Abstract

Abstract

A multipoint problem with an integral condition is considered for first order linear differential equations system. Necessary and sufficient conditions of unique solution are obtained, the correctness condition, and the exact solution.

Full Text

Введение Многоточечные краевые задачи применяются в различных областях теории управления, строительной механики, экономики и в силу их важности исследованы многими авторами. Особый интерес представляют многоточечные задачи для дифференциальной системы уравнений (ДСУ) с интегральным условием. Возможно, одной из самых ранних работ по этой теме является Hilb problem [1] (Ly = PY' + QY, опубликованная в 1911 г. Тем не менее до сих пор установление корректности подобных задач и получение их точных решений остается актуальной и трудоемкой задачей. В настоящей работе для ДСУ первого порядка рассматривается многоточечная задача с интегральным условием. Задачи подобного типа естественно возникают из теории расширений минимального оператора или теории сужений максимального оператора в банаховых и гильбертовых пространствах. Эта теория в терминах обратных операторов в банаховых пространствах впервые была построена М.О. Отелбаевым и его учениками [2-4], а в терминах прямых операторов Р.О. Ойнаровым и его учениками [5-9]. В работах [5-15] с помощью теории расширений были получены критерии корректности и точные решения некоторых многоточечных и двухточечных задач. Для многих многоточечных задач с дифференциальным и дифференциально-функциональным уравнением получение точных решений невозможно. Поэтому большое количество научных работ посвящено исследованию разрешимости данных задач [16-19]. Меньшее число работ посвящено многоточечным задачам для ДСУ первого порядка [20-23]. Некоторые из них содержат интегральные условия на границе, но не дают точного решения. Чаще всего многоточечные задачи для ДСУ первого порядка с интегральным условием решаются численно [24]. Идеи, представленные в [7], сыграли существенную роль при написании данной статьи. 1. Необходимые определения Пусть X, Y - комплексные банаховы пространства. Через D(P) и R(P) будем обозначать соответственно область определения и область значения оператора P. Оператор P называется расширением оператора P0, а Р0 - сужением оператора P, если D(P0) ∈D(P) и Px = P0x, для всех x ∈ D(P0). Оператор P называется корректным, если R(P) = Y и обратный оператор P -1 существует и непрерывнен. Будем говорить, что задача Px = у корректна, если оператор P корректен. Уравнение Px = у с линейным оператором P однозначно разрешимо на R(P), если однородное уравнение Px = 0 имеет только нулевое решение, т.е. если ker P = {0}. Уравнение Px = у везде разрешимо на Y, если для любого у ∈Y оно имеет решение. В дальнейшем нулевой вектор-столбец мы будем обозначать через Многоточечные задачи для линейной ДСУ первого порядка Лемма 2.1. Пусть F(x) = col(f1(x), f2(x), ..., fn(x)), Cn[0,1] - пространство непрерывных вектор-функций с нормой и операторы L, K, H: Cn[0,1]→Cn[0,1] заданы матрицами где и пусть точки zj удовлетворяют условиям 0 = z0 < z1 < ... < zs < zs+1 = 1. Тогда имеют место оценки (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) Доказательство. Формула (1) доказана. Докажем (2): Далее доказательство (2) приводится как в случае (1). Докажем (3): Последнее неравенство следует из доказательства (2). Неравенства (4) и (5) сразу следуют из доказательства неравенств (2) и (3), если возьмем K(x) = H(x), L(x) = K(x), F(x) = F(x). Нижний и верхний пределы интегралов в (4) и (5) на доказательство не влияют. Для доказательства (6) введем вектор F(x) = Тогда, последовательно применяя неравенства (4) и (2), получаем: Докажем (7), используя вектор F(x) и неравенства (5) и (2): Лемма доказана. □ Рассмотрим следующую задачу: (8) (9) где A, Ai, Bj - постоянные матрицы, Cj (x) - переменные матрицы n-го порядка, элементы которых являются непрерывными функциями на [0,1], Y(x) - вектор-функция с непрерывно дифференцируемыми координатами, т.е. Y(x) ∈ Точки xi, zj удовлетворяют условиям: 0 = x0 < x1 < ... < xm-1 < xm = 1, 0 = z0 < z1 < ... < zs < zs+1 = 1. Пусть F(x) ∈ Cn[0,1]. Заметим, что оператор P, соответствующий задаче (8)-(9), является расширением следующего минимального оператора P0: где i = 1, ..., m, j = 0, 1, ..., s. Доказаны следующие теоремы. Теорема 2.2. Задача (8)-(9) однозначно разрешима на Cn[0,1] тогда и только тогда, когда (10) Доказательство. Введем оператор P, соответствующий однородной задаче (8)-(9): (11) (12) Как известно, система уравнений (11) имеет решение (13) где exA - фундаментальная матрица системы (11) и D - произвольный столбец с постоянными коэффициентами. Для доказательства теоремы достаточно показать, что ker P = {0}, если и только если det T ≠ 0. Пусть det T ≠ 0. Из (13) легко следует (14) (15) Интегрируя соотношение (15), получаем (16) Из (12) в силу (14) и (16) следует или (17) Из последнего уравнения и предположения det T ≠ 0 получаем D = Подставляя это значение в (13), получаем Y(x) = Следовательно, ker P = {0}. Обратное утверждение докажем методом от противного. Пусть det T = 0. Тогда существует такой столбец D0 ≠ с постоянными коэффициентами, что TD0 = Рассмотрим вектор-функцию Y0(x) = = exAD0. Очевидно, что Y0(x) ≠ так как exA - фундаментальная матрица системы (11). Покажем, что Y0(x) ∈D(P) ∩ ker P. Действительно, подставляя последовательно Y0(x) в (11) и (12), получаем Из первого соотношения следует Y0(x) ∈ ker P, а из второго - Y0(x) ∈D(P). Таким образом, доказано, что из det T = 0 следует ker P ≠ {0}, что эквивалентно утверждению: из ker P = {0} следует det T ≠ 0. Теорема доказана. □ Теорема 2.3. Если задача (8)-(9) однозначно разрешима на Cn[0,1], тогда она корректна и единственное решение ее задается формулой Доказательство. Пусть задача (8)-(9) однозначно разрешима. Тогда из теоремы 2.2 следует det T ≠ 0. Как известно, уравнение (8) для любого F(x) ∈Cn[0,1], имеет решение (19) где exA - фундаментальная матрица системы Y'(x) = AY(x) и D - произвольный столбец с постоянными коэффициентами. Из (19) легко следует (20) (21) Интегрируя соотношение (21), получаем (22) Из (9) в силу (20) и (22) следует или Из последней системы уравнений и предположения det T ≠ 0 получаем (24) Подставляя значение D в (19), получаем решение (18) задачи (8)-(9). Поскольку это решение выполняется для любого F(x) ∈Cn[0,1], система уравнений (8)-(9) везде разрешима. Используя обозначения оператора P из (11), (12), перепишем решение (18) в виде Y(x)=P -1F(x). Теперь для доказательства корректности задачи (8)-(9) остается показать ограниченность обратного оператора P -1. Из (18) следует (25) Вводим n×n-матрицы: L(x) = (lμv) = e-xA, K(x) = (kμv) = exA, Ki(x) = = (kμv(i)) = exAT -1AiexiA, Hj(x) = (hμv(j)) = exAT -1Bj, (x) = ( = = Cj(x)exA, i = 1, … m; j = 1, …, s; μ, v = 1, ..., n. Элементы всех этих матриц являются непрерывными функциями на [0,1], так как непрерывно дифференцируемы элементы фундаментальной матрицы K(x) = exA и обратной к ней L(x) = e-xA. Поэтому существуют числа Перепишем (25) в терминах новых обозначений: Из этого уравнения при помощи леммы 2.1 следует оценка которая доказывает ограниченность оператора P-1, и, следовательно, задача (8)-(9) корректна. Теорема доказана. □