Modeling of objects in the form of superposition of states

Abstract


It is shown that the solution of certain problems of the dynamics appropriate and often the only acceptable is the presentation of the state of the object in a superposition of its boundary conditions, and the intermediate state depends on the values of state functions that characterize the variability of the state of the object. It was noted that in many cases are non-linear function of the state, and their analytical representation often unknown, but for the model with mutually by equal boundary conditions state function, as a rule, are continuous and monotone on the interval studied, and the value of state functions varies from zero to unity; under these conditions, the state function in almost any way are investigated for the analytical range and can be represented as a series expansions, for example Taylor. It is shown that the characteristic type of practical problems which can be solved using the proposed method is to calculate the dynamics of bulk cargo platform in the commission of linear oscillations in a horizontal plane; main difficulty of this problem is the lack of even approximate data on dynamic friction coefficient of the generalized because its value significantly affect fragments move cargo in its entirety, and not only in the plane of contact with the platform. It is shown that the representation of the cargo as a superposition of its movable and stationary states can solve this and similar problems.

Full Text

Введение Пусть состояние объекта оценивается величиной x, при этом . Представление x в виде суперпозиции граничных состояний xa и xz имеет вид x = jaxa + jzxz, (1) где ja и jz - функции состояния. Принцип суперпозиции состояний широко используется в квантовой механике. В соответствии с ним если система может находиться в состоянии, изображаемом волновой функцией y1, и в состоянии y2, то может иметь место состояние y = c1y1 + c2y2, где комплексные функции c1 и c2 определяются из условия нормировки y [1]. При этом в квантовой механике принцип суперпозиции трактуется в более широком смысле, чем (1), поскольку y1 и y2 не обязательно являются граничными состояниями. В некоторых случаях выражение (1) существенно упрощает решение задач. Пример 1. В скорость объекта изменяется по закону . При этом , , . Среднее значение скорости (частный случай промежуточного значения) может определяться суперпозицией его граничных состояний: , которая позволяет при вычислении перемещения объекта заменить отыскание интеграла Римана произведением на длину интервала интегрирования. В ряде случаев, особенно когда x может быть определено лишь экспериментально, при его аналитическом описании представление (1) бывает единственно приемлемым. Актуальность темы может быть подкреплена примером необходимости расчета динамики платформы с сыпучим грузом при совершении линейных колебаний в горизонтальной плоскости [2-5]. Основная трудность этой задачи состоит в отсутствии даже приблизительных сведений об обобщенном коэффициенте динамического трения, поскольку на его величину существенно влияют перемещения фрагментов груза во всем его объеме, а не только в плоскости соприкосновения с платформой. Представление состояния груза в виде суперпозиции его подвижного и неподвижного состояний позволяет решать эту и подобные задачи. Дальнейшее рассмотрение ограничивается широко распространенными в практических задачах моделями с взаимоисключающими равновеликими граничными состояниями. 1. Суперпозиция взаимоисключающих равновеликих граничных состояний Такими состояниями могут быть, в частности, xa - неподвижность объекта относительно некой системы отсчета, xz - его подвижность или xa - твердость [6], xz - пластичность [7, 8] объекта и т.п. При этом . (2) Из этого следует, что ja + jz = 1 и промежуточное состояние можно представить в виде x = jaxa + (1 - ja)xz = (1 - jz)xa + jzxz. Пример 2. Инертный объект расположен на платформе, совершающей линейные колебания в горизонтальной плоскости относительно системы отсчета. Состоянию xa соответствует максимальная частота колебаний wa, при которой груз остается неподвижным относительно платформы за счет статической силы трения. При этом он совершает колебания относительно системы отсчета с теми же частотой и амплитудой, что и платформа. Состоянию xz соответствует минимальная частота wz, при которой груз остается неподвижным относительно системы отсчета благодаря инерции. При этом он совершает колебания относительно платформы с теми же частотой и амплитудой. Очевидно, что wa < wz. При частоте wa < w < wz ja-я часть груза условно может считаться неподвижной относительно платформы, jz-я часть - подвижной. В приведенном примере функции состояния связаны с частотой колебаний, которая является переменной состояния. Переменными состояния могут быть другие величины - время, скорость, температура, процентное содержание углерода или легирующих и т.д. 2. Функции состояния Пусть x - переменная состояния, . Переменная состояния является аргументом функции состояния. Функции состояния могут быть линейными: , , (3) , . Во многих случаях функции состояния являются нелинейными, при этом чаще всего их аналитическое изображение неизвестно. Для рассматриваемых моделей с взаимоисключающими равновеликими граничными состояниями функции состояния, как правило, являются непрерывными и монотонными на интервале [xa, xz]. При этом ja изменяется от 1 до 0, а jz - от 0 до 1. При этих условиях функции состояния почти в любом случае являются аналитическими на интервале [xa, xz] и могут быть представлены в виде разложений в ряды [9], например, Тейлора: (4) при условии пренебрежимой малости остаточного члена. Здесь . В пользу ряда Тейлора говорит, например, то, что (3) является его частным случаем при n = 1. Величины (5) можно рассматривать как параметры функции состояния. Для их определения необходимо найти, например, экспериментально помимо еще n конкретных значений функции состояния ja(x1), ja(x2),…, ja(xn) и составить в соответствии с (4) систему из n уравнений с n неизвестными. Поскольку граничные значения функции состояния известны, границы интервала [xa, xz] без труда можно определить в соответствии с (4). Если, в частности, xa - неподвижность, а xz - подвижность объекта (как в примере 2), то ja(x) можно рассматривать как функцию неподвижности, а jz(x) - как функцию подвижности. При этом (5) являются параметрами функций подвижности и неподвижности. Если xa - твердость, а xz - пластичность объекта, то ja(x) можно рассматривать как функцию твердости, а jz(x) - как функцию пластичности. При этом переменной состояния может быть процентное содержание углерода или легирующих. Аналогичным образом могут определяться функции для других состояний. Пример 3. Для системы, описанной в примере 2, экспериментально получены следующие данные: nw = 8 c-1 (рабочий режим) (n = = w/2p), ja(nw) = 0,320; n1 = 3 c-1, ja(n1) = 0,822; n2 = 5 c-1, ja(n2) = 0,579; n3 = 12 c-1, ja(n3) = 0,122. Система уравнений для этих данных в соответствии с (4) имеет вид . Решение системы: , , . Таким образом, функция неподвижности (4) имеет вид . Функция подвижности соответственно - . По известным граничным значениям функций состояния (0 и 1) определяются граничные значения переменной состояния: na = 1,8 c-1, nz = 17,2 c-1. На рисунке изображены функции состояния для рассматриваемого примера. n nz nw na ja(n) jz(n) 0 jaw jzw 1 j Рис. Функции состояния Состояние груза на рабочей частоте nw = 8 c-1 определяется суперпозицией его граничных состояний x = ja(nw)xa + jz(nw)xz = 0,32xa + 0,68xz. Для определения инерционных и диссипативных нагрузок привода платформы суперпозиция граничных состояний может быть распространена на массу груза m. Для этого выражение (2) следует разделить на |x| и умножить на m: m = ja(nw)m + jz(nw)m = 0,32m + 0,68m. Это можно условно интерпретировать таким образом, что груз массой 0,32m совершает колебания вместе с платформой, внося вклад в инерционную нагрузку, а груз массой 0,68m за счет подвижности относительно платформы создает силу трения и соответствующую диссипативную нагрузку. Этот способ может использоваться для объектов с другими параметрами и состояниями. 3. Пример алгоритма экспериментального определения значений функций состояния Платформу в примерах 2 и 3 можно заменить на две платформы с общим приводным валом, совершающие колебания с одинаковыми фазами или в противофазах. При отсутствии груза измеряется мощность P, развиваемая приводом на частоте nc. Она состоит из двух неизвестных частей - P11 и P21, обусловленных соответственно инерционными и диссипативными нагрузками. После этого от общего вала платформам сообщают колебания той же частоты nc, сдвинутые друг относительно друга на четверть периода колебаний. В этом случае платформы обмениваются кинетической энергией между собой, а не с приводом, для которого в этой связи часть мощности, обусловленная инерционной нагрузкой, равна нулю [10]. Измеренная мощность привода равна P21. По измеренным P и P21 определяется P11. На платформы размещается груз и на той же частоте nc выполняются аналогичные измерения, в результате которых становятся известными величины P12 и P22. Искомая часть массы груза ja(nc)m, вносящая вклад в инерционную нагрузку, определяется разностью P12 - P11. Часть массы груза jz(nc)m, вносящая вклад в диссипативную нагрузку, определяется следующим образом: jz(nc) = m - ja(nc)m. По части диссипативной мощности P22 - P21 и jz(nc)m можно определить обобщенный коэффициент динамического трения системы груз - платформа, в том числе для сыпучего груза. Заключение Не всегда имеется возможность определить граничные состояния исследуемого объекта xa и xz. В этом случае вместо (1) можно использовать его обобщение: x = jb(x)xb + jy(x)xy, . Таким образом, представление состояния объекта в виде суперпозиции его известных состояний является удовлетворительной моделью для ряда задач.

About the authors

I. P. Popov

Kurgan State University

References

  1. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. - М.: Наука, 1976. - 664 с.
  2. Заика П.М. Динамика вибрационных зерноочистительных машин. - М.: Машиностроение, 1977. - 278 с.
  3. Лапшин И.П., Косилов Н.И. Расчет и конструирование зерноочистительных машин. - Курган: Зауралье, 2002. - 168 с.
  4. Основы теории и расчета сельскохозяйственных машин на прочность и надежность / под ред. П.М. Волкова, М.М. Тетенбаума. - М.: Машиностроение, 1977. - 310 с.
  5. Косилов Н.И. Состояние и тенденции развития зерноуборочных машин. - Челябинск: Изд-во Челяб. ин-та механики и электрификации сельского хозяйства, 1983. - 100 с.
  6. Переладов А.Б., Камкин И.П. Автоматизация режимно-инструментального оснащения операций шлифования с использованием компьютерных моделей инструмента и процесса обработки. - Курган: Изд-во Курган. гос. ун-та, 2014. - 94 с.
  7. Влияние параметров процесса пластической деформации на формирование технологических остаточных напряжений / Е.В. Кузнецова, Г.Л. Колмогоров, В.Н. Трофимов, А.Ю. Вавель // Прикладная математика и вопросы управления. - 2015. - № 1. - С. 26-35.
  8. Няшина Н.Д. Математическая модель деформирования стали при мартенситных переходах // Прикладная математика и вопросы управления. - 2015. - № 1. - С. 36-46.
  9. Попов И.П. О некоторых ограничениях применения интеграла Фурье // Прикладная математика и вопросы управления. - 2015. - № 1. - С. 19-25.
  10. Popov I.P. Free harmonic oscillations in systems with homogeneous elements // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. - 2012. - Vol. 76, iss. 4. - P. 393-395.

Statistics

Views

Abstract - 13

PDF (Russian) - 13

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies