Investigation of the stability of one difference equation with complex coefficients

Abstract


We study the stability of a linear autonomous difference equation with two (generally speaking, complex) coefficients. The starting point of the study is the Schur-Kohn theorem on the location of the roots of the characteristic equation with respect to the unit disk in the complex plane. To construct the domain of exponential stability in the parameter space, we use the D decompodition method, which consists in constructing curves (or surfaces) such that the number of roots of the characteristic equation outside the unit disk changes when passing through the curves; then the area is determined, which corresponds to the zero number of such roots; this is the area of stability. We implement this scheme for the above difference equation: geometric stability criteria are found and the domains of exponential stability in a four-dimensional space of coefficients are described, as well as their three-dimensional, two-dimensional and one-dimensional sections. The Lyapunov stability is studied separately, which is corresponded by the domain of exponential stability supplemented by a part of its boundary. To describe Lyapunov stability exactly we use a "multiplicity curve", which is a line such that all its points correspond to multiple roots of the characteristic equation. In addition, we find and construct a domain of absolute stability with respect to one of the parameters of the initial equation. For this domain, we formulate criteria of exponential stability and Lyapunov stability.The results obtained can be applied to the study of processes in physics, technology, economics, biology, which are modeled using discrete models in the form of difference equations.

Full Text

Развитие теории разностных уравнений [1–4] со времен появления дифференциального и интегрального исчислений долгое время проходило в тени работ, посвященных дифференциальным уравнениям, а основной областью применения разностных уравнений являлись приближенные решения дифференциальных уравнений. Ситуация изменилась в последние два десятилетия ХХ в.: количество работ, посвященных разностным уравнениям, начало резко возрастать. Причиной этого явилось стремительное развитие вычислительной техники, а вместе с ней и численных методов, где дискретные исчисления нашли применение в полном объеме [5–9], но не меньшую роль сыграло появление большого количества дискретных моделей, для описания которых тоже используются разностные уравнения [10–12]. Ныне теория разностных уравнений, оставаясь по-прежнему тесно связанной с теорией дифференциальных уравнений, представляет собой уже вполне самостоятельный раздел теории динамических систем.Теория линейных разностных уравнений подобна классической теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений [1–3]. В частности, для них построена теория устойчивости, аналогичная теории устойчивости дифференциальных уравнений [4; 5]. Устойчивость автономных разностных уравнений определяется расположением корней характеристического уравнения относительно единичного круга в комплексной плоскости. Важной задачей является поиск геометрических критериев устойчивости, т.е. описание областей устойчивости в пространстве коэффициентов. В данной работе рассматривается линейное автономное разностное уравнение с комплексными коэффициентами, для которого исследуется расположение на комплексной плоскости корней его характеристического уравнения, на основе чего строится область устойчивости в пространстве параметров. Обращение к разностным уравнениям с комплексными коэффициентами связано с необходимостью изучать не только скалярные, но и векторные разностные уравнения (системы). За счет преобразования координат некоторым важным классам систем удается придать треугольную форму, т.е. свести их к набору скалярных уравнений, но, вообще говоря, с комплексными коэффициентами.

About the authors

I. A. Aksenenko

Perm National Research Polytechnic University

References

  1. Elaydi S. An Introduction to Difference Equations. – N.Y.: Springer, 2005. – 539 с.
  2. Гельфанд А.О. Исчисление конечных разностей. – М.: Наука, 1967. – 376 с.
  3. Самарский А.А., Карамзин Ю.Н. Разностные уравнения. – М.: Знание, 1978. – 64 с.
  4. Мартынюк Д.И. Лекции по качественной теории разностных уравнений. – Киев: Наукова думка, 1972. – 246 с.
  5. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. – М.: Мир, 1971. – 310 с.
  6. Литвинова Э.В. Применение метода конечных разностей для решения динамических задач // Международный научно-исследовательский журнал. – 2017. – Вып. 6. – С. 145–149.
  7. Радаченко В.П., Зотеев В.Е. Определение динамических характеристик механической системы на основе стохастических разностных уравнений колебаний // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2007. Вып. 1. С. 3-10.
  8. Разностные схемы метода опорных операторов для уравнения теории упругости в цилиндрической геометрии / Ю.А. Повещенко, В.А. Гасилов, М.Е. Ладонкина, В.О. Под-рыга, И.С. Насекин // Препринты ИМП им. М.В. Келдыша. – 2018. – № 142. – С. 1–22. doi: 10.20948/prepr-2018-142
  9. Оптимальные вычислительные технологии в математическом моделировании нелинейных задач механики деформируемого твёрдого тела / В.Г. Дмитриев, С.И. Жаворонок, Е.К. Коровин, В.Г. Москвитин // Инженерная физика. – 2008. – № 6. – С. 2–5.
  10. Beverton R.J.H., Holt S.J. On the dynamics of exploited fish population // Fishery investigation. – 1957. – Ser. 2, № 19. – Р. 1–533.
  11. Pielou E.C. An introduction to mathematical ecology. – New York: : Wiley Interscience, 1969. – 294 p.
  12. Pielou E.C. Population and community ecology. – N.Y.: Gordon and Breach, 1974. – 424 p.
  13. Неймарк Ю.И. Устойчивость линеаризованных систем (дискретных и распределенных). – Л.: ЛКВВИА, 1949. – 140 с.
  14. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. – М.: Наука, 1978. – 336 с.

Statistics

Views

Abstract - 138

PDF (Russian) - 101

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies