Abstract

Abstract

In the article the algorithm of surface’s construction on the basis of a construct-parametrical method of a shaping by immersion of any line in congruence is considered. The parametrical equations of coordination of space by helix and ellipses, on the basis of which u -, v - and w -congruences are defined, are received. The surfaces of the resulting congruences are visualized. The general structure of surfaces is determined.

Full Text

Формообразование поверхностей является неотъемлемой частью проектирования. С развитием технологий, методов расчетов, появлением новых материалов, позволяющих реализовать все более футуристические проекты, развиваются и методы формообразования поверхностей. Методы формообразования исторически развивались в соответствии с доступными способами визуализации и расчета конструкций: синтетический [1-3], конструктивно-синтетический [4-6], кинематический [7-9], метод преобразований [10, 11], метод криволинейного проецирования [12-14], параметрический [15], методы представления кусочно-аналитическими функциями [8, 16, 17]. Наличие аналитической модели при проектировании сложных криволинейных форм упрощает расчеты конструкции. Однако часто по аналитическому представлению практически невозможно представить будущую форму поверхности. Одним из методов формообразования, который позволяет включить в уравнения поверхностей конструктивные элементы с задаваемыми параметрами, является конструктивно-параметрический метод, разработанный И.А. Скиданом и его учениками [18-22]. Цель данной статьи - синтез параметрических уравнений и визуализация поверхностей u-, v- и w-конгруэнций конструктивно-параметрическим методом на основе конструктивной схемы координации пространства винтовыми и эллиптическими линиями. Суть конструктивно-параметрического метода сводится к тому, что используется конструктивная модель будущей поверхности в качестве переходной от задуманной к аналитической. При этом пространство параметризируется в соответствии с этой моделью, т.е. создается конструктивная схема координации пространства заданными линиями в качестве координатных. При этом, с одной стороны, пространство задается криволинейными координатами, а с другой - эти же координатные линии образуют три взаимосвязанных конгруэнции линий. Для образования поверхности используется погружение линии в одну из конгруэнций. Приведем алгоритм синтеза параметрических уравнений поверхности, полученной путем погружения линии в конгруэнцию: 1. Создание конструктивной схемы координации пространства линиями. 2. Составление параметрических уравнений конгруэнции-координации в виде x = f1(u, v, w); y = f2(u, v, w); z = f3(u, v, w). (1) С помощью уравнений (1) также задаются три конгруэнции - u-, v- и w-линий. 3. Выражение криволинейных координат через прямоугольные декартовы: u = φ1(x, y, z); v = φ2(x, y, z); w = φ3(x, y, z). (2) 4. Задание параметрических уравнений погружаемой в конгруэнцию линии: X = F1(t); Y = F2(t); Z = F3(t). (3) 5. Подстановка уравнений (3) в уравнения (2) вместо x, y, z соответственно: u = φ1(X(t), Y(t), Z(t)); v = φ2(X(t), Y(t), Z(t)); w = φ3(X(t), Y(t), Z(t)). (4) 6. В зависимости от выбранной конгруэнции линий (u, v или w) в уравнения (1) подставляются два уравнения (4), за исключением того, название которого входит в выбранную конгруэнцию. Например, для синтеза уравнений поверхностей конгруэнции w-линий в уравнения (1) подставляются выражения для u и v из уравнений (4): x = f1(u(t), v(t), w); y = f2(u(t), v(t), w); z = f3(u(t), v(t), w). (5) Рассмотрим конструктивную схему координации пространства винтовыми и эллиптическими линиями (рис. 1): ¨ u - параметр положения точки на заданной винтовой цилиндрической линии, являющейся местом центров сечений-эллипсов; ¨ v - параметр главной оси эллипса; ¨ w - параметр положения точки М на эллипсе. Фактически конструктивная схема представляет собой множество соосных винтовых поверхностей с подобными сечениями-эллипсами в плоскостях, перпендикулярных плоскости XOY. Согласно вышеприведенному алгоритму составим параметрические уравнения конгруэнции-координации. В плоскости сечения u = u0 уравнения плоского поля концентрических подобных эллипсов (s - коэффициент соотношения полуосей эллипса) с учетом параметра-радиуса a и параметра-шага b винтовой линии будут иметь вид x' = vcosw + a; y' = svsinw + bu. (6) Рис. 1. Конструктивная схема координации пространства винтовыми и эллиптическими линиями С учетом поворота плоскости найдем уравнения конгруэнции-координации: x = x'cosu = (vcosw + a)cosu, y = x'sinu = (vcosw + a)sinu, (7) z = y' = svsinw + bu. Область определения функций (7) определяем, рассчитав якобиан и приравняв его к нулю: J = -vs (a + vcosw) = 0. (8) Анализируя выражение (8), можно определить, что при v = 0 мы получаем уравнение винтовой цилиндрической линии, на которой располагаются центры эллипсов, а выражение в скобках определяет плоское поле эллипсов. Координатные поверхности заданной криволинейной системы координат: ¨ u = const - плоское поле концентрически расположенных эллипсов; ¨ v = const - винтовая поверхность с сечением-эллипсом, перпендикулярным плоскости XOY; ¨ w = const - винтовая линейчатая поверхность. Координатные линии: ¨ u-линии - винтовые цилиндрические линии; ¨ v-линии - прямые линии; ¨ w-линии - эллипсы. Далее при выполнении пунктов 3-6 приведенного алгоритма были получены изображения поверхностей u-, v- и w-конгруэнций (рис. 2, 3). а б Рис. 2. Пример поверхности: а - u-конгруэнции; б - v-конгруэнции Рис. 3. Пример поверхности w-конгруэнции В конгруэнции (7) погружена астроида: X = cos3t; Y = sin3t; Z = 2. Постоянные параметры конгруэнции: a = 1,5, b = 1, s = 2. Сами уравнения выражений (2) и поверхностей (5) не приведены из-за громоздкости полученного результата. Рассмотрим структуру полученных поверхностей. 1. Поверхности u-конгруэнции являются винтовыми поверхностями, образующие которых пересекают погружаемую линию. 1. Поверхности v-конгруэнции являются линейчатыми поверхностями с тремя направляющими: осью OZ, погружаемой линией и винтовой цилиндрической линией с параметрами a и b. 1. Поверхности w-конгруэнции являются каналовыми поверхностями с эллиптическими сечениями, перпендикулярными плоскости XOY, центры которых образуют винтовую линию с параметрами a и b. Поверхность содержит погружаемую линию. При приближении к значениям u = πn (n = 0, 1, 2…) поверхности не определены. Полученные типы поверхностей: винтовая, каналовая и линейчатая с тремя направляющими - могут быть использованы в технических проектах и дизайнерских решениях.