NUMERICAL CALCULATION OF HEAT TRANSFER IN A MULTILAYER COMPOSITE STRUCTURE WITH HONEYCOMB FILLER DURING AUTOCLAVE MOLDING AT THE HEATING STAGE

Abstract


The production of any multilayer structure begins with the development of technological documentation, which describes, among other things, the temperature regimes during their manufacture. Conventionally, the temperature process of polymerization can be divided into three stages: preheating, temperature stabilization and cooling. The paper presents the results of a numerical calculation of temperature fields in a multilayer composite structure with a honeycomb filler during its manufacture by autoclave molding at the preheating stage. This method of manufacturing composite structures makes it possible to mold parts of varying complexity and dimensions, the demand for which is growing in such industries as mechanical engineering, aircraft building, and shipbuilding. The requirements for the quality of such products are increasing, which is greatly influenced by compliance with the temperature regime during molding. Conducting direct experiments requires large energy costs, therefore, to solve the problem of controlling heat exchange processes inside the structure, mathematical models were developed that describe these processes. A non-stationary heat conduction problem is formulated for a multilayer unbounded plate with a constant initial distribution, boundary conditions of the third kind on the outer boundaries, and boundary conditions of the fourth kind on the contact surfaces of the layers. Using the finite element method, the problem is reduced to three-point difference equations, the solution of which is found by the sweep method. The determination of the sweep coefficients is shown taking into account the thermal characteristics of the layers. The results of a numerical calculation of the temperature distribution for a nine-layer composite structure with a honeycomb core are presented. The numerical calculation was carried out using the developed program in the BorlandDelphi 7.0 object-oriented programming environment. The results obtained are presented in the form of graphic dependences of the temperature over the thickness of the sample at different points in time, as well as the dependence of temperature on time at various nodes of the sample in comparison with the theoretical curve. An analysis of these dependences was carried out, which showed that the heating of the sample occurs unevenly over its thickness. The deviation from the theoretical temperature values is observed in the layers located closer to the honeycomb layer. This can adversely affect the course of the polymerization step, which is characterized by the conversion of the binder into a polymer, and occurs at certain temperatures. Therefore, achieving the desired temperature values at the stage of heating the structure is important for the manufacture of reliable and durable structures that can withstand extreme operating conditions. The obtained temperature distributions make it possible to correct the technological process of manufacturing various multilayer structures at the stage of its development, which will reduce the economic costs of production.

Full Text

Введение Для решения уравнений математической физики, которые описывают, в частности, явления переноса температуры [1], наиболее широко используют метод конечных разностей. Выбор данного численного метода обусловлен относительной простотой его реализации на электронных вычислительных машинах. Также он позволяет достаточно точно моделировать процессы теплообмена в многослойных композитных конструкциях, которые имеют широкое применение во многих отраслях промышленности [2; 3]. При решении задач теплопроводности методом конечных разностей исследуемое тело представляют в виде совокупности узлов. Значение температуры в каждом узле сетки определяют из системы линейных алгебраических уравнений, которая получена путем аппроксимации частных производных исходного дифференциального уравнения и его граничных условий конечными разностями. Конечно-разностный аналог для производных в окрестности i-го внутреннего узла сетки каждой области, согласно неявной схеме (рис. 1), имеет вид [4; 5] , , (1) На рис. 1 показана четырехточечная разностная схема. Три точки данной схемы берутся на новом временном слое, а одна точка со старого временного слоя. Данный способ аппроксимации производных называется неявным, так как поле температуры на новом временном слое представлено неявно, то есть для его определения необходимо решить систему уравнений [5]. Рис. 1. Шаблон неявной разностной схемы Цель работы - описать применение метода конечных разностей для решения задачи теплообмена в многослойной композитной конструкции с сотовым заполнителем на этапе предварительного разогрева изделия при его автоклавном формовании. Модель Рассмотрим задачу нагрева многослойной композитной конструкции с сотовым заполнителем, помещенную в герметичную камеру (автоклав). Будем считать, что распределение температуры в каждом слое изотропно и в начальный момент времени принимается равной температуре среды. Подается температура на границах образца и изменяется только в направлениях, перпендикулярных границе, что позволяет провести анализ теплообмена через плоскую бесконечную пластину. Нестационарный процесс теплопроводности для многослойной композитной конструкции с сотовым заполнителем описывается системой дифференциальных уравнений [6; 7]: , , , , (2) с начальными условиями ; (3) граничными условиями , (4) (5) и граничными условиями 4-го рода на поверхностях контакта слоев ; , , (6) где - температура тела на глубине x в момент времени τ, - коэффициент температуропроводности слоев; - удельная теплоемкость, - теплопроводность слоев и теплопроводность соответствующих слоев, , - коэффициенты конвективной теплоотдачи от внешних поверхностей в окружающую среду, , - температуры окружающей среды, , - координаты границ -й области, , - функция источника теплоты, - плотность материала слоев. Аппроксимируя частные производные конечными разностями (1), получим уравнения вида , (7) , где - точки разбиения первого слоя, - точки разбиения второго слоя, ..., - точки разбиения -го слоя. Аналитическое решение поставленной краевой задачи приведено в работе [8]. Аппроксимация поставленной дифференциальной задачи конечно-разностной (7) имеет первый порядок точности по времени и второй по пространственной координате . Неявная разностная схема при этом является абсолютно устойчивой, поэтому интегрирование краевой задачи можно проводить с любым разностным шагом по времени [9]. Перепишем (7) в следующем виде: или , и, группируя слагаемые относительно , , получим . Таким образом, полученная система линейных алгебраических уравнений была сведена к трехточечным разностным уравнениям , (8) где , , . Система (8) решается методом прогонки. Метод прогонки является одним из вариантов метода Гаусса, наиболее полно учитывающим специфику структуры сеточных уравнений. Преимущества метода прогонки, по сравнению с другими методами решения систем линейных алгебраических уравнений, заключаются в следующем: • достаточно малое число арифметических действий при решении системы; • слабая чувствительность к вычислительным погрешностям [10]. Предполагая в (8), что или (9) получим , откуда и . (10) Равенство (10) для всех совпадает с (9), поэтому , . (11) Для нахождения прогоночных коэффициентов и используем граничные условия (4), которые запишем в виде , откуда и . Таким образом, , . (12) Для вычисления воспользуемся условием (5), которое запишем в виде и выразим , откуда . Учитывая (9), получим . Выполнив элементарные преобразования, запишем последнее выражение в виде , из которого найдём граничное значение (13) В точках контакта слоев материала прогоночные коэффициенты найдём, используя условия сопряжений (6). Аппроксимация первого порядка условий (6) имеет вид (14) где - теплопроводность -го слоя. Подставим во второе равенство условия (14) прогоночное соотношение : или . Из последнего равенства выразим . В точках контакта различных слоев прогоночные коэффициенты имеют вид , , . (15) Таким образом, прогоночные коэффициенты при решении системы (8) в узловых точках внутри слоев конструкции находим по формулам (11), учитывая теплофизические характеристики слоев, а в точках контакта используем соотношения (15). Используя найденные прогоночные коэффициенты последовательно, найдём значения температур , , ..., по формулам (9). Прогонку называют корректной, если знаменатели прогоночных коэффициентов не обращаются в нуль, и устойчивой, если во всех узловых точках выполняется условие . Достаточные условия корректности и устойчивости прогонки уравнений (9): : и доказаны в [12]. Результаты Численный метод реализован разработанной программой в объектно-ориентированной среде программирования BorlandDelphi 7.0, которая дает возможность определить температурное поле внутри многослойной конструкции в любой момент времени. Разработанная программа позволяет визуализировать геометрическую модель рассматриваемой конструкции, решать поставленную задачу при различных краевых условиях для материалов с различными теплофизическими свойствами и представлять полученные результаты в виде графической интерпретации. На рис. 2 представлен интерфейс программы. Рис. 2. Интерфейс программы и визуализация модели изделия Диалоговое окно программы содержит пять блоков, в которых используются следующие обозначения: kн - количество нижних слоев стеклоткани; kсот - количество слоев сотового заполнителя; kв - количество верхних слоев стеклоткани; l - толщина одного слоя стеклоткани; h - толщина сотового слоя; m - количество шагов по времени; T0 - температура в начальный момент времени; Tmax - температура полимеризации; T - температура на границе; tp - время полимеризации; t - расчетное время; v - скорость изменения температуры λ - теплопроводность; ρ - плотность; C - теплоемкость. В качестве примера покажем результаты численного расчета распределения температур в девятислойной композитной конструкции с сотовым заполнителем (см. рис. 2). Сотовый заполнитель на данном рисунке очерчен красным контуром. Согласно технологическому процессу, нагрев конструкции доводят до (125 ± 5)° С со скоростью не более 1-2° С/мин. На рис. 3 показано разбиение оси Ох на N = 50 узлов. Рис. 3. Расположение узлов разбиения образца Расчетные распределения температуры по толщине образца в различные моменты времени представлены на рис. 4. Анализируя полученные зависимости, можно сделать вывод, что возрастание температуры по толщине образца протекает неравномерно. Разница температуры на границе образца и в точке соединения стеклоткани с сотовым слоем более 5° С, что является нарушением технологических требований изготовления многослойных конструкций. Нагревание сотого слоя изделия происходит намного медленнее слоев стеклоткани, что в дальнейшем приведет к замедлению движения фронта полимеризации. Рис. 4. Распределение температуры по толщине образца, авторские результаты На рис. 5 показаны зависимости температуры от времени в различных узлах образца в сопоставлении с теоретическим графиком. Совпадение с теоретическим значением температур происходит только в 1-м узле, который находится на границе материала. Несущественное отличие наблюдается в слоях из стеклоткани (на рис. 5 это 3-й узел). В узлах 13 и 46, находящихся на границе стеклоткани, с течением времени отклонение значений температуры от теоретического увеличивается. В узлах, расположенных в сотовом слое (например, в 25-м узле), это отклонение более значительное. Таким образом, распределение температуры на границе материала и её окрестностях незначительно отличается от теоретических значений. Вблизи же контакта с сотовым слоем и в самом сотовом слое эта закономерность нарушается. Рис. 5. Зависимость температуры от времени, авторские результаты Заключение При автоклавном формовании изделия необходимо обеспечить строгое выполнение технологических требований ведения процесса. Одним из параметров технологического процесса является скорость, подъема температуры в автоклаве, а также величина и стабильность температуры формования [14; 15]. Невозможность учета температурных процессов, происходящих внутри конструкции, осложняет изготовление качественного изделия. В данной работе сделана попытка решить эту проблему путем моделирования теплообменных процессов и решения задачи численным методом. Получены зависимости температуры внутри конструкции, анализ которых показывает, что наличие сотового слоя оказывает влияние на теплообменные процессы. Это связано с тем, что теплофизические характеристики этого слоя отличаются от свойств стеклоткани, и нагревание изделия до нужной температуры происходит дольше, чем предполагалось. Полученные результаты дают возможность оперативно регулировать температуру при изготовлении изделий методом автоклавного формования. Таким образом, в данной работе представлены результаты численного расчета теплообмена в многослойной композитной конструкции с сотовым заполнителем на этапе предварительного разогрева при их изготовлении.

About the authors

E. O Karakulina

Orenburg State Pedagogical University

V. V Tugov

Orenburg State University

References

  1. Кошляков Н.С., Глинер Н.С., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. - М.: Высш. школа, 1970. - 712 с.
  2. Akimov A., Tugov V. Mathematical models of thermalphysic processes in the production of multilayer composites by the polymerization method // International Review of Automatic Control. - 2017. - Vol. 10, iss 5. - P. 426-432. - doi: 10.15866/ireaco.v10i5.12437
  3. Mathematical Models of Heat Exchange in Multilayer Constructions with Various Thermalphysic Characteristics in Industrial / A.I. Akimov, E.O. Karakulina, I.A. Akimov, V.V. Tugov // International Review on Modelling and Simulations 2018. - Vol. 11, iss 2. - P. 59-66. - doi: 10.15866/iremos.v11i2.13904
  4. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1977. - 656 с.
  5. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию). - М.: Наука, 1977. - 440 с.
  6. Карташов. Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. - М.: Высшая школа, 1985. - 479 с.
  7. Туголуков, Е.Н. Решение задач теплопроводности методом конечных интегральных преобразований: учебное пособие. - Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2005. - 116 с.
  8. Акимов, И.А., Каракулина Е.О. Исследование разработка математической модели на первом этапе производства некоторых типов композиционных материалов в установках Шольца // Научно-технический вестник Поволжья. - 2016. - № 1. - С. 54-58.
  9. Кузнецов. Г.В., Шеремет М.А. Разностные методы решения задач теплопроводности: учебное пособие / Томский политехнический университет. - Томск: Изд-во ТПУ, 2007. - 172 с.
  10. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. - М.: Высшая школа, 2002. - 840 c.
  11. Лыков А.В. Теория теплопроводности. - М: Высшая школа, 1967. - 599 с.
  12. Самарский А.А. Устойчивость разностных схем. - М.: Наука, 1973. - 416 с.
  13. Панин В.Ф., Гладков Ю.А. Конструкции с заполнителем: Справочник. - М.: Машиностроение, 1991. - 272 с.
  14. Феоктистов В.С. Автоклавное формование элементов конструкций летательных аппаратов из полимерных композиционных материалов: метод. указания / Самар. гос. аэрокосм. ун-т. - Самара, 1995. - 32 с.
  15. Берсудский В.Е., Крысин В.Н., Лесных С.И. Технология изготовления сотовых авиационных конструкций. - М.: Машиностроение, 1975. - 296 с.

Statistics

Views

Abstract - 61

PDF (Russian) - 46

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies