Full Text

Введение В работе [1] авторами был введен матричный анонимный обобщенный медианный механизм (МАОММ), который предназначен для комплексного оценивания сложных многокритериальных объектов, требующих групповой экспертизы. Целью настоящей работы является обсуждение возможности делегирования сообщений экспертами. Делегирование востребовано в ситуациях, когда к экспертизе привлекаются узкопрофильные специалисты, способные оценить лишь часть свойств исследуемого объекта (класса объектов), а соответственно, они вынуждены передать оценку непрофильных свойств компетентным в этом коллегам. Авторам видятся два способа организации права делегирования сообщений в матричном анонимном обобщенном медианном механизме: - при делегировании сообщается результат активной экспертизы, который был бы получен при меньшем на единицу количестве экспертов; - при делегировании сообщений о критерии, который эксперт считает непрофильным, матрица свертки заполняется по принципу полного доминирования профильного критерия. Первый способ требует формального доказательства, а второй - исследования, так как может приводить к искажению матрицы свертки. Данные обстоятельства определили дальнейшую структуру работы. В настоящей статье будем использовать обозначения и определения, введенные в работе [2], однако для целей настоящей работы введем дополнительный индекс n сверху для обозначения количества экспертов, участвующих в процедуре активной экспертизы. 1. Делегирование путем сообщения результата активной экспертизе при n - 1 экспертах Пусть существует процедура p, которая используется для согласования оценок группы из n экспертов: (1) где - результат групповой экспертизы; - вектор сообщений n экспертов, Сообщение эксперта i по любому критерию ограничено шкалой комплексного оценивания Здесь и далее индекс сверху обозначает количество экспертов, а индекс снизу - порядковый номер эксперта в ранжированном ряду, два индекса снизу определяют элемент матрицы свертки. Процедура p должна удовлетворять следующим условиям: 1) функция монотонна[3] по всем переменным s; 2) функция непрерывна по всем переменным s; 3) функция удовлетворяет условию единогласия, т.е. Неманипулируемой активной экспертизой является такая процедура, что результатом экспертизы становится медиана множества, образованного n сообщениями экспертов и n + 1 сообщениями фантомов : (2) где сообщения фантомов определяются с помощью выбранной процедуры p: (3) где вектор образуется следующим образом: (4) При n экспертах согласно формуле (4) сообщений фантомов на единицу больше, чем сообщений экспертов, благодаря k = 0. В связи с этим мощность объединенных множеств оценок определяется нечетным числом (n сообщений экспертов и n + 1 сообщений фантомов). В таком случае медианой множества является либо сообщение эксперта, либо оценка фантома, разделяющая все множество на левую и правую коалицию (определение коалиций см. в работе [2, c. 42-43]). Не исключается случай, когда оценка эксперта совпадает со значением фантома. Утверждение. Если для активной экспертизы с n экспертами используется обобщенная медианная схема (2), то результат активной экспертизы является медианой ранжированного множества, образованного сообщениями n экспертов - , дополнительного сообщения, совпадающего с результатами активной экспертизы с n экспертами, - и оценками фантомов, образованных при (5) (6) Качественно это утверждение означает, что при сообщении результата активной экспертизы, полученной при n экспертах, в процедуре при n + 1 экспертах данное сообщение будет являться результатом активной экспертизы. Доказательство. Доказательство разделим на две части. Вначале рассмотрим случай строгой монотонности, как это требовалось ранее (см., например, [2, 3]), а затем - нестрогий случай. 1. В первом случае рассмотрим отдельно ситуации, когда медианой ранжированного множества являются сообщение фантома и сообщение эксперта. 1.1. Рассмотрим ситуацию, когда медианой ранжированного множества является сообщение фантома. Такое сообщение обозначим (7) При увеличении числа экспертов выполняется следующее неравенство: (8) которое следует из условия 1 - строгой монотонности функции p. Для доказательства справедливости выражения (8) достаточно взглянуть на формулу (4), где показано, что вектор s при n + 1 экспертах содержит на одну больше минимальных оценок d при том же числе максимальных оценок D. Поскольку при увеличении экспертов растет количество оценок фантомов и условие (8) справедливо, то, очевидно, что при n + 1 экспертах оценка которая была медианой и делила все множество оценок на два равных по мощности множества, смещается влево, одновременно увеличивая мощность левой коалиции на единицу. Согласно определению медианы она делит ранжированный ряд на два равных по мощности множества: первое множество, значения которого не больше медианы, и второе - значения которого не меньше медианы. Тогда любая оценка, которая больше или равна , будет принадлежать правой коалиции и будет уравнивать мощности левой и правой коалиций. Собственно дополнительное сообщение которое больше , согласно выражению (9) вытекающему из условия (8), уравнивает мощности левой и правой коалиций. В общем случае при медианой ранжированного ряда, образованного сообщениями экспертов , является любое число, лежащее в интервале от до , включая , что, естественно, является частным случаем. Так мы показали, что при оценка является медианой множества . Осталось показать случай, при котором медианой является сообщение агента, которое не совпадает со значением фантома (очевидно, что в случае совпадения оценок фантома и эксперта утверждение справедливо в силу первой части доказательства). 1.2. Сообщение агента, являющегося медианой множества обозначим (10) В случае выражения (10) существует k, образующая такие две ближайшие оценки фантомов к , что принадлежит левой коалиции (11) а принадлежит правой коалиции (12) В выражениях (11) и (12) использованы строгие ограничения, поскольку мы рассматриваем случай несовпадения оценки фантома с сообщением агента, определенный в условии (10). Существование k для n экспертов следует из леммы, приведенной в работе [2, с. 44] и доказанной там же. Следует отметить, что в [2, с. 44] используется нестрогое ограничение, от которых мы отказались в силу выражения (10). Единственность k следует из монотонности (строгой монотонности) функции p. Так выполняется следующее условие: (13) В таком случае, если существует k, для которого выполняется условие (11), то для оценка фантома будет меньше (или равна) в силу условия (13), и тогда для любой пары k - i и k - i + 1, будет выполняться только условие (11). Аналогично для у пары k + j и k + j + 1 будет выполняться только условие (12). Тогда может существовать единственная k, для которой выполняются одновременно условия (11) и (12). При увеличении числа экспертов, как показано выше, оценки фантомов смещаются влево, соответственно, оценка принадлежащая правой коалиции, может при некоторой функции оказаться меньше что увеличит мощность левой коалиции, и, соответственно, оценка уравнивает коалиции. В противном случае оценка по-прежнему принадлежит правой коалиции, а оценка - левой. Другими словами, медианой при n + 1 экспертах будет являться любая оценка от до если в противном случае медианой является любая оценка от до Таким образом, при оценка также является медианой множества 2. Для нестрогого случая монотонности функции p необходимо рассмотреть лишь случай при котором вполне очевидно, что также является медианой множества поскольку интервалы, на которых определяется медиана, вырождаются в точку Следствие. Следствием из доказанного утверждения является то, что процедуру делегирования можно организовать предлагаемым способом: если эксперт считает необходимым делегировать право оценки некоего критерия, то вместо его оценки необходимо сообщить результат активной экспертизы, который получился бы без его участия в экспертизе. 2. Делегирование путем заполнения матрицы свертки по принципу доминирования над критерием, оценку которого планируется делегировать Еще одним способом делегирования сообщений является подход, основанный на заполнении матрицы свертки по принципу доминирования над критерием, оценку которого планируется делегировать. Доминирующей матрицей назовем такую бинарную матрицу свертки пары критериев, результатом свертки которых является значение одного из критериев: , (14) . (15) Пример доминирующих матриц свертки размерностью 4×4 приведен на рис. 1. 4 4 4 4 4 4 3 2 1 4 3 3 3 3 3 4 3 2 1 3 2 2 2 2 2 4 3 2 1 2 1 1 1 1 1 4 3 2 1 1 4 3 2 1 4 3 2 1 а б Рис. 1. Доминирующие матрицы свертки: а - доминирует критерий б - доминирует критерий Размерность матриц свертки не играет роли и определяется условиями прикладной задачи. В практике применения матричных механизмов комплексного оценивания (ММКО) известны случаи применения матриц размерностью от 2×2 до 5×5 (см., например, [6-8]). Стоит отметить, что в непрерывном случае при использовании специальных функции интерполяции дискретных матричных сверток (см., например, [9]) или при использовании нечетких процедур комплексного оценивания (см., например, [8, 10]), условия (14) и (15) сохраняются. В общем случае матричный механизм комплексного оценивания представляет собой последовательную свертку критериев с помощью бинарных матриц (16) Используя доминирующие матрицы (14) и/или (15) можно построить механизм комплексного оценивания, включающий дополнительные критерии, являющийся эквивалентным механизму комплексного оценивания (16): (17) Так можно поступить и в обратном направлении: не увеличивать количество критериев, а уменьшить. Если имеется дерево с l > 2 критериями, то матрицы свертки можно заполнить, используя выражения (14) или (15), что данный механизм будет эквивалентен механизму комплексного оценивания с меньшим количеством критериев. Рассмотрим пример ММКО, включающий четыре критерия (рис. 2), и исключим критерий х4 (рис. 3): (18) Аналогично можно исключить любой другой критерий или несколько критериев (рис. 4): (19) x1 x2 x3 x4 M12 M34 M x12 = M12(x1, x2) x34 = M34(x3, x4) x(x1, x2, x3, x4) = M(M12(x1, x2), M34(x3, x4)) Рис. 2. Пример четырехфакторного дерева критериев ММКО x1 x2 x3 x4 M12 Mr M x12 = M12(x1, x2) x34 = Mr(x3, x4) = x3 x(x1, x2, x3)=M(M12(x1, x2), x3) Рис. 3. Пример трехфакторного ММКО, эквивалентного четырехфакторному при M34 = Mr [см. выражение (18)] x1 x2 x3 x4 M12 M34 Mc x12 = M12(x1, x2) x34 = M34(x3, x4) x(x1, x2) = Mc(M12(x1, x2), M34(x3, x4)) = M34(x3, x4) Рис. 4. Пример двухфакторного ММКО, эквивалентного четырехфакторному при M = Mc [см. выражение (19)] Так можно поступить для любого бинарного дерева: выбрав подграф, одной из вершин которого является критерий, требующий делегирования. Затем выбрать узел подграфа, соединенного с делегируемым критерием, и матрицу, соответствующую этому узлу, необходимо заполнить доминирующим способом (см. рис. 1, а или б). Используя это свойство, процедуру делегирования можно организовать так: эксперт, участвующий в согласовании (активной экспертизе) матричного механизма комплексного оценивания, выбирает критерии, в которых он компетентен, далее для него строится механизм, эквивалентный механизму комплексного оценивания, который требуется согласовать, и эксперт заполняет оставшиеся матрицы так, как считает нужным, формируя тем самым часть сообщений. Оставшиеся сообщения принимаются по значениям доминирующих матриц. Такой подход позволяет эксперту сосредоточить внимание на оценивании влияния на комплексную оценку только тех критериев, в которых он компетентен. Стоит признать, что этот подход потенциально манипулируемый. Во-первых, эксперт может выбирать те критерии для оценки, в которых он заинтересован (или, наоборот, сообщать о том, что он некомпетентен в оценке критерия, который хочет игнорировать). Во-вторых, некоторые элементы доминирующих матриц (см. рис. 1) лежат в интервале между минимально (рис. 5, а) и максимально (рис. 5, б) возможными оценками, что может влиять на результат активной экспертизы. 4 3 2 1 4 4 4 4 4 4 3 2 1 1 3 4 4 4 3 3 2 1 1 1 2 4 4 3 2 2 1 1 1 1 1 4 3 2 1 1 4 3 2 1 4 3 2 1 а б Рис. 5. Матрицы свертки: а - с минимально возможными элементами drc; б - с максимально возможными элементами Drc 3. Иллюстрация подходов к делегированию сообщений при МАОММ Для иллюстрации обоих подходов к делегированию сообщений достаточно рассмотреть одну матрицу свертки. Рассмотрим пример с четырьмя экспертами, один из которых делегирует оценку критерия xr. Сообщения агентов приведены на рис. 6, а, б и 7, а, пример сообщений взят из работы [1]. s1 xr s2 xr 4 3 2 2 4 4 3 2 2 4 4 3 2 1 3 3 3 2 1 3 3 2 2 1 2 3 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 xc 4 3 2 1 xc 4 3 2 1 а б Рис. 6. Матрицы свертки с сообщениями первых двух экспертов s3 xr s4 xr 4 4 3 2 4 s44 s43 s42 s41 4 4 3 2 2 3 s34 s33 s32 s31 3 3 3 2 1 2 s24 s23 s22 s21 2 3 2 1 1 1 s14 s13 s12 s11 1 xc 4 3 2 1 xc 4 3 2 1 а б Рис. 7. Матрицы свертки с сообщениями третьего и четвертого экспертов Необходимо определить элементы матрицы s4 (рис. 6, б), которые необходимо принять вместо четвертого эксперта. 3.1. Пример делегирования путем сообщения результата активной экспертизе при n - 1 экспертах Для вычисления значений фантомов при трех экспертах (n = 3) необходимо определить четыре вектора псевдосообщений согласно выражению (4), где Согласно свойству 3 (см. разд. 1) для k = 0 и k = 3 выполняется следующее: wrc(0) = drc, wrc(3) = Drc. Таким образом, необходимо определить два вектора при k = 1: и k = 2: Векторы псевдосообщений являются исходными данными для определения значений фантомов wk согласно формуле (3) с помощью функции p. Приведем пример при среднеарифметической p (табл. 1). Таблица 1 Пример определения значений фантомов при трех экспертах и среднеарифметической функции p Выделяемые переменные Элементы матрицы свертки rc 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 drc 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 2,00 1,00 1,00 2,00 3,00 1,00 2,00 3,00 4,00 Drc 1,00 2,00 3,00 4,00 2,00 3,00 4,00 4,00 3,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 s1(1) 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 2,00 1,00 1,00 2,00 3,00 1,00 2,00 3,00 4,00 s2(1) 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 2,00 1,00 1,00 2,00 3,00 1,00 2,00 3,00 4,00 s3(1) 1,00 2,00 3,00 4,00 2,00 2,00 4,00 4,00 3,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 wrc(1) 1,00 1,33 1,67 2,00 1,33 1,67 2,00 2,67 1,67 2,00 2,67 3,33 2,00 2,67 3,33 4,00 s1(2) 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 2,00 1,00 1,00 2,00 3,00 1,00 2,00 3,00 4,00 s2(2) 1,00 2,00 3,00 4,00 2,00 3,00 4,00 4,00 3,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 s3(2) 1,00 2,00 3,00 4,00 2,00 3,00 4,00 4,00 3,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 wrc(2) 1,00 1,67 2,33 3,00 1,67 2,33 3,00 3,33 2,33 3,00 3,33 3,67 3,00 3,33 3,67 4,00 Теперь можно определить медианы на множествах сообщений трех экспертов и двух значений фантомов. Таблица 2 Пример определения медианы на множестве сообщений трех экспертов и двух значений фантомов Выделяемые переменные Элементы матрицы свертки rc 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 s1 1,00 1,00 2,00 2,00 1,00 2,00 2,00 3,00 1,00 2,00 3,00 4,00 2,00 2,00 3,00 4,00 s2 1,00 1,00 1,00 2,00 1,00 2,00 2,00 3,00 1,00 2,00 3,00 3,00 2,00 2,00 3,00 4,00 s3 1,00 1,00 2,00 3,00 1,00 2,00 3,00 3,00 2,00 2,00 3,00 4,00 2,00 3,00 4,00 4,00 wrc(1) 1,00 1,33 1,67 2,00 1,33 1,67 2,00 2,67 1,67 2,00 2,67 3,33 2,00 2,67 3,33 4,00 wrc(2) 1,00 1,67 2,33 3,00 1,67 2,33 3,00 3,33 2,33 3,00 3,33 3,67 3,00 3,33 3,67 4,00 xrc 1,00 1,00 2,00 2,00 1,00 2,00 2,00 3,00 1,67 2,00 3,00 3,67 2,00 2,67 3,33 4,00 Таким образом, используя МАОММ при трех экспертах, получим матрицу свертки (рис. 8), которую необходимо сообщить вместо четвертого эксперта. хr 4,00 3,33 2,67 2,00 4 3,67 3,00 2,00 1,67 3 3,00 2,00 2,00 1,00 2 2,00 2,00 1,00 1,00 1 хс 4 3 2 1 Рис. 8. Матрица свертки, полученная с помощью МАОММ при трех экспертах В связи с тем что в разд. 1 формально доказано, что при сообщении результата активной экспертизы, полученной при n экспертах, это сообщение является результатом активной экспертизы при n + 1 экспертах, то демонстрировать это вычислительным примером нецелесообразно. 3.2. Пример делегирования путем заполнения матрицы свертки по принципу доминирования Поскольку при этом подходе значения матрицы принимаем по значениям доминантной матрицы (см. рис. 1, а или б), то в таком случае нам необходимо определить три вектора псевдосообщений (не считая очевидные случаи wrc(k = 0) = drc, wrc(k = 4) = Drc) для вычисления четырех матриц фантомов (табл. 3): k = 1: k = 2: k = 3: Рассмотрим пример: эксперт считает, что доминирует критерий xr (см. рис. 1, а), тогда набор сообщений четвертого эксперта s4 будет заполнен так, как это показано в табл. 4 (4-я строка). Таблица 3 Пример определения значений фантомов при четырех экспертах и среднеарифметической функции p Выделяемые переменные Элементы матрицы свертки rc 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 drc 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 2,00 1,00 1,00 2,00 3,00 1,00 2,00 3,00 4,00 Drc 1,00 2,00 3,00 4,00 2,00 3,00 4,00 4,00 3,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 s1(1) 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 2,00 1,00 1,00 2,00 3,00 1,00 2,00 3,00 4,00 s2(1) 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 2,00 1,00 1,00 2,00 3,00 1,00 2,00 3,00 4,00 s3(1) 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 2,00 1,00 1,00 2,00 3,00 1,00 2,00 3,00 4,00 s4(1) 1,00 2,00 3,00 4,00 2,00 2,00 4,00 4,00 3,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 wrc(1) 1,00 1,25 1,50 1,75 1,25 1,25 1,75 2,50 1,50 1,75 2,50 3,25 1,75 2,50 3,25 4,00 s1(2) 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 2,00 1,00 1,00 2,00 3,00 1,00 2,00 3,00 4,00 s2(2) 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 2,00 1,00 1,00 2,00 3,00 1,00 2,00 3,00 4,00 s3(2) 1,00 2,00 3,00 4,00 2,00 3,00 4,00 4,00 3,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 s4(2) 1,00 2,00 3,00 4,00 2,00 3,00 4,00 4,00 3,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 wrc(2) 1,00 1,50 2,00 2,50 1,50 2,00 2,50 3,00 2,00 2,50 3,00 3,50 2,50 3,00 3,50 4,00 s1(3) 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 2,00 1,00 1,00 2,00 3,00 1,00 2,00 3,00 4,00 s2(3) 1,00 2,00 3,00 4,00 2,00 3,00 4,00 4,00 3,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 s3(3) 1,00 2,00 3,00 4,00 2,00 3,00 4,00 4,00 3,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 s4(3) 1,00 2,00 3,00 4,00 2,00 3,00 4,00 4,00 3,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 wrc(3) 1,00 1,75 2,50 3,25 1,75 2,50 3,25 3,50 2,50 3,25 3,50 3,75 3,25 3,50 3,75 4,00 Таблица 4 Пример определения медианы на множестве сообщений четырех экспертов и трех значений фантомов Выделяемые переменные Элементы матрицы свертки rc 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 s1 1,00 1,00 2,00 2,00 1,00 2,00 2,00 3,00 1,00 2,00 3,00 4,00 2,00 2,00 3,00 4,00 s2 1,00 1,00 1,00 2,00 1,00 2,00 2,00 3,00 1,00 2,00 3,00 3,00 2,00 2,00 3,00 4,00 s3 1,00 1,00 2,00 3,00 1,00 2,00 3,00 3,00 2,00 2,00 3,00 4,00 2,00 3,00 4,00 4,00 s4 1,00 1,00 1,00 1,00 2,00 2,00 2,00 2,00 3,00 3,00 3,00 3,00 4,00 4,00 4,00 4,00 wrc(1) 1,00 1,25 1,50 1,75 1,25 1,25 1,75 2,50 1,50 1,75 2,50 3,25 1,75 2,50 3,25 4,00 wrc(2) 1,00 1,50 2,00 2,50 1,50 2,00 2,50 3,00 2,00 2,50 3,00 3,50 2,50 3,00 3,50 4,00 wrc(3) 1,00 1,75 2,50 3,25 1,75 2,50 3,25 3,50 2,50 3,25 3,50 3,75 3,25 3,50 3,75 4,00 xrc 1,00 1,00 2,00 2,00 1,25 2,00 2,00 3,00 2,00 2,00 3,00 3,50 2,00 3,00 3,50 4,00 По полученным данным (см. табл. 4) построим матрицу свертки (рис. 9, а), являющуюся результатом активной экспертизы ММКО. Аналогично может быть получен результат (рис. 9, б), когда доминирует критерий хс (см. рис. 1, б). хr хr 4,00 3,50 3,00 2,00 4 4,00 3,25 2,50 2,00 4 3,50 3,00 2,00 2,00 3 3,75 3,00 2,00 1,50 3 3,00 2,00 2,00 1,25 2 3,00 2,50 2,00 1,00 2 2,00 2,00 1,00 1,00 1 2,50 2,00 1,25 1,00 1 хс 4 3 2 1 хс 4 3 2 1 а б Рис. 9. Матрицы свертки, полученные с помощью МАОММ при четырех экспертах, один из которых делегировал сообщения с помощью доминирующей матрицы: а - доминирует критерий хr; б - доминирует критерий хс Полученные данные (см. рис. 9) демонстрируют, что при использовании подхода, основанном на заполнении матрицы свертки по принципу доминирования, результат активной экспертизы зависит от того, оценку какого критерия эксперт считает необходимым делегировать, и отличается от результата, полученного с помощью первого подхода (см. рис. 8). Это обстоятельство оправдывает ожидаемые опасения, связанные с тем, что второй подход подвержен манипуляции. Заключение Предложены два подхода к решению задачи делегирования сообщений при построении матричного механизма комплексного оценивания, элементы матриц которого оцениваются группой экспертов, а результаты групповой экспертизы определяются с помощью матричного анонимного обобщенного медианного механизма. Теоретически более надежным с точки зрения неманипулируемости процедуры активной экспертизы является подход, основанный на сообщении результата активной экспертизы, получаемого при меньшем количестве экспертов на одного, поскольку это не приводит к изменению согласованной матрицы. С целью наглядной демонстрации описанных в данной работе свойств и исследования поведенческих аспектов предлагаемых процедур были созданы программный модуль экспериментального исследования устойчивости матричного анонимного обобщенного медианного механизма к стратегическому поведению агентов[4] и база данных[5] для сбора, обработки и хранения результатов соответствующих экспериментов.

About the authors

A. O Alekseev

Perm National Research Polytechnic University

Email: alekseev@cems.pstu.ru

N. A Korgin

V.A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of the Russian Academy of Sciences; Moscow Institute of Physics and Technology (State University)

Email: nkorgin@ipu.ru

References

Statistics

Views

Abstract - 69

PDF (Russian) - 35

Refbacks

• There are currently no refbacks.