Abstract

Abstract

Defining relations allowing to describe the stress-strain state of the trabecular bone in view of its structure, and evolutionary relationships describing the adaptation processes in the bone are given. An algorithm for solving a number of examples and shows the evolution of the trabecular bone in the change of the stress-strain state is developed. The results show the influence of different types of load change on the formation of structures that do not contradict the Y. Wolff’s law.

Full Text

Введение В процессе онтогенеза организма человека на развитие и функционирование его опорно-двигательной системы оказывают влияние различные, постоянно изменяющиеся нагрузки, которые имеют как физиологическую, так и патологическую природу, а также происходят вследствие врачебного вмешательства. Известно, что подобные изменения нагрузки имеют отдаленные во времени последствия и в первую очередь отражаются на организации структуры костной ткани. Костная ткань живого человека является динамической структурой, в которой непрерывно происходят различные адаптационные процессы. Трабекулярная костная ткань является неоднородным пористым анизотропным материалом, ее механические свойства в значительной мере определяются ее внутренней архитектурой и подчиняются тем же принципам, что и несущие конструкции. Определить изменения трабекулярной микроструктуры in vivo инструментально зачастую не представляется возможным. Таким образом, возникает необходимость в прогнозировании долговременного отклика структуры на внешнее вмешательство методами математического моделирования, т.е. разработке математической модели перестройки (адаптации) трабекулярной костной ткани с учетом взаимовлияния напряженно-деформированного состояния и структурных изменений. 1. Материалы и методы Известно, что адаптационные процессы, протекающие в организме человека, подчиняются закону Вольфа (Wolff's law), который применительно к живой костной ткани формулируется следующим образом: кость приспосабливает свою внешнюю форму и внутреннюю структуру к тем механическим силам, которые она должна выдержать [1, 2]. Для конкретизации закона Вольфа необходимо ввести количественную характеристику, способную описать структурные особенности костной ткани. Показано [2], что такой величиной является симметричный, положительно определенный тензор второго ранга - тензор структуры H (fabric tensor). Данный тензор позволяет сформулировать соотношения, способные описывать упругие свойства материала с учетом его строения и адаптационные изменения костной микроструктуры. На основе существующих подходов [2, 3] получено определяющее соотношение, позволяющее описать напряженно-деформированное состояние губчатой костной ткани с учетом ее структуры: (1) Здесь K - девиатор тензора структуры H, нормированный таким образом, что e - изменение доли твердого объема кости относительно отсчетной величины ?0; g1-g6 - константы, имеющие размерность [ГПа]. Закон Вольфа для костной ткани говорит о том, что трабекулярная архитектура губчатой кости в локальной области структурно приспосабливается к местному напряженному состоянию костной ткани. При этом структурная адаптация в живой губчатой кости носит направленный характер и трабекулы располагаются закономерно, сообразно тому, какие внешние нагрузки испытывает данная кость [3, 4]. В частности, установлено, что ориентация трабекул в рассматриваемой области губчатой кости совпадает с главными направлениями тензора напряжений в этой же области. Далее приведены кинетические уравнения, описывающие адаптационные процессы в губчатой костной ткани и представляющие закон Вольфа: (2) (3) где h1-h4 и f1-f3 - константы, имеющие размерность [сут-1] и определяемые так, чтобы перестройка костной ткани происходила за 160 дней [2, 3]. Для соотношений (1)-(3) осуществлена постановка начально-краевой задачи о перестройке трабекулярной костной ткани [4], разработан алгоритм ее решения и на ряде примеров показана эволюция трабекулярной костной ткани при изменении напряженно-деформированного состояния. В частном случае перестройка трабекулярной архитектуры губчатой кости может происходить при однократном достаточном изменении нагрузки. Данная ситуация может возникнуть, например, при вживлении в губчатую кость имплантата. Пусть начальная равновесная губчатая микроструктура описывалась тензором а соответствующее ему начальное напряженно-деформированное состояние - как (). Далее происходит однократное изменение условий нагружения, запустившее процессы перестройки в губчатой кости и стремящееся привести трабекулярную архитектуру к новому состоянию физиологического равновесия с характерной структурой и соответствующим напряженно-деформированным состояниям (). Описанный адаптационный процесс схематично показан на рис. 1, где тензоры напряжений, деформации и структуры представлены в виде эллипсоидов [4]. Рис. 1, а отражает положение, существовавшее при t < 0 и соответствующее начальному состоянию гомеостаза. Видно, что три эллипсоида, представляющие начальные напряжения деформацию и структуру соосны, т.е. главные направления тензоров и совпадают. Рис. 1, б отражает ситуацию начала перестройки костной ткани в момент времени t = 0, когда произошло изменение условий нагружения, соответственно, имеет место новое напряженное состояние костной ткани Напряженному состоянию соответствует новое деформированное состояние при этом эллипсоиды и не соосны. В то же время эллипсоид структуры сохранил свое первоначальное направление поскольку а б в г Рис. 1. Схема перестройки трабекулярной костной ткани адаптационные процессы не могут протекать мгновенно. Рис. 1, в отражает процесс перестройки костной ткани при t > 0. Видно, что эллипсоиды и не соосны, при этом главные направления тензоров и изменяются таким образом, чтобы стать соосными главным направлениям нового напряженного состояния . Рис. 1, г отражает новое состояние равновесия, которое было достигнуто по прошествии достаточно большого промежутка времени. Новое гомеостатическое состояние может быть описано тензорами напряжений , деформации и девиатора тензора структуры причем представляющие их эллипсоиды вновь соосны. Таким образом, произошла адаптация трабекулярной костной ткани к новым условиям нагружения. 2. Результаты Рассмотрена локальная область костной ткани, длительное время находящаяся в состоянии гомеостаза (t < 0). В начальный момент времени (t = 0) задается однократное изменение условий нагружения, приводящее к перестройке трабекулярной микроструктуры. Начальные тензоры и а также начальная доля твердого объема кости считаются известными (или могут быть определены). Новое напряженное состояние будет определено следующим образом: (4) где и - системы координат, связанные с главными осями тензоров и ; - некоторое ортогональное преобразование, переводящее из главных осей тензора к главным осям тензора В качестве примера показана классическая задача [3], подробно разобранная в работе [4]. Рассматривается локальный, сжатый со всех сторон объем губчатой костной ткани. При этом напряженно-деформированное состояние структуры описывается как (), архитектура костной ткани - (). Новое напряженное состояние определяется исходя из соотношения (4), при этом угол между главными направлениями тензоров и в плоскости 1-3 равен ? (рис. 2). Результаты, полученные по истечении 160 сут, показаны на рис. 3. Видно, что в результате адаптационных процессов новому напряженно-деформированному состоянию соответствует новая костная микроструктура (). При этом т.е. трабекулы выстроились вдоль линий главных напряжений и главные оси тензоров и вновь стали соосными. Рис. 2. Иллюстрация процесса перестройки структуры трабекулярной костной ткани из одного состояния физиологического равновесия в другое [4] Рис. 3. Изменение структуры (а-в) (компонент девиатора тензора структуры и плотности e(t)) и угла ? (t) между главными осями тензоров и (г) Рис. 4. Растяжения одноосного ортотропного бруса На классическом примере растяжения одноосного ортотропного бруса было показано влияние различной ориентации структуры материала на его напряженно-деформированное состояние. Брус растягивается осевой силой P (рис. 4). При этом в каждой точке бруса задается структура, соответствующая полученному в работе [5] тензору структуры для трехмерного образца губчатой костной ткани, высеченного из медиального мыщелка бедренной кости крупного рогатого скота. Рис. 5. Изменение структуры (компонент девиатора тензора структуры K1(t) (а), K2(t) (б) и K3(t) (в)) и плотности e(t) трабекулярной микроструктуры (г) В результате первоначально не соосные тензоры напряжений и структуры стали соосны, а новая костная микроструктура изменилась так, как показано на рис. 5. Заключение На основе ранее полученных определяющих и эволюционных соотношений, способных описать перестройку трабекулярной костной ткани, происходящую вследствие изменяющихся условий нагружения, рассмотрен ряд модельных примеров. Результаты показывают различный характер влияния изменения нагрузки на процесс формирования структуры, не противоречащий закону Ю. Вольфа. Серия примеров, рассмотренная авторами и не представленная в данной работе, также показала хорошую работоспособность модели. В дальнейшем авторы планируют описать напряженно-деформированное состояние зубочелюстной системы человека с учетом структурных особенностей в нижней челюсти. Известно, что тело нижней челюсти имеет ярко выраженную структуру губчатой костной ткани, то же верно и для восходящей ветви челюсти [6]. Осуществить количественное описание формирующейся под воздействием изменяющегося биомеханического давления структуры костной ткани в различных отделах зубочелюстной системы возможно с помощью тензора структуры и соотношений (1)-(3). Решение подобной задачи необходимо для разработки индивидуального лечения различных стоматологических патологий, дефектов и прогнозирования отдаленных последствий такого врачебного вмешательства.