Development of software tools for automatisation of the process of the fabric tensor parameters determination for porous materials

Abstract


The idea of constructing a special tensor to describe the parameters of structurally inhomogeneous materials arose from a number of attempts to quantitatively characterize the microstructure of an elastic porous material. The using of special tensor quantities to describe the stereometric characteristics of structurally anisotropic materials makes it possible to express in a compact form the significant structural parameters of the studying objects. The predominant orientation of pores inside the sample is well described by means of the fabric tensor and the anisotropy tensor which algebraically related to the fabric tensor. The mathematical calculations presented in the work made it possible to formalize the process of calculating all the parameters necessary for constructing the structure tensor. Algorithmization of the method for determining the mean intercept length formed the basis for the developed specialized software for calculating the components of the fabric tensor. Verification of the software module was carried out by conducting a stereological study of a number of idealized test structures and a sample of porous material for which the fabric tensor was known in advance. The obtained results did not contradict natural reality, coincided with previously data and described the anisotropy degree of the studied structures with a high degree of accuracy. To demonstrate the practical using of the developed software package, the work presents the results of studying of the human femoral neck trabecular bone tissue sample and the autoclaved aerated concrete sample. Calculations of all necessary parameters were carried out and images of the fabric ellipse of the studied porous materials were presented. From the results it is clear that the structure tensor is capable to describe the stereometric characteristics of natural and artificial porous structures, and the software package allows us to automate the process of determining all necessary parameters.

Full Text

Введение Существует большое количество структурно-неоднородных материалов как естественного (горные породы, трабекулярная костная ткань), так и искусственного происхождения (пеностекло, газобетон, высокопористый пироуглерод), физические свойства которых во многом определяются их внутренним строением [1-3]. Методы количественной стереологии широко применяются для описания структурных особенностей зернистых и пористых материалов [1; 4-11]. Идея построения специального тензора для описания параметров структурно-неоднородных материалов возникла из целого ряда попыток количественно охарактеризовать микроструктуру упругого пористого материала. В 1978 г. Cowin обратил внимание на то, что эллипсоид структуры эквивалентен тензору второго ранга, отмечая при этом, что для пористых материалов эллипсоид структуры является наилучшей мерой описания структурного распределения материала [1; 12]. В 1980 г. Oda, Konishi и Nemat-Nasser использовали концепцию эллипсоида структуры, аргументируя это тем, что для зернистых материалов эллипсоид структуры является второй наилучшей мерой описания структуры материала после пористости [1; 12; 13]. В настоящее время признано, что одним из наиболее удачных способов описания внутренней структуры пористых материалов является симметричный, положительно определенный тензор второго ранга, названный тензором структуры (fabric tensor), обозначаемый как H [1-4; 14-23]. Тензор структуры позволяет компактно в тензорной форме описать структурную анизотропию пористых материалов, причем его главные значения характеризуют приоритетные направления распределения элементов структуры исследуемого образца. В пористых и зернистых материалах тензор структуры может быть связан с изменением модуля радиус-вектора при изменении его направления. Данный радиус-вектор можно связать с величиной, называемой средним расстоянием между порами (mean intercept length). Подобная методика измерений в том или ином виде применялась в работах Whitehouse [7; 8] и Harrigan и Mann [4] для описания пористой структуры трабекулярной кости. Другая методика измерения параметров структуры зернистых материалов описана в исследованиях Oda и Satake [1; 13]. Авторы полагали, что лучший признак структуры в зернистых материалах - это функция плотности распределения ориентации нормали в точке контакта между соседними зернами, при этом подобное распределение также может быть представлено эллипсоидом структуры. При исследовании же горных пород структуру удобно описывать путем подсчета числа трещин на поверхности образца, учета концентрации трещин и их направления, впрочем, тензор структуры и в этом случае, также может быть построен способом, аналогичным [7; 8] или [4]. В общем случае процедура измерения параметров, необходимых для построения тензора структуры, достаточно трудоемка, поэтому компьютерная автоматизация данного процесса является актуальной проблемой, способной значительно облегчить обработку изображений внутренней структуры образцов исследуемого материала. В данной работе приведено подробное описание одного из возможных алгоритмов построения тензора структуры, который был заложен в основу специализированного программного комплекса, позволяющего автоматизировать процедуру определения стереометрических параметров материала и построения тензора структуры [24]. Материалы и методы В настоящее время существует ряд методов, позволяющих описывать структуру пористого материала и определять компоненты тензора структуры. Прежде всего, к таким методам относятся: метод определения среднего расстояния между порами (mean intercept length method), метод ориентации объема (volume orientation method) и метод распределения «звезд» по объему (star volume distribution method) [1] (рис. 1). а б в Рис. 1. Двухмерная иллюстрация методов описания структуры пористого материала [1]: а - mean intercept length method; б - volume orientation method; в - star volume distribution method Согласно методу определения среднего расстояния между порами, для построения тензора структуры необходимо определить ряд вспомогательных стереометрических величин. Все стереологические измерения производятся на плоском шлифе или изображении шлифа исследуемого пористого материала. В первую очередь определяется относительная площадь твердого матрикса, обозначаемая как AAb (рис. 2). Другая измеряемая величина - это число пересечений между линиями специальной тестовой сетки ориентированной под углом θ относительно локальной ортогональной системы координат и границами «материал - пора», обозначаемое как I(θ). Шаг сетки зависит от характерного размера структурных элементов исследуемого материала. Еще одна необходимая стереометрическая величина - среднее расстояние между порами L - позволяет описать степень структурной анизотропии материала. Согласно определению Underwood, среднее расстояние между порами - это «среднее расстояние между двумя границами «материал - пора», измеряемое вдоль определенного направления» [6], то есть L является функцией угла направления линии сетки, вдоль которой производится измерение (рис. 2). Для определения L в данном направлении на изображение исследуемого образца накладывается сетка, состоящая из параллельных тестовых линий, затем измерения повторяются в других различных направлениях. Рис. 2. Определение среднего расстояния между порами для одной тестовой линии в системе координат (eα - eβ) [3] На практике [2; 3; 9; 11] среднее расстояние между порами принято вычислять по следующей формуле: (1) где Σl - суммарная длина тестовых линий, I(θ) - число пересечений между линиями сетки и границами «материал - пора», AAb - относительная площадь твердого матрикса в исследуемом образце [1; 3]. В результате серии измерений в различных направлениях можно получить распределение Lb(θ) [9; 11]. Среднее расстояние между порами как функция направления Lb(θ) может быть аппроксимирована следующим уравнением: (2) где индексы α и β обозначают соответственно оси eα и eβ в системе координат, введенной на плоскости шлифа, в которой проводятся измерения. В результате измерений получается эллипс, соответствующий уравнению (2) и называемый эллипсом структуры [1; 3; 4]. В работе [4], основываясь на экспериментально полученных данных, авторы показали, что в трехмерном случае среднее расстояние между порами Lb(θ) следует представлять в виде эллипсоида: (3) где n - единичный вектор в направлении тестовой линии на шлифе исследуемого образца, определяемый как: (4) Следовательно, можно ввести эквивалентный симметричный, положительно определенный тензор второго ранга: тензор анизотропии М. Согласно теореме об обратном тензорном признаке [3], mαα, mββ, mαβ являются компонентами тензора анизотропии М. В работе [14] было предложено называть тензор, алгебраически связанный с тензором анизотропии, тензором структуры. Тензор структуры Н связан с тензором анизотропии М следующим образом [1; 9; 14]: (5) Следует заметить, что главные оси тензоров H и М совпадают, однако формы эллипсоидов, геометрически отображающих эти два тензора, несколько отличны друг от друга. При этом для дальнейших расчетов тензор структуры принято нормировать таким образом, чтобы [1; 16; 17]. Для плоского случая тензор анизотропии определяется следующим образом: (6) Для определения трех компонент тензора M необходимо провести три измерения Lb(θ) для трех различных равноотстоящих друг от друга [30; 32] направлений θ, а затем решить систему уравнений (2) относительно компонент тензора mαα, mββ, mαβ [9; 11]. Обозначим левую часть уравнения (2) как некоторую функцию f(θ), зависящую от измеряемых стереологических параметров, а именно: (7) В этом случае можно получить зависимость компонент тензора М от этой функции в общем виде [3; 9; 11]. Для удобства введем следующие обозначения: (8) где fl - значения введенной стереометрической функции для соответствующего направления θl. На практике наиболее распространенным случаем являются стереологические измерения для следующих направлений: θ1 = 0°, θ2 = 120° и θ3 = 240°. В таком случае компоненты тензора анизотропии mαα, mββ, mαβ могут быть определены по следующим формулам: (9) (10) (11) Учитывая выражение (5), связывающее тензор анизотропии и тензор структуры, можно перейти к общей записи и для соответствующих компонент тензора структуры [9]. Если привести тензор М к диагональному виду: , (12) то тогда его компоненты λα и λβ могут быть определены по формуле: . (13) В этом случае тензор структуры примет вид: (14) Таким образом, для поиска среднего расстояния между порами и построения тензоров анизотропии и структуры необходимо выполнить следующую последовательность действий: 1) выбрать область исследования - изображение пористого двухфазного материала (как правило, область исследования является квадратом); 2) бинаризировать изображение (преобразовать изображение в черно-белый вариант) так, чтобы белым цветом отображался твердый материал, а черным - поры; 3) определить относительную площадь твердого матрикса; 4) выбрать шаг тестовой сетки (расстояние между линиями сетки) для дальнейшего поиска числа пересечений линий сетки с границей «материал - пора»; 5) наложить сетку, состоящую из параллельных линий, равностоящих друг от друга, на изображение исследуемого материала для трех направлений: под углом 0, 120 и 240°; 6) определить число пересечений между линиями сетки и границами «материал - пора»; 7) определить суммарную длину линий в сетке; 8) вычислить среднее расстояние между порами по формуле (1); 9) определить коэффициенты тензора анизотропии по формулам (9)-(11) и коэффициенты тензора структуры по формулам (13)-(14). Описанная измерительная процедура была алгоритмизирована и реализована в виде комплекса проблемно-ориентированных программ. Алгоритм работы программы представлен на рис. 3. Рис. 3. Алгоритм работы программного комплекса Для верификации разработанной программы было проведено стереологическое исследование ряда абстрактных тестовых идеализированных структур, чью степень анизотропии не представляет труда определить визуально. Затем был исследован образец трабекулярной костной ткани, для которого тензор структуры был определен ранее в полуавтоматическом режиме. Полученные результаты не противоречили природной действительности, совпадали с ранее полученными данными для аналогичных пористых структур и описывали степень анизотропии исследованных структур с высокой степенью точности. После того как результаты верификации признаны удовлетворительными, программный продукт был использован для анализа структуры образца высокопористого строительного материала - автоклавного газобетона. Результаты С помощью разработанного программного модуля был проведен анализ двух модельных пористых структур: изотропной и анизотропной (рис. 4), ранее использованных в работах [3; 9; 10; 22]. Для этих модельных структур были построены тензоры анизотропии и структуры. Для удобства визуализации поверх представленных микроструктур изображены соответствующие им эллипсы структуры. Для изотропной пористой структуры эллипс структуры показан на рис. 4, а, а для анизотропной пористой структуры - на рис. 4, б. Можно заметить совпадение главных осей эллипса структуры с направлением преимущественного распределения материала в ориентированной анизотропной структуре, окружность же свидетельствует об изотропии исследуемого образца. Проверка возможности практического применение программного комплекса для решения инженерно-лабораторных задач, заключалось в анализе изображений образца трабекулярной костной ткани [9] (рис. 5) и образца автоклавного газобетона (рис. 6). а б Рис. 4. Тестовые изотропная (а) и анизотропная (б) модельные пористые объекты с изображенными эллипсами структуры Рис. 5. Поперечный срез шейки бедренной кости человека [9] Рис. 6. Образец автоклавного газобетона Результаты цифровой обработки изображений представлены на рис. 7-8. Рис. 7. Образец трабекулярной костной ткани шейки бедренной кости человека с изображенным эллипсом структуры Рис. 8. Образец автоклавного газобетона и бинаризированное изображение представленной структуры (справа) с изображенным эллипсом структуры Из полученных результатов видно, что тензор структуры способен описывать анизотропные свойства натуральных и искусственных пористых структур, а программный комплекс позволяет автоматизировать процесс определения требуемых параметров. Заключение В представленной работе была рассмотрена процедура построения тензора структуры и его визуального образа - эллипса структуры - для различных двухфазных пористых структур. Описан алгоритм определения основных стереометрических параметров и разработан комплекс проблемно-ориентированных программ, позволяющий в интерактивном режиме строить тензор структуры. Верификация работоспособности программы проведена с помощью тестовых микроструктур и образцов ранее уже исследованной структуры трабекулярной костной ткани. С помощью разработанного программного обеспечения были успешно определены стереометрические характеристики автоклавного газобетона.

About the authors

A. A. Kichenko

Perm National Research Polytechnic University

V. M. Tverier

Perm National Research Polytechnic University

References

  1. Cowin, S.C. Bone mechanics handbook / S.C. Cowin. - Second edition. - New York: CRC Press. - 2001. - 1136 p.
  2. Киченко, А.А. Математическое моделирование структуры губчатой костной ткани с использованием тензора структуры / А.А. Киченко, В.М. Тверье, А.В. Сотин // Математические методы в технологиях и технике. - 2023. - № 9. - С. 41-44.
  3. Няшин, Ю.И. Экспериментальные методы в биомеханике / Ю.И. Няшин, Р.М. Подгаец. - Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2008. - 400 с.
  4. Harrigan, T.P. Characterization of microstructural anisotropy in orthotropic materials using a second rank tensor / T.P. Harrigan, R.W. Mann //j. Mater. Sci. - 1984. - Vol. 19. - P. 761-767.
  5. Telega, J.J. Fabric tensor in bone mechanics /j.J. Telega, S. Jemiolo //j. Engineering Transactions. - 1998. - Vol. 46. - P. 3-26.
  6. Underwood, E. Quantitative stereology / E. Underwood. - Mass.: Addision Wesley, 1970. - 274 p.
  7. Whitehouse, W.J. The quantitative morphology of anisotropic trabecular bone / W.J. Whitehouse //j. Microscopy. - 1974. - Vol. 101. - P. 153-168.
  8. Whitehouse, W.J. A stereological method for calculating the internal surface areas in structures which have become anisotropic as the result of linear expansions or contractions / W.J. Whitehouse //j. Microscopy. - 1974. - Vol. 101. - P. 169-176.
  9. Экспериментальное определение тензора структуры трабекулярной костной ткани / А.А. Киченко, В.М. Тверье, Ю.И. Няшин, А.А. Заборских // Российский журнал биомеханики. - 2011. - Т. 15, № 4. - С. 78-93.
  10. О приложении теории перестройки трабекулярной костной ткани / А.А. Киченко, В.М. Тверье, Ю.И. Няшин, М.А. Осипенко, В.А. Лохов // Российский журнал биомеханики. - 2012. - Т. 16, № 4. - С. 53-72.
  11. Experimental construction of the fabric tensor for trabecular bone tissue / V. Tverier, A. Kichenko, Y. Nyashin, V. Lokhov // Series on Biomechanics. - 2015. - Vol. 29, no. 4. - P. 33-38.
  12. Martin, R.B. Skeletal tissue mechanics. Second edition / R.B. Martin, D.B. Burr, N.A. Sharkey. - New York: Springer-Verlag. - 1998. - 392 p.
  13. Oda, M. Fabrics and their effects on the deformation behaviors of sand / M. Oda. - Saitama University: Dept. of Foundation Eng., 1976. - 59 p.
  14. Cowin, S.C. Fabric dependence of an anisotropic strength criterion / S.C. Cowin //j. Mech. Materials. - 1986. - Vol. 5. - P. 251-260.
  15. Cowin, S.C. Wolff’s law of trabecular architecture at remodeling equilibrium / S.C. Cowin //j. Biomech. Engng. - 1986. - Vol. 108. - P. 83-88.
  16. The fabric dependence of the orthotropic elastic constants of cancellous bone / C.H. Turner, S.C. Cowen, J.Y. Rho, R.B. Ashman, J.C. Rice //j. Biomechanics. - 1990. - Vol. 23. - P. 549-561.
  17. Cowin, S.C. An evolutionary Wolff’s law for trabecular architecture / S.C. Cowin //j. Biomech. Engng. - 1992. - Vol. 114. - P. 129-136.
  18. Постановка начально-краевой задачи о перестройке трабекулярной костной ткани / А.А. Киченко, В.М. Тверье, Ю.И. Няшин, М.А. Осипенко, В.А. Лохов // Российский журнал биомеханики. - 2012. - Т. 16, № 4. - С. 36-52.
  19. Mathematical modelling of trabecular bone tissue remodelling under load / V. Tverier, A. Kichenko, Y. Nyashin, V. Lokhov // Series on Biomechanics. - 2015. - Vol. 29, No. 4. - P. 39-44.
  20. Биомеханическое моделирование трабекулярной костной ткани в состоянии равновесия / Т.Н. Чикова, А.А. Киченко, В.М. Тверье, Ю.И. Няшин // Российский журнал биомеханики. - 2018. - Т. 22, № 3. - С. 282-291.
  21. Моделирование перестройки трабекулярной костной ткани в ветви нижней челюсти человека / Т.Н. Чикова, А.А. Киченко, В.М. Тверье, Ю.И. Няшин // Российский журнал биомеханики. - 2018. Т. 22, № 3. - С. 292-300.
  22. Киченко, А.А. Перестройка структуры губчатой костной ткани: математическое моделирование / А.А. Киченко // Российский журнал биомеханики. - 2019. - Т. 23, № 3. - С. 336-358.
  23. Киченко, А.А. Математическое моделирование адаптации губчатой костной ткани применительно к зубочелюстной системе человека / А.А. Киченко // Прикладная математика и вопросы управления. - 2020. - № 3. - С. 35-48.
  24. Киченко, А.А. Описание адаптации трабекулярной костной ткани посредством тензора структуры на примере зубочелюстной системы человека / А.А. Киченко // XIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике: сборник тезисов докладов: в 4 т., Санкт-Петербург, 21-25 августа 2023 г. - Т. 4. Материалы симпозиумов и исторической сессии. - С. 58-60.

Statistics

Views

Abstract - 4

PDF (Russian) - 8

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies