Abstract

Abstract

The mathematical formulation of the problem of management interaction between universities with co-educational network programs is considered. In the formation of individual training plans the preferences of students and the limitations on resources of universities took into account.

Full Text

1. Содержательная постановка задачи управления Пусть рядом вузов разработана совместная сетевая образовательная программа (СОП) [1, 2], заданная набором учебных модулей и технологиями их изучения, учебными планами и ограничениями вузов (максимальное и минимальное количество студентов, для которых будет проводиться модуль в вузе) [3]. Кроме того, известно количество студентов вузов, участвующих в реализации СОП, а также их желания изучения некоторых модулей в других вузах. Необходимо найти оптимальное распределение студентов по участвующим в реализации СОП вузам для изучения выбранных учебных модулей с учетом максимального удовлетворения их интересов [4]. При этом распределение студентов должно удовлетворять заданным ограничениям вузов, а образовательные траектории всех студентов должны удовлетворять структурно-логическим связям изучения модулей СОП. Кроме этого, общее число модулей, которые изучили студенты n-го вуза в других вузах, не должно превышать число студентомодулей, которое проведено для студентов из других вузов, более чем на заданное число Q, и у каждого студента в его образовательной траектории должен быть хотя бы один модуль, пройденный в другом (не в том, в который он поступил) вузе. 2. Математическая постановка задачи управления Представим СОП как совокупность: набора учебных модулей (M - количество модулей СОП) и бинарной матрицы зависимостей модулей ED, у которой столбцы и строки соответствуют номеру модуля, а элемент матрицы, равный 1, означает, что модуль, соответствующий столбцу, должен быть пройден позднее модуля, соответствующего строке. Обозначим через трудоемкость учебного модуля. Тогда общую трудоемкость T образовательной программы можно представить в виде . Общее число вузов, участвующих в реализации СОП, обозначим через N. Каждый вуз может составить свой уникальный учебный план (УПВ - учебный план вуза) следовательно, общее число УПВ E будет принадлежать отрезку В общем случае будем рассматривать E = N. Считается, что УПВ представляет собой некоторую заданную функцию , область определения которой , а область значений . Функция определяет, какой модуль и в каком порядке будет изучаться в n-м вузе. Обозначим количество студентов, обучающихся по СОП в n-м вузе, , тогда общее количество студентов S, обучающихся по СОП, можно вычислить по формуле Индивидуальный учебный план студента (ИУП) обозначим через и представим его в виде последовательности элементов где - номер вуза в котором s-й студент изучает m-й по счету модуль. При этом изучаемый модуль можно определить по соответствующей функции . Тогда распределение студентов по участвующим в реализации СОП вузам для каждого ее модуля можно представить в виде матрицы p, строки которой - последовательности Множество допустимых матриц обозначим через P. Число студентов, изучающих m-й модуль в n-м вузе, обозначим как Тогда должно выполняться равенство Ограничения, касающиеся реализации выбранного студентом модуля в каждом вузе, зададим следующим образом: - заданная максимальная вместимость студентов, причем - заданное минимальное число студентов, для которого вуз готов проводить модуль, причем В качестве инструмента задания предпочтений студентов предлагается использовать нечеткие множества. В качестве пространства этих множеств выступает совокупность всех вузов. Каждому m-му модулю индивидуального плана s-го студента ставится в соответствие нечеткое множество - «желаемый вуз изучения m-го модуля» с функцией принадлежности , задаваемой самим студентом. В качестве ограничения зададим условие, что общее число студентомодулей (студент*модуль), которые прошли студенты n-го вуза в других вузах, не должно превышать число студентомодулей, которое проведено для студентов из других вузов в n-м вузе, более чем на заданное число Q. Для его выполнения каждому поставим в соответствие вектор , где определяет количество студентов из j-го вуза, изучающих m-й модуль в n-м вузе. Тогда, например, для n-го вуза данное условие можно представить выражением В общем виде данное ограничение можно записать в виде Рассмотрим критерий оптимальности решения данной задачи управления. Удовлетворенность одного s-го студента совокупностью ИУП p можно представить в виде вектора принадлежности выбранных вузов соответствующим нечетким множествам Тогда удовлетворенность всех студентов можно представить в виде матрицы: Поскольку предпочтения студентов заданы нечеткими множествами, в которых чем больше функция принадлежности, тем больше желание изучить модуль в конкретном вузе, то для максимального удовлетворения студентов при построении ИУП необходимо максимизировать описанную выше матрицу. В качестве критерия сравнения матриц предлагается использовать их max-норму: Тогда математическая постановка задачи управления сетевой образовательной программой принимает следующий вид: Найти такую оптимальную совокупность последовательностей при которой достигается максимум критерия оптимальности и выполняются ограничения: Следует отметить, что в общем случае поставленная задача является достаточно сложной и требует разработки специальных численных алгоритмов. В некоторых частных случаях, когда количество возможных решений не велико, для поиска оптимального решения может использоваться полный перебор допустимых решений и выбор наиболее оптимального. Для случаев с большим числом потенциальных решений рекомендуется использовать различные эвристики, например генетические алгоритмы [5]. Количество потенциальных решений главным образом зависит от ограничений, накладываемых как на порядок изучения учебных модулей, так и на ИУП студентов (например, ограничение: не более одного модуля в другом вузе). Поэтому при накладывании дополнительных ограничений упрощается процедура реализации СОП для вузов, но при этом резко сужается поле реализации интересов студентов и возможности их участия в сетевой образовательной программе.