On the estimates of the fundamental solution and the Cauchy function for a class of linear autonomous differential equations of neutral type

Abstract


In the paper we consider a class of linear autonomous differential equations of neutral type. The equation under study arises in applications such that dynamics of cell population, motion of 2 dimensional elastic plates with friction, and ultrasonic flaw detection. On the other hand, this equation has a large variety of asymptotic properties of solutions and is therefore also interesting from a theoretical point of view, which is confirmed by a significant number of purely theoretical studies. The equation in question is a good example of an object that is simple enough to allow effective stability conditions to be obtained, and at the same time complex enough to exhibit all the variety of asymptotic properties of solutions of autonomous equations of neutral type.The study of the stability of the considered equation is reduced to the study of asymptotic properties of its fundamental solution and Cauchy function. For the equation under study, the exponential stability criterion is known, and the domain of stability is constructed in the space of the coefficients.In this paper, we study the positivity of the fundamental solution and the Cauchy function of the given equation, and establish two-sided exponential estimates for these functions. To do this, a well-known lemma on differential inequality is generalized for the linear autonomous differential equation of neutral type. Further, we obtain that if the equation in question is exponentially stable and its characteristic function has at least one real root, then the fundamental solution and the Cauchy function are positive on the positive semi-axis. We give a geometric form to this condition, describing a domain in the parameter space of the equation. Based on the positiveness of the fundamental solution and the Cauchy function, we construct their two-sided exponential estimates. The exponents and coefficients in the estimates obtained for the fundamental solution and the Cauchy function are exact. The effectiveness of the results established in the article is illustrated by an example.

Full Text

2

About the authors

A. S Balandin

Perm National Research Polytechnic University

References

  1. Diekmann, O. On the characteristic equation λ = α1 + (α2 + α3λ)e−λ and its use in the context of a cell population model / O. Diekmann, P. Getto, Y. Nakata // J. Math. Biol. — 2016. — Vol. 72. — P. 877–908.
  2. Putelat, T. Wave-modulated orbits in rate-and-state friction / T. Putelat, J. R.Willis, J. H. R. Dawes // International Journal of Non-Linear Mechanics. — 2012. — Vol. 47. — P. 258–267.
  3. Junca, S. Interaction between periodic elastic waves and two contact nonlinearities / S. Junca, B. Lombard // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. — 2012. — Vol. 22, no. 4. — 41 p.
  4. Ожиганова, И. А. Определение области асимптотической устойчивости для дифференциального уравнения первого порядка с отклоняющимся аргументом / И. А. Ожиганова // Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / Ун-т Дружбы народов. –– 1962. –– Т. 1. –– С. 52–62.
  5. Громова, П. С. О тригонометрических рядах, суммой которых является непрерывная неограниченная на числовой оси функция — решение уравнения с отклоняющимся аргументом / П. С. Громова, A. M. Зверкин // Дифференц. уравнения. –– 1968. –– Т. 4,№10. –– С. 1774–1784.
  6. Junca, S. Stability of a critical nonlinear neutral delay differential equation / S. Junca, B. Lombard // J. Differential Equations. –– 2014. –– Vol. 256, no. 7. –– P. 2368–2391.
  7. Cerma´k, J. Delay-dependent stability criteria for neutral delay differential and difference equations / J.Cerma´k, J.Hrabalova´ // Discrete and Continuous Dynamical Systems. –– 2014. — Vol. 34, no. 11. –– P. 4577–4588.
  8. Liao, X. Stability of a neutral delay neuron system in the critical case / X. Liao, N.Mu // 2014 International Joint Conference on Neural Networks (IJCNN). — Beijing, China, 2014. –– P. 1221–1224.
  9. Liao, X. Asymptotic stability of a class of neutral delay neuron system in a critical case / X. Liao // IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems. –– 2015. –– V. 26, no. 12. –– P. 3320–3325.
  10. Азбелев, Н. В. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений / Н. В. Азбелев, В. П. Максимов, Л. Ф. Рахматуллина. –– М.: Наука, 1991. –– 280 c.
  11. Баландин, А. С. О связи между фундаментальным решением и функцией Коши для функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа / А. С. Баландин // Прикладная математика и вопросы управления. –– 2018. –– № 1. –– С. 13–25.
  12. Баландин, А. С. Об экспоненциальной устойчивости линейных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа / А. С. Баландин, В. В. Малыгина // Изв. вузов. Матем. –– 2007. –– №7. –– С. 17–27.
  13. Баландин, А. С. Асимптотические свойства решений одного класса дифференциальных уравнений нейтрального типа / А. С. Баландин, В. В. Малыгина // Математические труды. –– 2020. –– Т. 23, № 2. –– С. 3–49.
  14. Азбелев, Н. В. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными / Н. В. Азбелев, П. М. Симонов. –– Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2001. –– 230 с.
  15. Малыгина, В. В. Оценка показателя экспоненты для устойчивых решений одного класса дифференциально-разностных уравнений / В. В.Малыгина // Изв. вузов. Матем. –– 2021. –– № 12. –– С. 67–79.
  16. Малыгина, В. В. О точных двусторонних оценках устойчивых реше-ний автономных функционально-дифференциальных уравнений / В. В. Малыгина, К. М. Чудинов // Сиб. матем. журн. –– 2022. –– Т. 63, № 2. –– С. 360–378.

Statistics

Views

Abstract - 12

PDF (Russian) - 6

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies