Full Text

В ряде задач исследуются квантовые системы, состоящие из двух частиц [1-3]. При этом преимущественно рассматриваются частицы, связанные взаимодействием в большей [1, 2] или меньшей [3] степени. Потенциал взаимодействия существенно влияет на вид волновой функции и в любом случае обусловливает непрерывный спектр ее гармоник. Установление квазиимпульса двухчастичной системы [1] и интерпретация волновой функции как ядра интегрального оператора (Гильберта-Шмидта) [3] предполагают определение групповых скоростей волновых пакетов, что не представляет затруднений в силу непрерывности их спектров. При движении частиц (не связанных взаимодействием) с неравными фиксированными скоростями частоты волн де Бройля образуют дискретный спектр, в связи с чем для определения групповой скорости волнового пакета формула (1) [4] не подходит, поскольку предполагает по крайней мере кусочно-непрерывную зависимость w(k). Здесь w - циклическая частота, k -волновое число. Задача, таким образом, заключается в отыскании формулы групповой скорости для дискретных значений w и k. Результаты решения этой задачи могут быть применены к классу частиц, не связанных полевыми взаимодействиями, в том числе к нейтронам, которые в результате некоторых ядерных реакций образуют двухчастичные квантовые системы, например Пусть две частицы образуют квантовую систему в пространстве имеют одинаковые массы m и движутся с фиксированными нерелятивистскими однонаправленными скоростями v1 и v2. В рассматриваемый момент координаты частиц совпадают. В дальнейшем имеется в виду, что волновые функции частиц представляют собой плоские монохроматические волны де Бройля [5-8]: При этом (2) (3) Далее для упрощения прямолинейное движение рассматривается в Из условия нормировки вероятностей с учетом формул (2) и (3) следует, что C1 = C2. В связи с вышеизложенным волновой пакет имеет вид (4) Для названных условий имеют место две теоремы, первую из которых предваряет следующая формула: (5) Действительно, . Теорема № 1. Групповая скорость волнового пакета [формула (4)] определяется выражением (6) Доказательство. В соответствии с формулой (5) выражение (4) приводится к виду . Модуль волновой функции следующий: Групповая скорость - это скорость перемещения максимума модуля, который достигается при условии За время t максимум модуля перемещается на расстояние x [9]. Таким образом, его скорость или групповая скорость равна Теорема доказана. Замечание. Формулу (6) можно представить в виде Таким образом, формула (1) является предельным случаем выражения (6). Теорема № 2. Групповая скорость волнового пакета [см. формулу (4)] равна сумме фазовых скоростей его гармоник: Доказательство. Пусть Из выражений для импульса и энергии где ħ - постоянная Планка, следует: (7) (8) При этом Теорема доказана. В [10] показано, что (9) При этом выражения (7) и (8) остаются в силе, и теорема № 2 справедлива также при условии (9). Таким образом, построение математической модели волнового пакета [см. формулу (4)], образованного двумя плоскими монохроматическими волнами де Бройля, позволило определить его групповую скорость [см. формулу (6)], которая при этом равна сумме фазовых скоростей его гармоник.

About the authors

I. P Popov

Kurgan State University

Email: ip.popow@yandex.ru

References

Statistics

Views

Abstract - 60

PDF (Russian) - 29

Refbacks

• There are currently no refbacks.