Full Text

Введение Для решения уравнений математической физики, которые описывают, в частности, явления переноса температуры [1], наиболее широко используют метод конечных разностей. Выбор данного численного метода обусловлен относительной простотой его реализации на электронных вычислительных машинах. Также он позволяет достаточно точно моделировать процессы теплообмена в многослойных композитных конструкциях, которые имеют широкое применение во многих отраслях промышленности [2; 3]. При решении задач теплопроводности методом конечных разностей исследуемое тело представляют в виде совокупности узлов. Значение температуры в каждом узле сетки определяют из системы линейных алгебраических уравнений, которая получена путем аппроксимации частных производных исходного дифференциального уравнения и его граничных условий конечными разностями. Конечно-разностный аналог для производных в окрестности i-го внутреннего узла сетки каждой области, согласно неявной схеме (рис. 1), имеет вид [4; 5] , , (1) На рис. 1 показана четырехточечная разностная схема. Три точки данной схемы берутся на новом временном слое, а одна точка со старого временного слоя. Данный способ аппроксимации производных называется неявным, так как поле температуры на новом временном слое представлено неявно, то есть для его определения необходимо решить систему уравнений [5]. Рис. 1. Шаблон неявной разностной схемы Цель работы - описать применение метода конечных разностей для решения задачи теплообмена в многослойной композитной конструкции с сотовым заполнителем на этапе предварительного разогрева изделия при его автоклавном формовании. Модель Рассмотрим задачу нагрева многослойной композитной конструкции с сотовым заполнителем, помещенную в герметичную камеру (автоклав). Будем считать, что распределение температуры в каждом слое изотропно и в начальный момент времени принимается равной температуре среды. Подается температура на границах образца и изменяется только в направлениях, перпендикулярных границе, что позволяет провести анализ теплообмена через плоскую бесконечную пластину. Нестационарный процесс теплопроводности для многослойной композитной конструкции с сотовым заполнителем описывается системой дифференциальных уравнений [6; 7]: , , , , (2) с начальными условиями ; (3) граничными условиями , (4) (5) и граничными условиями 4-го рода на поверхностях контакта слоев ; , , (6) где - температура тела на глубине x в момент времени τ, - коэффициент температуропроводности слоев; - удельная теплоемкость, - теплопроводность слоев и теплопроводность соответствующих слоев, , - коэффициенты конвективной теплоотдачи от внешних поверхностей в окружающую среду, , - температуры окружающей среды, , - координаты границ -й области, , - функция источника теплоты, - плотность материала слоев. Аппроксимируя частные производные конечными разностями (1), получим уравнения вида , (7) , где - точки разбиения первого слоя, - точки разбиения второго слоя, ..., - точки разбиения -го слоя. Аналитическое решение поставленной краевой задачи приведено в работе [8]. Аппроксимация поставленной дифференциальной задачи конечно-разностной (7) имеет первый порядок точности по времени и второй по пространственной координате . Неявная разностная схема при этом является абсолютно устойчивой, поэтому интегрирование краевой задачи можно проводить с любым разностным шагом по времени [9]. Перепишем (7) в следующем виде: или , и, группируя слагаемые относительно , , получим . Таким образом, полученная система линейных алгебраических уравнений была сведена к трехточечным разностным уравнениям , (8) где , , . Система (8) решается методом прогонки. Метод прогонки является одним из вариантов метода Гаусса, наиболее полно учитывающим специфику структуры сеточных уравнений. Преимущества метода прогонки, по сравнению с другими методами решения систем линейных алгебраических уравнений, заключаются в следующем: • достаточно малое число арифметических действий при решении системы; • слабая чувствительность к вычислительным погрешностям [10]. Предполагая в (8), что или (9) получим , откуда и . (10) Равенство (10) для всех совпадает с (9), поэтому , . (11) Для нахождения прогоночных коэффициентов и используем граничные условия (4), которые запишем в виде , откуда и . Таким образом, , . (12) Для вычисления воспользуемся условием (5), которое запишем в виде и выразим , откуда . Учитывая (9), получим . Выполнив элементарные преобразования, запишем последнее выражение в виде , из которого найдём граничное значение (13) В точках контакта слоев материала прогоночные коэффициенты найдём, используя условия сопряжений (6). Аппроксимация первого порядка условий (6) имеет вид (14) где - теплопроводность -го слоя. Подставим во второе равенство условия (14) прогоночное соотношение : или . Из последнего равенства выразим . В точках контакта различных слоев прогоночные коэффициенты имеют вид , , . (15) Таким образом, прогоночные коэффициенты при решении системы (8) в узловых точках внутри слоев конструкции находим по формулам (11), учитывая теплофизические характеристики слоев, а в точках контакта используем соотношения (15). Используя найденные прогоночные коэффициенты последовательно, найдём значения температур , , ..., по формулам (9). Прогонку называют корректной, если знаменатели прогоночных коэффициентов не обращаются в нуль, и устойчивой, если во всех узловых точках выполняется условие . Достаточные условия корректности и устойчивости прогонки уравнений (9): : и доказаны в [12]. Результаты Численный метод реализован разработанной программой в объектно-ориентированной среде программирования BorlandDelphi 7.0, которая дает возможность определить температурное поле внутри многослойной конструкции в любой момент времени. Разработанная программа позволяет визуализировать геометрическую модель рассматриваемой конструкции, решать поставленную задачу при различных краевых условиях для материалов с различными теплофизическими свойствами и представлять полученные результаты в виде графической интерпретации. На рис. 2 представлен интерфейс программы. Рис. 2. Интерфейс программы и визуализация модели изделия Диалоговое окно программы содержит пять блоков, в которых используются следующие обозначения: kн - количество нижних слоев стеклоткани; kсот - количество слоев сотового заполнителя; kв - количество верхних слоев стеклоткани; l - толщина одного слоя стеклоткани; h - толщина сотового слоя; m - количество шагов по времени; T0 - температура в начальный момент времени; Tmax - температура полимеризации; T - температура на границе; tp - время полимеризации; t - расчетное время; v - скорость изменения температуры λ - теплопроводность; ρ - плотность; C - теплоемкость. В качестве примера покажем результаты численного расчета распределения температур в девятислойной композитной конструкции с сотовым заполнителем (см. рис. 2). Сотовый заполнитель на данном рисунке очерчен красным контуром. Согласно технологическому процессу, нагрев конструкции доводят до (125 ± 5)° С со скоростью не более 1-2° С/мин. На рис. 3 показано разбиение оси Ох на N = 50 узлов. Рис. 3. Расположение узлов разбиения образца Расчетные распределения температуры по толщине образца в различные моменты времени представлены на рис. 4. Анализируя полученные зависимости, можно сделать вывод, что возрастание температуры по толщине образца протекает неравномерно. Разница температуры на границе образца и в точке соединения стеклоткани с сотовым слоем более 5° С, что является нарушением технологических требований изготовления многослойных конструкций. Нагревание сотого слоя изделия происходит намного медленнее слоев стеклоткани, что в дальнейшем приведет к замедлению движения фронта полимеризации. Рис. 4. Распределение температуры по толщине образца, авторские результаты На рис. 5 показаны зависимости температуры от времени в различных узлах образца в сопоставлении с теоретическим графиком. Совпадение с теоретическим значением температур происходит только в 1-м узле, который находится на границе материала. Несущественное отличие наблюдается в слоях из стеклоткани (на рис. 5 это 3-й узел). В узлах 13 и 46, находящихся на границе стеклоткани, с течением времени отклонение значений температуры от теоретического увеличивается. В узлах, расположенных в сотовом слое (например, в 25-м узле), это отклонение более значительное. Таким образом, распределение температуры на границе материала и её окрестностях незначительно отличается от теоретических значений. Вблизи же контакта с сотовым слоем и в самом сотовом слое эта закономерность нарушается. Рис. 5. Зависимость температуры от времени, авторские результаты Заключение При автоклавном формовании изделия необходимо обеспечить строгое выполнение технологических требований ведения процесса. Одним из параметров технологического процесса является скорость, подъема температуры в автоклаве, а также величина и стабильность температуры формования [14; 15]. Невозможность учета температурных процессов, происходящих внутри конструкции, осложняет изготовление качественного изделия. В данной работе сделана попытка решить эту проблему путем моделирования теплообменных процессов и решения задачи численным методом. Получены зависимости температуры внутри конструкции, анализ которых показывает, что наличие сотового слоя оказывает влияние на теплообменные процессы. Это связано с тем, что теплофизические характеристики этого слоя отличаются от свойств стеклоткани, и нагревание изделия до нужной температуры происходит дольше, чем предполагалось. Полученные результаты дают возможность оперативно регулировать температуру при изготовлении изделий методом автоклавного формования. Таким образом, в данной работе представлены результаты численного расчета теплообмена в многослойной композитной конструкции с сотовым заполнителем на этапе предварительного разогрева при их изготовлении.

About the authors

E. O Karakulina

Orenburg State Pedagogical University

V. V Tugov

Orenburg State University

References

Statistics

Views

Abstract - 131

PDF (Russian) - 78

Refbacks

• There are currently no refbacks.