Full Text

В современной технике широкое применение находят гибкие пластины, к которым относятся пластины с прогибами, превышающими 1/4-1/5 доли от размера ее толщины [1]. Существующие теории расчета пластин при изгибе относятся, как правило, к линейной теории жестких пластин, прогибы которых при наличии поперечной нагрузки не превышают указанных выше значений. В отличие от жестких, для гибких пластин характерна нелинейная зависимость между нагрузкой и возникающими прогибами. При этом наряду с изгибными напряжениями в гибкой пластине действуют мембранные (цепные) усилия и напряжения, равномерно распределенные по толщине пластины. Задачи прочности гибких пластин требуют интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных с функциональными коэффициентами [2-4], что является весьма затруднительным. В связи с этим для решения практических задач прочности гибких пластин актуальным является применение энергетического подхода и вариационного метода Ритца, позволяющего решать задачу без интегрирования дифференциальных уравнений [3, 4]. Применительно к расчету пластин метод Ритца предложен С.П. Тимошенко [1]. В соответствии с методом Ритца-Тимошенко определяется полная энергия системы: (1) где U - потенциальная энергия деформации пластины; V - потенциал нагрузки, равный работе внешних сил, взятой с обратным знаком, В данной работе использован метод Ритца-Тимошенко для расчета гибких круглых пластин при симметричном нагружении относительно оси пластины. При этом потенциальная энергия деформации гибкой пластины равна U = UM +UN, (2) где UM - потенциальная энергия изгиба пластины; UN - потенциальная энергия мембранных сил. Потенциальная энергия деформации изгиба круглой пластины определяется интегралом по площади, зависящим от функции прогибов [1]: (3) где D - цилиндрическая жесткость пластины, , здесь E, μ - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала пластины соответственно, h - толщина пластины; w(r) - функция прогибов круглой пластины. Потенциальная энергия мембранных усилий может быть представлена в следующем виде: (4) где Nr, Nt - мембранные силы в радиальном и окружном направлениях соответственно; εr, εt - деформации в радиальном и тангенциальном направлениях. Деформации при наличии больших прогибов круглой пластины выражаются следующими соотношениями: (5) где u - перемещение в радиальном направлении. Мембранные усилия определяются законом Гука для плоского напряженного состояния: (6) Выполнив соответствующие преобразования с учетом соотношений (4)-(6) и упрощения, получим для потенциальной энергии мембранных усилий выражение (7) Составляющие потенциальной энергии [см. формулы (3), (7)] образуют с потенциалом нагрузки функционал полной энергии пластины [формула (2)], который учитывает и моменты, и мембранные усилия и может быть использован для расчета гибких пластин вариационными методами. Потенциал нагрузки рассчитывается в зависимости от условий нагружения пластины в каждом конкретном случае. При вычислении компонентов напряженно-деформированного состояния пластин при малых нагрузках и, соответственно, при малых прогибах составляющие потенциальной энергии мембранных сил малы, и решение, полученное по предлагаемой методике, достаточно хорошо коррелирует с известными точными решениями для жестких пластин. В качестве примера использования данной методики рассмотрим поведение круглой защемленной по контуру пластины под действием равномерно распределенной по площади пластины нагрузки интенсивностью p0(r) = const. Для реализации функционала используем метод Ритца-Тимошенко. Запишем функцию предполагаемых прогибов в следующем виде (8) где а1 - варьируемый параметр; а - радиус пластины. Выражение (8) удовлетворяет граничным условиям закрепления пластины и условию симметрии деформирования: (9) При больших прогибах, в отличие от жестких пластин, появляется перемещение в радиальном направлении, которое запишем в виде (10) При этом полагаем, что из условий симметрии выполняется условие в защемлении - параметр а2 также определяется из решения вариационной задачи. Подставляя функции (8) и (10) в уравнения составляющих потенциальной энергии (3) и (7), получим после преобразований выражения для энергии деформации изгиба и потенциальной энергии мембранных усилий следующее: (11) (12) Работа распределенной нагрузки выражается интегралом: (13) С учетом потенциальной энергии изгибающих и мембранных напряжений и потенциала нагрузки полная энергия определяется в виде (1), при этом содержит неизвестные параметры а1 и а2. Параметры а1 и а2 определяются из условий минимума полной энергии системы. При этом для жестких пластин учитывается только потенциальная энергия изгиба [формула (11)], для гибких же пластин в соответствии с предлагаемой методикой учитывается и потенциальная энергия мембранных усилий [формула (12)]. Следует отметить, что решение данной задачи для жестких пластин определяется из условия функция прогибов при этом будет равна (14) что согласуется с известным точным решением данной задачи для жестких пластин [1]. Для гибкой круглой пластины согласно методу Ритца-Тимошенко условие минимума функционала полной энергии имеет следующий вид: После соответствующих преобразований получим систему двух уравнений: (15) Система (15) имеет решение только при а2 ≠ 0. После математических преобразований система уравнений сводится к кубическому уравнению (16) где Уравнение (16) решается относительно а1 с помощью формулы Кардано [5], что позволяет найти функции прогибов [см. формулу (8)] и радиальных перемещений [см. формулу (10)]. С учетом величины параметра а1, полученного из уравнения (16), рассчитаны максимальные прогибы гибкой пластины wmax для некоторых конструкционных материалов (а = 10 см; p0 = 0,1 МПа). Проведено сравнение с величиной максимальных прогибов в центре жесткой пластины. Рис. 1. Расчетные зависимости отношения прогибов пластины от относительной толщины для материалов: сплошная линия - алюминий; штрихпунктирная линия - титан; пунктирная линия - сталь На рис. 1 приведены графические зависимости соотношения максимальных прогибов жесткой и гибкой пластин от относительной толщины пластины Из рис. 1 следует, что с ростом относительного размера пластины увеличивается отношение максимальных прогибов, рассчитанных по классической теории жестких пластин ( ) и по предлагаемой теории гибких пластин (wmax). По мере утонения пластины возрастает роль потенциальной энергии деформации от мембранных усилий, что приводит к существенному различию величин прогибов по классической теории жестких пластин и предлагаемой теории гибких пластин. Максимальные напряжения изгиба на контуре, соответствующие классической теории жестких пластин, равны (17) В соответствии с предлагаемой методикой в пластине действуют мембранные усилия, максимальные напряжения от которых при равны (18) Рис. 2. Расчетные зависимости напряжений от относительной толщины пластины: штрихпунктирная линия - напряжения, рассчитанные по классической теории пластин; сплошная линия - напряжения от изгибающих моментов; пунктирная линия - напряжения от мембранных усилий На рис. 2 представлены зависимости максимальных напряжений от величины относительного размера пластины Расчет выполнен для круглой стальной пластины, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки интенсивностью p0 = 0,1 МПа. Из рис. 2 следует, что для относительно толстых пластин, когда < 50, предлагаемая методика и классическая теория жестких пластин дают близкие результаты расчетов изгибающих моментов. При этом значения напряжений от мембранных усилий оказываются существенно ниже значений напряжений от изгибающих моментов. Однако с увеличением отношения напряжения от изгибающих моментов существенно различаются, что связано с увеличением роли мембранных усилий. При отношении > 140 мембранные напряжения становятся преобладающими над изгибными напряжениями. Таким образом, предлагаемая методика позволяет более объективно оценить напряженное состояние гибких пластин, являющихся промежуточными в классификации по условиям нагружения между жесткими и абсолютно гибкими пластинами (мембранами). Учет мембранных усилий дает возможность произвести объективную оценку прочности гибких пластин с использованием соответствующих критериев прочности [6]. Данная методика может быть использована также при оценке технологических параметров при штамповке деталей с использованием эластичной, жидкостной или газовой среды [7]. Использование данной методики позволяет достаточно определить переход заготовки в пластическое состояние, который определяется условием пластичности [8] где - интенсивность напряжений; - предел текучести материала заготовки. Таким образом, в работе предложена методика расчета круглых гибких пластин с использованием энергетического подхода и реализацией его с помощью вариационного метода Ритца-Тимошенко. Показана возможность определения напряженно-деформированного состояния и оценки прочности круглых пластин при наличии больших прогибов. На примере расчета изгиба защемленной по контуру круглой пластины, находящейся под действием равномерно распределенного давления, показаны особенности напряженно-деформированного состояния круглых пластин при наличии больших прогибов. Предложенная методика может быть применена в технологических задачах обработки металлов давлением, в частности при расчетах параметров процессов листовой штамповки с использованием эластичной, жидкостной или газовой среды.

About the authors

G. L Kolmogorov

Perm National Research Polytechnic University

Email: dpm@pstu.ru

T. E Mel’nikova

Perm National Research Polytechnic University

Email: dpm@pstu.ru

References

Statistics

Views

Abstract - 28

PDF (Russian) - 14

Refbacks

• There are currently no refbacks.