Abstract

Abstract

Within the framework of finite deformations the model of ferromagnetic materials behavior during forward and reverse martensitic transformation in the process of deformation in the temperature and magnetic fields has been obtained. The variational formulation of the coupled magnetoelastic boundary value problem is carried out. The obtained relations have been used for the numerical solution of the problem by finite element method.

Full Text

Ферромагнитные сплавы с памятью формы являются функциональными материалами. Под функциональными, или интеллектуальными, обычно понимаются такие материалы, которые изменяют свою форму и/или размеры при воздействии внешних полей: температурного, магнитного, электрического. Известны два различных физических механизма эффекта больших (до 10 %) деформаций, индуцированных магнитным полем, которые наблюдаются в ферромагнетиках. Первый связан с перестройкой структурных доменов в мартенситной фазе и наблюдается только в монокристаллах [1]. Второй возникает при фазовом (мартенситном) превращении в магнитном поле и проявляется как в моно-, так и в поликристаллах [2], которые являются более дешевыми и технологичными. Большой интерес представляют Mn-содержащие сплавы Гейслера Ni-Mn-Ga, в которых наблюдается редкое сочетание ферромагнитных свойств и структурного (мартенситного) фазового перехода из кубической высокотемпературной фазы (аустенит) в тетрагональную низкотемпературную фазу (мартенсит) [3]. Мартенситный переход в Ni-Mn-Ga имеет термоупругий характер, возникает за счет смещения температуры мартенситного превращения под действием магнитного поля и сопровождается одно- и двусторонним эффектами памяти формы (ЭПФ). Управляемый магнитным полем ЭПФ способен восстанавливать любой вид деформации - сжатие, растяжение, изгиб, кручение и т.д. [2]. В работе [4] приведены теоретические соотношения, описывающие влияние магнитного поля на мартенситные переходы в сплавах гейслеровского типа. В статье [5] с помощью термодинамического подхода построена модель, позволяющая описывать эффект памяти формы в ферромагнетиках. Однако в обоих случаях соотношения записываются в рамках малых деформаций. Настоящая работа посвящена описанию эффекта памяти формы в ферромагнитных сплавах, испытывающих большие деформации, с помощью подхода, позволяющего строить модели, описывающие поведение сложных сред при конечных деформациях и структурных изменениях в материалах, и удовлетворяющих принципам термодинамики и объективности [6-8]. Рассматриваются только фазовые превращения в поликристаллах, вызванные смещением температуры мартенситного перехода под действием магнитного поля. 1. Основные соотношения Для описания поведения среды при конечных деформациях вводятся, согласно [9, 10], начальная недеформированная ?0 и текущая деформированная ? конфигурации. Радиус-вектор в начальной конфигурации в текущей - где - вектор перемещений из начальной конфигурации в текущую. Записывается фундаментальная кинематическая величина - градиент места где - метрический тензор, - оператор Гамильтона в начальной конфигурации; вводится мера деформации Коши-Грина Из эквивалентных форм определяющих соотношений для простого материала, удовлетворяющих принципу объективности [10], используем форму (1) Здесь - тензор истинных напряжений, - функция отклика материала (тензор второго ранга), - мера Коши-Грина упругих деформаций, - упругий градиент места, - третий инвариант (якобиан, определяющий относительное изменение объема), - температура, - скалярный параметр процесса (доля мартенситной фазы в объеме материала; изменяется от 0, когда материал находится полностью в аустенитном состоянии, до 1 - в мартенситном). В магнитном поле при отсутствии токов вектор напряженности магнитного поля можно представить в виде градиента скалярной функции: , где - приложенное внешнее поле, - оператор Гамильтона в текущей конфигурации. Векторы магнитной индукции , напряженности магнитного поля и намагниченности связаны соотношением где - магнитная постоянная. Из условия соленоидальности магнитного поля Общий вид закона намагничивания для изотропного по магнитным свойствам материала может быть записан в виде где - магнитная восприимчивость, . При действии магнитного поля уравнение равновесия имеет вид на поверхности тела возникают силы где - внешняя единичная нормаль к поверхности тела в текущей конфигурации. Пусть тело, ограниченное поверхностью , занимает в пространстве область а - окружающее пространство. Вариационная постановка краевой задачи в форме Лагранжа в текущей конфигурации имеет следующий известный вид: (2) где - вектор сил, заданных в текущей конфигурации на поверхности ограничивающей объем - плотность массы в актуальной конфигурации; - вектор массовых сил; - символ вариации. Для задачи магнитостатики вариационное уравнение запишется следующим образом [11]: (3) Поскольку поверхность и объем в текущей конфигурации неизвестны до решения задачи, уравнения (2)-(3) приводятся к какой-либо известной конфигурации, и, в частности, в начальной они будут иметь следующий вид: (4) (5) Здесь - внешняя единичная нормаль к поверхности тела в начальной конфигурации; - тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа второго рода. Согласно [6], кроме начальной и текущей конфигураций вводится промежуточная ?*, близкая к текущей. Эта близость формализуется введением малого параметра Все величины в промежуточной конфигурации помечаются «*». Градиент места относительно конфигурации ?* запишется в виде где - оператор Гамильтона в промежуточной конфигурации, - вектор перемещений из конфигурации ?* в ?. Вводится тензор малых деформаций относительно промежуточной конфигурации При этом справедливо равенство где и - тензоры малых упругих, температурных и фазовых (неупругих) деформаций относительно промежуточной конфигурации. Кинематические тензоры определяются выражениями [7, 8]: Здесь - неупругий градиент места, связанный с фазовыми деформациями; - градиент места, связанный с температурными деформациями; - градиенты вектора малых упругих, фазовых и температурных перемещений, тензоры малых упругих, фазовых и температурных поворотов относительно промежуточной конфигурации. Соотношение (1) представляется, с точностью до линейных по слагаемых, в виде [7] , где - первый инвариант - малое приращение температуры ; - малое приращение ; - тензор четвертого ранга, определяющий отклик материала на малые упругие деформации относительно промежуточной конфигурации и имеющий вид (см. [8]) , где - упругий потенциал. Для тензора малых температурных деформаций примем закон линейного температурного расширения где - коэффициент линейного теплового расширения. Поскольку фазовые деформации возникают в процессе мартенситного перехода, воспользуемся моделью, предложенной в работах А.А. Мовчана [12] и адаптированной к конечным деформациям в [13]. Диаграмма фазового перехода может быть аппроксимирована следующими соотношениями: Здесь - температуры начала и завершения прямого и обратного мартенситных превращений в свободном от напряжений материале, - материальная константа, - интенсивность напряжений, - девиатор тензора истинных напряжений. В работе [3] показано, что температуры прямого и обратного мартенситных переходов с увеличением магнитного поля приближенно линейно возрастают, поэтому будем считать, что Приращение фазовых деформаций относительно промежуточной конфигурации определяется следующим образом [13]: (6) где - параметры материала, - текущая фазовая деформация, - значения параметра мартенситной фазы и фазовой деформации в начальной точке процесса обратного превращения. Согласно [8] для определения используется соотношение , позволяющее выразить через Поскольку определяется законом линейного температурного расширения, Для описания упругого поведения материала воспользуемся упрощенным законом Синьорини [10] Здесь и - параметры материала, имеющие смысл параметра Ламе и модуля сдвига линейной теории упругости. Упругие модули материала изменяются в процессе прямого и обратного мартенситного превращения в соответствии с соотношениями [14]: , , где - значения модуля Юнга и модуля сдвига для материала в мартенситном и аустенитном состояниях соответственно. 2. Решение краевой задачи В работе [2] представлен эксперимент, в котором в образце из сплава Ni-Mn-Fe-Ga осуществляется магнитное управление эффектом памяти формы в результате структурного фазового перехода мартенсит - аустенит, вызванного магнитным полем при постоянной температуре. В результате предварительно деформированный образец восстанавливает свою форму (выпрямляется). Для верификации представленных выше соотношений рассмотрим следующую краевую задачу, соответствующую этому эксперименту. Образец в форме стержня прямоугольного сечения и длиной закреплен с левого торца. В начальный момент времени стержень находится при комнатной температуре (ниже температуры ) с фазовыми деформациями, возникшими в образце в процессе прямого температурного мартенситного перехода из точки в точку (рис. 1) при заданном сдвиговом усилии МПа на правом торце (изгиб), отсутствии магнитного поля и последующей разгрузке. Затем происходит включение поля А/м, направленного вдоль оси стержня (путь ), и нагрев образца до температуры (путь После этого поле выключается, и в системе происходит фазовый переход в аустенитное состояние при постоянной температуре K (путь Рис. 1. Зависимость температур фазового перехода от поля Согласно [2, 15] для сплава Ni-Mn-Fe-Ga К, К, К, К, Параметры материала для соотношения (6) идентифицированы по приведенным в [2, 15] зависимостям деформации от температуры; в результате МПа-1, Будем считать, что ГПа и этот модуль не изменяется в процессе мартенситного превращения, Намагниченность определяется по формуле Фрелиха: где А/м - намагниченность насыщения, А/м - постоянная материала. Численная реализация уравнений (4)-(5), записанных в приращениях, осуществлялась методом конечных элементов в пакете FEniCS. На каждом шаге задается приращение температуры или магнитного поля, в результате решения находятся приращения перемещений. Считается, что распределение температуры однородно по образцу. В качестве внешнего объема выбран параллелепипед с размерами a b H0 Рис. 2. Конфигурации образца и распределение фазовых деформаций На рис. 2 представлены конфигурации образца с осевыми остаточными фазовыми деформациями, накопленными после прямого фазового перехода (a) и после восстановления формы при выключении магнитного поля (b) при постоянной температуре, что хорошо согласуется с экспериментом.