Full Text

Моделирование поверхностей является одной из важнейших задач геометрии, находящих большое практическое применение как в проектировании технических объектов, так и в сфере проведения научных исследований и теоретических изысканий. Конструктивная геометрия обладает неисчерпаемым арсеналом средств и возможностей для моделирования поверхностей, обладающих теми или иными геометрическими качествами, и до недавнего времени она была активным «поставщиком» моделей, предназначенных для решения разнообразных практических задач. Однако следует признать, что бурное внедрение средств автоматизации и компьютеризации в практику проектирования и производства промышленных изделий привело создателей программного обеспечения к необходимости разработки методологии проектирования поверхностей некоторого усредненного свойства, пригодного на все случаи жизни. В общих словах эта идеология заключается в том, что геометрически точная модель принудительно приводится к некоторой унифицированной математической модели, в той или иной степени приближающей получаемый результат к ожидаемому. В современных САПР в основном таким математическим аппаратом стал аппарат моделирования поверхностей в виде сплайновых форм, который действительно в подавляющем большинстве случаев обеспечивает необходимую проектную точность, в особенности если дело касается производства корпусных форм изделий. Безусловно, неоспоримыми достоинствами такой методологии являются унификация решаемых задач и возможность создания надежно работающих систем проектирования, реализующих свою функциональность едиными методами над общими и унифицированными структурами данных. Однако нельзя не заметить, что такой подход безвозвратно искажает истинную природу исходных геометрических данных, алгоритмов и конструкций, что может приводить к фатальным результатам проектирования. Кроме того, в этом случае исключаются из рассмотрения те приемы, методы и модели, которые не вписываются в парадигму аппроксимационных и интерполяционных методов проектирования поверхностей, так как они не соответствуют идее унификации математического аппарата. В угоду унификации игнорируются, а следовательно, и не используются с должной эффективностью те математические и геометрические приемы, которые способны доставлять огромную пользу при решении задач, выходящих за рамки наиболее популярных в настоящее время задач проектирования корпусов изделий. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно перечитать книгу Г.С. Иванова «Конструирование технических поверхностей» [1], работы других авторов, например [2-4]. Этот исключительно неполный обзор дает возможность удостовериться в том, что мир поверхностей неисчерпаем и не может сводиться к идее подавления одной математической моделью других математических моделей. Все сказанное в равной степени относится и к аналитическим методам проектирования поверхностей [5]. Мир подобных моделей столь же неисчерпаем, сколь и геометрических, и поэтому он не может игнорироваться и замещаться чем-либо другим без должных на то оснований. Высказанные ранее соображения продемонстрируем на двух исключительно простых примерах конструктивного геометрического моделирования: синтезе торовой поверхности и ее преобразовании в инверсии [6] относительно сферы и синтезе гиперболоида с преобразованием этой поверхности в аналогичной инверсии. Решение задачи осуществим на модели (эпюр Монжа) [7-10]. Пусть тор задан окружностью d1 - фронтальной проекцией линии пересечения тора плоскостью, проходящей через его ось o1-p1 (o3 - след этой плоскости в горизонтальной плоскости проекций). Центр окружности сечения (p4 - его фронтальная проекция) вращается вокруг оси o1-p1 по окружности с радиусом, определяемым расстоянием между точками p3 и p4. Пусть точка p5 является фронтальной проекции точки, перемещающейся по окружности сечения, геометрическое место которой определяется «быстрым» параметром положения par2. Тогда в горизонтальной проекции положение этой точки в исходной позиции плоскости сечения будет определяться точкой p7. Предположим, что плоскость сечения осуществила поворот вокруг оси тора на некоторый угол, заданный вторым, «медленным», параметром положения par1. Следовательно, точка p7 также осуществила поворот на этот угол, и ее текущее положение (точка xy) будет определяться пересечением линии o4 и окружности d2. Фронтальная проекция точки, принадлежащей поверхности тора и определяемой совокупными значениями параметров положения par1 и par2, будет в результате поворота плоскости сечения перемещаться по линии o6, параллельной оси проекционной системы. Фронтальную проекцию этой точки можно найти как результат ортогонального проецирования точки xy на прямую o6. Наличие двух проекций точки, принадлежащей поверхности тора в зависимости от двух параметров, позволяет определять любую точку на этой поверхности, следовательно, задача моделирования поверхности тора решена (рис. 1). Рис. 1. Конструктивная модель, предназначенная для синтеза торовой поверхности и поверхности циклиды Дюпена Обратимся теперь к модели, реализующей построение точки в преобразовании инверсии относительно сферы в трехмерном пространстве. Так же, как и в предыдущем случае, используем для решения задачи модель Пусть сфера инверсии задана очерками d1 и d2 во фронтальной и горизонтальной проекциях соответственно, а также дана точка-прообраз (проекции точки p5 и p6). Для нахождения образа этой точки в инверсии выполним замену плоскостей проекций так, чтобы прямая линия, соединяющая точку-прообраз и центр сферы инверсии, изобразилась в одном из полей проекций в натуральную величину. Переведем в это поле и сферу инверсии. Выбрав ось новой системы проекций o6 таким образом, чтобы она была параллельной горизонтальной проекции отрезка, соединяющего исходную точку с центром сферы, построим в дополнительном поле точку p8. В этом поле преобразование инверсии сведено к двумерному случаю, поэтому выполним его, воспользовавшись соответствующим алгоритмом, в результате чего найдем точку-образ p9. Нам остается перевести эту точку в исходные поля и получить проекции искомой точки-образа в системе исходных данных (рис. 2). Рис. 2. Модель, реализующая построение образа точки в инверсии относительно сферы в трехмерном пространстве Выделим в качестве входных параметров алгоритма проекции очерков сферы инверсии и проекции исходной точки, а в качестве выходных параметров - проекции искомой точки. С этого момента конструктивная модель готова к применению в основной задаче. Вернемся к исходному алгоритму. Зададим где-либо центр сферы инверсии (p10, p11) и проведем ее очерки (окружности d3 и d4). Применим к модели этой сферы, а также к точке, моделирующей поверхность сферы (xz, xy), только что разработанный алгоритм преобразования точки в инверсии относительно сферы. На выходе этого преобразования получим точки xxz и xxy, моделирующие точку поверхности циклиды Дюпена [11-16]. Задав вариацию параметров в диапазоне par1 от 0 до 360°, а par2 - в диапазоне от 0 до 1°, выполним визуализацию полученной сцены. Результат работы модели показан на рис. 3. Рис. 3. Модель поверхности циклиды Дюпена как результат инверсии тора относительно сферы Наличие конструктивной модели синтеза поверхности циклиды Дюпена на основе торовой поверхности и сферы позволяет использовать ее в том числе для получения классов поверхностей в зависимости от изменения других параметров модели. Перейдем ко второму примеру. Решим задачу, подобную первой, но в качестве исходных данных в ней будет выступать поверхность гиперболоида, заданного тремя скрещивающимися прямыми [17]. Итак, поверхность задана прямыми a (o1-o2), b (o3-o4) и c (o5-o6) (рис. 4). Для построения поверхности, образованной скольжением прямой линии по исходно заданным прямым, выберем на одной из них (например, на линии b) фиксированную точку B (p1-p2). Эта точка в соединении с линией a образует плоскость alpha (o12, o13-o14, o15), а в соединении с линией c - плоскость beta (o16, o17-o18, o19). Плоскости apha и beta пересекаются по прямой линии d (o36-o37), являющейся образующей гиперболоида и находящейся в непосредственной зависимости от расположения точки B. Вынуждая точку B перемещаться по прямой b в зависимости от значений «медленного» параметра положения par1 в некотором диапазоне значений, образуем поверхность гиперболоида, «заметаемого» движущейся образующей d (рис. 5). Зададим также на прямой d точку D (xz, xy), определив ее положение «быстрым» параметром par2. Таким образом, задача моделирования поверхности гиперболоида решена. Рис. 4. Исходные данные для решения задачи о моделировании гиперболоида и его образа в инверсии относительно сферы Рис. 5. Конструктивная геометрическая модель задачи о построении гиперболоида и его образа в инверсии Для выполнения операции инверсии в этой задаче применим подход, несколько отличающийся от предыдущей задачи. Из теории преобразования инверсии известно, что прямая линия в инверсии переходит в окружность, проходящую через центр инверсии. В связи с этим, задав исходное расположение сферы инверсии, преобразуем исходную систему проекций так, чтобы в одном из полей плоскость, образованная соединением движущейся прямой линии d и центра сферы, наблюдалась в натуральную величину. В нашем случае такое положение прямой d в дополнительном поле отображается линией o57, а очерк сферы инверсии представлен окружностью d8. Ясно, что такая прямая будет преобразована в инверсии в окружность d9, проходящую через центр p55 окружности d8. Расположив на d9 точку p56 и установив управление ее положением в зависимости от «быстрого» параметра par3, получим возможность промоделировать поверхность-образ гиперболоида относительно сферы. Для этого, безусловно, требуется восстановить проекции точки этой поверхности в исходных полях (p59, p58), определяемой в дополнительных полях точками p56 и p57. Результат работы совокупного алгоритма представлен на рис. 6. Рис. 6. Генерация лоскута поверхности гиперболоида, заданного тремя скрещивающимися прямыми, и его образ в инверсии относительно сферы Представленные в данной статье модели поверхностей исключительно просты и основаны на элементарных вычислительных операциях. Тем не менее они демонстрируют, что конструктивный геометрический метод обладает практически безграничными возможностями в задачах проектирования поверхностей, равно как и в других геометрических задачах. Наличие инструментов автоматизации конструктивного геометрического моделирования позволяет применять в решениях как известные геометрические преобразования [1, 2, 18], так и разрабатывать новые, ранее казавшиеся не выполнимыми из-за высокой трудоемкости и инструментальных ограничений. Следует обратить внимание на то, что доступность информации о функциональном составе алгоритма и его структуре, представленной в виде фактологической модели [10], позволяет выполнять не только сугубо вычислительные, но и символьно-логические преобразования геометрических моделей. Это означает, что конструктивные модели, по сути, представляют собой данные для программ метауровня, способных осуществлять символьную или иную логическую интерпретацию подобных данных, наподобие тех методов, которые используются в автоматических решателях уравнений, символьном дифференцировании и тому подобных задачах, но уже применительно к геометрии. Такой подход позволит, в частности, определять дифференциальные характеристики моделей не путем задания малых приращений параметров, а на основе логического вывода, что, без сомнения, не только повысит точность и достоверность результатов, но и предоставит принципиально новые возможности для синтеза геометрических алгоритмов.

About the authors

D. V Voloshinov

The Bonch-Bruevich Saint-Petersburg State University of Telecommunications

Email: volosh@pochta.ru

E. S Kaznacheeva

The Bonch-Bruevich Saint-Petersburg State University of Telecommunications

Email: ekaterina2694@mail.ru

E. S Khaibrakhmanova

The Bonch-Bruevich Saint-Petersburg State University of Telecommunications

Email: katusha.1994.10@mail.ru

References

Statistics

Views

Abstract - 61

PDF (Russian) - 46

Refbacks

• There are currently no refbacks.