобщенная сила Q = 0, поскольку активные силы отсутствуют. Кинетическая энергия определяется выражением . , , . Решение последнего уравнения имеет вид dj/dt = C1, j = C1t + C2. Пусть имеют место следующие начальные условия: j (0) = j0, . При этом коэффициенты интегрирования приобретают значения С2 = j0, С1 = w0. При этом выражения (1) и (2) принимают вид x1 = lcos(w0t + j0), x2 = lcos(p/2 - w0t - j0). Пусть начальная координата первого груза равна x1(0) = x10. Из этого следуют формулы cosj0 = x10/l, j0 = arccos(x10/l) = arcsin(x20/l). Пусть начальная скорость второго груза равна . Из этого следуют выражения lw0cos(w00 + j0) = v20, w0 = v20/x10 = -v10/x20. В соответствии с этим формулы для перемещений грузов и их скоростей принимают вид x1 = lcos[(v20/x10) t + arccos(x10/l)], x2 = lcos[p/2 - (-v10/x20) t - arcsin(x20/l)], v1 = l(v10/x20) sin[(-v10/x20) t + arcsin(x10/l)], v2 = l(v20/x10) cos[(v20/x10) t + arccos(x20/l)]. Таким образом, грузы массой m совершают свободные гармонические колебания (внешние усилия к грузам не приложены). Заключение В рассмотренной колебательной системе происходит взаимный обмен кинетической энергией между инертными элементами. При j = 0 кинетическая энергия первого груза равна нулю, а второго - максимальна. После этого первый груз начинает ускоряться за счет энергии второго груза, который приобретает отрицательное ускорение.

About the authors

I. P Popov

Kurgan State University

Email: ip.popow@yandex.ru

References

Statistics

Views

Abstract - 40

PDF (Russian) - 13

Refbacks

• There are currently no refbacks.