Full Text

Объект управления (группу объектов) или систему, описываемые вектором свойств , определенных на множествах , принадлежащих фазовому пространству , будем называть многопараметрическими, если n > 1. В некоторых случаях в набор свойств многопараметрического объекта может входить параметр , зависящий от l свойств , , в отношении которого может быть сформулирована целевая функция и в результате изменения которого может быть сформулирован критерий эффективности управления, например . Если рассматривать коммерческую организацию как многопараметрическую систему или объект, то одним из свойств этого объекта будет прибыль, удовлетворяющая возможности описания в отношении нее целевой функции и задания критериев эффективности. В случае, если ни одно из свойств многопараметрического объекта не может выступать в качестве параметра, по которому будет определяться эффективность управления, или существует несколько свойств, по которым необходимо определять эффективность управления, то необходимо ввести дополнительный параметр где X - множество значений параметра эффективности, и сформулировать соответствующую целевую функцию в виде некоторого функционала g: Тогда может быть поставлена задача оптимизации при ограниченных ресурсах C (1): (1) где количество ресурсов , требуемых для достижения определенного значения свойства описывается затратной функцией CF: . (2) Под затратной функцией понимается функциональная зависимость затрат ресурсов на достижение определенного значения свойства. Задачу управления многопараметрическими объектами можно сформулировать в виде задачи поиска состояния исследуемого объекта , описываемого желаемым значением критерия эффективности за минимальное количество ресурсов , требуемых для достижения данного состояния что соответствует обратной задаче оптимизации (3): (3) Сложность решения задач (1) и (3) объясняется не только тем, что свойства объекта могут быть гетерогенными по отношению друг другу, но и тем, что некоторые свойства могут быть свойствами нечисловой природы, т.е. не количественно измеримыми, а качественно описываемыми, что определяет необходимость использования экспертных методов оценивания многопараметрических объектов (см., например, [1]). Согласно методологии управления [2] процедура оценивания объекта или системы заключается в поиске соответствия между фазовым и критериальным пространствами, где каждому свойству , соответствует параметр определенный на множестве Х, которые в совокупности по всем параметрам образуют критериальное пространство При этом для описания свойств объекта в критериальном пространстве целесообразно использовать то же множество значений показателей эффективности управления Х. В этом случае в критериальном пространстве гетерогенные свойства объекта представлены единым множеством, и их можно не просто сравнивать или описывать их различные сочетания, но и выполнять на качественном уровне количественные измерения. Это позволяет построить различные механизмы комплексного оценивания , например: линейные (см., например, [3]), нелинейные, основанные на средневзвешенных уравнениях (см., например, [4]), матричные (см., например, [5]), математическую основу которых составляет метод векторной стратификации [6], в том числе матричные механизмы с нечеткой процедурой комплексного оценивания (см., например, [7-10]). Последние механизмы следует выделить из этого списка, поскольку их можно использовать для оценки свойств как числовой, так и нечисловой природы с помощью теории нечетких множеств [11], в том числе лингвистических переменных [12]. Для решения задачи управления многокритериальным объектом, состояние которых описывается обычным матричным механизмом комплексного оценивания, используется алгоритм построения сети напряженных состояний [см., например, 13]. Состояние многопараметрического объекта или системы будем называть напряженным, если увеличение частного показателя хотя бы по одному параметру приводит к увеличению комплексного показателя, данное определение сформулировано по аналогии с [13]. Доказательство того, что оптимальное состояние объекта является напряженным, приведено также в работе [13]. При этом подчеркивается, что напряженное состояние, по существу, является Парето-оптимальным. Возможность построения сети напряженных состояний в случае, если для оценки многопараметрического объекта применяется процедура нечеткого комплексного оценивания, отмечается в работе [7]. Однако данный подход не был обобщен на случай непрерывных механизмов комплексного оценивания, что определило цель данной работы. Непрерывности механизмов комплексного оценивания удалось добиться благодаря предъявлению требований равенства единице суммы значений функций принадлежности {?X} в экспертных оценках и процедуре фаззификации значений х, принадлежащих непрерывной шкале Х (рисунок), согласно которой любое число (4) где - целая часть, с - дробная часть числа принадлежащего интервалу, образованному двумя ближайшими натуральными значениями множества Х, может быть представлено в виде нечеткого множества: . (5) Рис. Фаззификация значения непрерывной шкалы на примере четырехбалльной шкалы комплексного оценивания, где N(x) - целая часть значения х Метод нечеткого комплексного оценивания, основанный на аддитивно-мультипликативном подходе (см., например, [9, 10]), позволяет интерполировать дискретно заполненный матричный механизм комплексного оценивания так, что функция свертки двух параметров является монотонной и кусочно-гладкой, также могут быть определены и аналитически описаны кривые безразличия, соответствующие определенным значениям комплексного показателя. Приведем их графическое (ст. 4, таблица) и аналитическое (ст. 5, таблица) представления для класса так называемых [14] стандартных функций (ст. 1, таблица), имеющих логическую интерпретацию, описываемую естественным языком (ст. 2, таблица), образованных соседними дискретными значениями матрицы свертки (ст. 3, таблица), являющихся носителем нечеткого представления функции свертки. Благодаря аналитической записи кривых безразличия возможна постановка задачи управления в аналитическом виде. Приведем последовательно математическую постановку задачи управления многопараметрическими объектами, состояние которых описывается методом нечеткого комплексного оценивания. Кривая безразличия на подобласти определения матрицы свертки задается стандартной функцией (см. ст. 5, таблица): (6) Из выражения (6) можно представить зависимость одной переменной от другой при фиксированном значении комплексного показателя: (7) Свойства стандартных функций свертки, образованных четырьмя соседними элементами матрицы свертки Стандартная функция Интерпретация стандартной функции Заполнение соседних элементов матрицы свертки Графическое представление кривых безразличия Аналитическая запись кривых безразличия f0 Развитие частных критериев не дает роста свертки m m cc = m = const m m f1 Развитие обоих частных критериев дает рост свертки m + 1 m cc = m + c1c2 m m f2 Развитие только первого критерия дает рост свертки m + 1 m + 1 cc = m + c1 m m f3 Развитие только второго критерия дает рост свертки m + 1 m cc = m + c2 m + 1 m f4 Развитие любого частного критерия дает рост свертки m + 1 m + 1 cc = m + c1 + c2- c1c2 m + 1 m f5 Развитие любого частного критерия дает рост свертки, совместное развитие дает синергический эффект m + 2 m + 1 cc = m + c1 + c2 m + 1 m Зная затратные функции для развития обоих параметров, можно выразить общие затраты на развитие объекта: (8) а с учетом (4) и (7) общие затраты примут вид (9) Дифференцируем выражение (9) и приравниваем к нулю для поиска напряженного состояния: (10) Решая уравнение (10), найдем значение , являющееся локально оптимальным (на подобласти определения стандартной функции ) с точки зрения затрат на обеспечение требуемой комплексной оценки Подставив в (7), можно найти а подставив эти значения в (4), можно найти и соответственно. Найдя напряженные состояния (локально оптимальные решения) для всех стандартных функций , через которые проходит кривая безразличия, соответствующая заданному значению комплексного показателя отметим, что среди них будут значения параметров соответствующие по свойствам которые, в свою очередь, будут являться решением задачи (3). Поскольку и находятся для конкретного значения то при решении выражения (10) для всех будет найдена затратная функция комплексного показателя полученного методом нечеткого комплексного оценивания, определяющая оптимальные затраты на достижение каждого значения комплексного показателя. Целесообразна проверка следующего утверждения: на классе монотонных, строго возрастающих затратных функций, определяющих затраты, соответствующие состояниям частных параметров двухпараметрического объекта, описываемого нечетким механизмом комплексного оценивания, основанном на аддитивно-мультипликативном подходе к операциям объединения и пересечения нечетких множеств, сеть напряженных состояний двухпараметрического объекта будет иметь конечное число вершин. Следствием доказательства этого утверждения будет являться то, что для решения задачи управления многопараметрического объекта, состояние которого описывается методом нечеткого комплексного оценивания, может быть построен эффективный алгоритм поиска значений частных критериев (оптимальных с точки зрения затрат на их достижение), при которых достигается требуемое значение комплексной оценки. Под эффективностью алгоритма понимается следующее: для поиска оптимального управления будет требоваться лишь сравнение конечного числа вариантов, не превышающего числа подобластей, образованных дискретными значениями шкал комплексного оценивания, через которые проходит кривая безразличия, описываемая требуемым значением комплексного показателя. Если будет доказано, что конечное число напряженных состояний характерно для двухпараметрического объекта, то в случае описания многопараметрического объекта таким механизмом комплексного оценивания, который можно представить как последовательность бинарных механизмов (на которых сохранялось бы свойство строгой монотонности затратной функции комплексного показателя), данный подход мог бы применяться для оценки объектов, обладающих любым количеством свойств. Это определяет актуальность проверки следующего утверждения: на классе монотонных, строго возрастающих затратных функций двухпараметрического объекта затратная функция комплексного показателя, полученного методом нечеткого комплексного оценивания, определяющая оптимальные затраты на достижение каждого значения комплексного показателя, также обладает свойством строго возрастающей монотонности. Доказательство этого утверждения не приводится из-за ограниченного объема статьи. Отметим лишь, что доказательство построено на том, что кривые безразличия, определенные на всей области установления параметров свертки, полученные путем интерполяции с применением аддитивно-мультипликативного подхода к нечеткой процедуре комплексного оценивания, не пересекаются, и для сколь угодно малого увеличения значения комплексной оценки оптимальное значение затрат на его достижение будет больше, чем количество затрат, требуемое на его текущее состояние. Следствием доказательства справедливости этого утверждения будет то, что алгоритм поиска значений частных критериев (оптимальных с точки зрения затрат на их достижение), при которых достигается требуемое значение комплексной оценки, может применяться для объектов с любым количеством параметров, при условии, что в методе нечеткого комплексного оценивания структура дерева критериев бинарная. Отдельный интерес представляет проверка этих утверждений в отношении выпуклости затратных функций и при небинарной структуре дерева критериев. В заключение опишем еще один возможный подход к решению задачи управления многопараметрическим объектов - построение гиперкуба размерностью n + 1, где его элементами будут значения n частных параметров и значения комплексного показателя. Тангенсы угла наклона касательных к затратным функциям в значении частного критерия определит нормаль плоскости, на которой будет отражаться множество напряженных состояний. Если на плоскости подмножество значений требуемой комплексной оценки состоит из единственного элемента, то координаты этого элемента будут давать оптимальные значения частных критериев. Подробному описанию данного алгоритма и его иллюстрации, а также доказательству утверждений, приведенных в данной статье, будут посвящены следующие работы авторов.

About the authors

A. O. Alekseev

Perm National Research Polytechnic University

I. E. Alekseeva

Perm National Research Polytechnic University

References

Statistics

Views

Abstract - 6

PDF (Russian) - 4

Refbacks

• There are currently no refbacks.