Abstract

Abstract

The pathological bile flow as the Carreau’s fluid in the major duodenal papilla duct as the tube with narrowing walls is considered. The analytical solutions for axial velocity and flow rate depending on pressure drop are obtained. The values of pressures corresponding to the reflux (opposite flow to normal) occurring conditions are computed.

Full Text

Введение Перистальтика (от греч. peristaltikos - обхватывающий и сжимающий) - это волнообразное сокращение стенок полых органов (пищевода, желудка, кишечника, мочеточников и т.д.), способствующее продвижению их содержимого. В последнее время перистальтика привлекает большое внимание исследователей из-за важных физиологических процессов, таких как движение химуса в кишечнике, перемещение яйцеклетки в маточной трубе, транспорт сперматозоидов, транспорт желчи в желчных протоках, циркуляция крови в мелких кровеносных сосудах. Первые теоретические и экспериментальные исследования перистальтики были проведены Летхэмом в 1966 г. [1]. В дальнейшем появилось множество работ по перистальтике химических растворов, суспензии, а также био-жидкостей (кровь, моча, желчь и т.д.). В работе [2] было изучено течение крови в мелких капиллярах и кровеносных сосудах как течение двухслойной жидкости с центральным слоем, моделируемым жидкостью Кассона, и периферийным слоем как ньютоновской жидкости в трубке с переменным сечением при нулевом числе Рейнольдса и длинноволновой аппроксимации. В дальнейшем исследуемая модель была усложнена при рассмотрении пульсирующего течения крови в сосуде со стенозом [3]. Были получены зависимости безразмерного гидравлического сопротивления от размера стеноза при различных значениях гематокрита для моделей с течением одной и двух жидкостей. Похожая модель, но с учетом периодичного ускорения тела, рассмотрена в работе [4]. В работе [5] было изучено течение мочи в мочеточнике для исследования рефлюкса и эффекта запирания. Было показано, что рефлюкс возникает в верхних мочевых путях, при частичном перекрытии волной. Статья [6] посвящена рассмотрению перистальтики неньютоновской жидкости в расширяющейся трубке (степенная и жидкость Бингама) при различных волновых формах: синусоидальная, треугольная, трапециевидная и квадратная волны. В статье обсуждается влияние типа жидкости (степенная жидкость и жидкость Бингама) на результаты расчетов, а также рассматривается зависимость амплитуды и формы перистальтических волн. Исследованы условия возникновения рефлюкса при различных волновых формах и продемонстрировано, что рефлюкс имеет сильную зависимость от показателя степенной жидкости (n), градиента давления и формы перистальтической волны. Непосредственно исследованию перистальтики течения желчи в общем желчном протоке как несжимаемой ньютоновской био-жидкости посвящена работа [7]. Несмотря на то что известно, что патологическая желчь - неньютоновская жидкость [8], авторы статьи рассмотрели течение ньютоновской жидкости в пористом канале, чтобы учесть влияние наличия/отсутствия камней на холединамику. Авторы рассматривают течение жидкости в продольном и поперечном направлениях. Было теоретически найдено условие рефлюкса, которое непосредственно связано с критическим значением градиента давления. Построены зависимости профиля скорости, градиентов давления при различных значениях числа Рейнольдса, пористости, коэффициента Дарси и амплитуды. Часть результатов сравнивалось с результатами работы [9]. Область биомеханики течения желчи в билиарной системе в последнее время привлекает большой интерес исследователей [10-15]. Патологическое течение желчи вызывает нежелательные напряжения в системе и окружающих тканях, следует отметить, что неблагоприятные поля напряжений могут пагубно отражаться на функционировании организма человека [16-18]. Большинство работ связано с применением методов вычислительной гидродинамики [19-22], в частности, алгоритма взаимодействия жидкость - твердое тело для учета влияния стенок протоков на характер течения [23-25]. В статье [19] показано, что патологическая желчь является тиксотропной неньютоновской жидкостью, и найдены параметры модели Каро. В данной работе рассматривается течение патологической желчи как жидкости Каро в протоке с сужающимися стенками. Статья состоит из следующих разделов. В разделе 1 содержатся некоторые аспекты анатомии и физиологии течения желчи в билиарной системе и ее элементах. Рассмотрена проблема холедохопанкреатического рефлюкса и указана его связь с возникновением патологий поджелудочной железы. В разделе 2 приведена математическая постановка и решение задачи. Найдены аналитические решения для продольной скорости и расхода в зависимости от перепада давления. В разделе 3 представлены результаты решения: зависимости градиента давления от расхода, времени и безразмерной амплитуды для синусоидальной волны, а также представлены профили скоростей при различных значениях градиента давлений. Найдены значения градиента давлений, соответствующие условиям возникновения рефлюкса в ампуле фатерова сосочка как трубки с сужающимися стенками. 1. Анатомия и физиология течения желчи в ампуле фатерова сосочка Желчевыделительная система (билиарная система) предназначена для выведения в двенадцатиперстную кишку секрета печени - желчи, содержащей множество продуктов метаболизма, которые предназначены для выделения во внешнюю среду. Билиарная система включает в себя желчный пузырь, желчный тракт (пузырный проток, печеночные протоки и общий желчный проток [холедох]), а также систему сфинктеров (рис. 1) [26]. Рис. 1. Билиарная система Правый и левый печеночные протоки выходят из печени и соединяются в воротах, образуя общий печеночный проток. Пузырный проток служит продолжением шейки желчного пузыря. Общий желчный проток образуется путем слияния общего печеночного и пузырного протоков [27]. Дистальный сегмент общего желчного протока входит в поджелудочную железу. Общий желчный проток открывается в двенадцатиперстную кишку в области фатерового сосочка, отверстие которого окружено сфинктером [28]. Известно несколько вариантов соединения общего желчного протока с протоком поджелудочной железы в области фатерового сосочка (рис. 2). Сфинктер регулирует поступление желчи в кишечник и препятствует забрасыванию дуоденального содержимого в желчные протоки. В зоне сфинктера наблюдаются два типа моторной активности: базальное давление и фазовая, периодическая сократительная активность. Базальное давление отвечает за регуляцию оттока секрета из желчных и панкреатических протоков [29]. а б Рис. 2. Анатомические элементы сфинктера Одди: а - общая анатомия (1 - сфинктер общего желчного протока, 2 - сфинктер панкреатического протока, 3 - сфинктер ампулы фатерового сосочка); б - варианты строения ампулы сосочка (*- бифуркация в ампуле фатерового сосочка, ** - параллельное расположение протоков, *** - бифуркация перед ампулой) При нарушении сократительной способности сфинктера Одди, например вследствие изменения базального давления, может нарушаться регуляция оттока желчи и панкреатического сока из протоков, проявляющиеся в возникновении холедохопанкреатических рефлюксов (т.е. патологических забросов желчи в поджелудочную железу, а не в двенадцатиперстную кишку). Именно холедохопанкреатический рефлюкс является причиной патогенеза и развития хронического панкреатита (воспаление поджелудочной железы) [30]. Параметры модели: b0 = 3 мм, L = 5 мм, k = 0,5. Изучение и моделирование условий возникновения рефлюксов жидкостей в каналах с различной геометрией для помощи врачам при лечении данных патологий является серьезной задачей биомеханики био-жидкостей [31]. В данной статье рассматривается течение желчи как жидкости Каро в ампуле фатерова сосочка, моделируемого в виде трубки с сужающимися стенками, с целью определения количественных критериев, характеризующих такое патологическое состояние, как холедохопанкреатический рефлюкс. 2. Математическая формулировка проблемы Рассматривается перистальтическое движение желчи как неньютоновской жидкости в ампуле фатерова соска, представляющей собой трубку длиной L с расходящимися стенками. Длина волны сопоставима с длиной канала (L ? ?), поэтому волновое число (2?•a/?) очень маленькое, число Рейнольдса также мало. Рассматривается синусоидальная форма волны, бегущей по стенкам. Геометрия стенок может быть описана как (1) где b0 - радиус трубы на входе; k - коэффициент наклона стенок; c - скорость волны; x? - продольная координата; g - амплитуда перистальтической волны. Схематично геометрия задачи представлена на рис. 3. Рис. 3. Схема геометрии течения в осесимметричной трубе с переменным поперечным сечением (проток фатерова сосочка) Уравнение Навье-Стокса для течения жидкости имеет вид , (2) где ? - плотность жидкости; - вектор скорости; - давление; - тензор касательных напряжений. Учитываем течение в продольном и поперечном направлениях со скоростями u? и v? соответственно. В проекциях на оси r? и x? в цилиндрической системе координат уравнение (2) может быть записано как (3) (4) где p?, x?, r? - давление, осевая и радиальная координаты соответственно, а - напряжение сдвига вдоль направления x? по нормали к r?, - скорость сдвига. В данной работе рассматривается перистальтическое движение неньютоновской жидкости, описываемое уравнением Каро [25]: , (5) где - вязкость при нулевом сдвиге; - вязкость при бесконечной скорости сдвига; а и m - константы. Запишем переменные в безразмерной форме: (6) Рассмотрев перистальтическое течение в подвижной системе отсчета и отбросив инерциальные слагаемые, запишем уравнения (3) и (4) в виде (7) (8) Подставив (5) в (7), получим: (9) Разложим в ряд Маклорена: (10) Рассмотрим первые три члена ряда и подставим (10) в (9). Тогда . (11) Для упрощения отбросим слагаемое порядка Тогда окончательная постановка задачи будет иметь вид при r = 0, (12) при , где Поскольку s мало, найдем решение уравнения в виде , (13) где - решение частного уравнения при s = 0, - «добавка», учитывающая нелинейный характер дифференциального уравнения. Тогда полное решение имеет вид (14) Расход жидкости через трубу записывается в виде (15) Градиент давления вдоль длины L в безразмерной форме может быть найден в виде (16) Выразим из (15). Поскольку уравнение (15) является кубическим относительно рассмотрим его как (17) где Поскольку при уравнение (17) имеет три корня, но только один из них является действительным, решение (17) имеет вид (18) Расходы в подвижной системе отсчета Q(x, t) и в волновом базисе q(t) связаны выражением (19) Средний расход в безразмерном виде находится как (20) Подставив (20) в (19) и учитывая, что получим (21) 3. Результаты и обсуждение На рис. 4-7 представлены результаты расчетов для патологической желчи как жидкости Каро, параметры которой взяты из работы [19]. На рис. 4 представлены зависимости безразмерного среднего расхода жидкости от перепада давления при различных значениях ?. Следует отметить, что согласно работам [32, 33] физиологическим течениям соответствует диапазон ? от 0,5 до 0,8. Из рис. 4 видно, что при увеличении амплитуды волны перепад давления существенно возрастает, особенно когда ? превышает значение 0,7. При малых значениях ? разница между перепадом давления незначительная. Также можно отметить, что при = 0, значение максимально и при дальнейшем увеличении расхода градиент давления снижается. Более того, можно отметить, что при больших величинах объемный расход жидкости может принимать отрицательные значения, что соответствует возникновению обратного тока жидкости (рефлюкс). Таким образом, величины, при которых = 0, можно назвать критериями возникновения рефлюкса, т.е. рефлюкс возникает, если > Параметры модели Каро [19] следующие: a = 0,033, ?? = 4,5 мПа•с, ?0 = 62,5 мПа•с, m = 0,56. На рис. 5 показаны профили скоростей в канале при различных значениях Следует отметить, что профиль течения - параболический. Из рисунка видно, что величина при увеличении значения возрастает. Рис. 4. Зависимость от для синусоидальной волны Рис. 5. Профиль скорости при мПа·с при Рис. 6. Зависимость от t для синусоидальной волны (? = 0,6) Зависимость от t для синусоидальной волны при различных значениях показана на рис. 6. Из графика видно, что перепад давления достигает своего максимального значения при t = 0,27. В этот момент времени на входе в трубку возникает схлопывание сосуда, т.е. максимальная окклюзия происходит на входе в трубу, где площадь поперечного сечения является минимальной и, следовательно, получается максимальным. Впоследствии перепад давления убывает к нулю. Рис. 7. Зависимость от ? для синусоидальной волны На рис. 7 представлена зависимость от ? для синусоидальной волны. При повышении значения ? = 0,8 начинает резко возрастать, таким образом, данный результат подтверждает, что при физиологических течениях желчи наблюдается небольшой перепад давления, что соответствует выбранному диапазону ? от 0,5 до 0,8. Выводы В статье рассмотрено течение патологической желчи как жидкости Каро в ампуле фатерова сосочка, моделируемого в виде трубки с сужающими стенками. Получены аналитические решения для продольной скорости и расхода в зависимости от перепада давления. Получены значения градиента давления, соответствующие условиям возникновения рефлюкса. При увеличении амплитуды волны перепад давления увеличивается, особенно когда ? превышает 0,7. Более того, было показано, что величину перепада давления, при котором = 0, можно назвать критерием возникновения рефлюкса. Профиль скорости течения в канале имеет параболическую форму, и значение продольной скорости увеличивается с ростом . Найдены зависимости перепада давления от времени и показано, что при увеличении среднего расхода величина уменьшается.