Аннотация

Аннотация

Для линейной дифференциальной системы уравнений первого порядка рассматривается многоточечная задача с интегральным условием. Получены необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости, условие корректности и точное решение.

Полный текст

Введение Многоточечные краевые задачи применяются в различных областях теории управления, строительной механики, экономики и в силу их важности исследованы многими авторами. Особый интерес представляют многоточечные задачи для дифференциальной системы уравнений (ДСУ) с интегральным условием. Возможно, одной из самых ранних работ по этой теме является Hilb problem [1] (Ly = PY' + QY, опубликованная в 1911 г. Тем не менее до сих пор установление корректности подобных задач и получение их точных решений остается актуальной и трудоемкой задачей. В настоящей работе для ДСУ первого порядка рассматривается многоточечная задача с интегральным условием. Задачи подобного типа естественно возникают из теории расширений минимального оператора или теории сужений максимального оператора в банаховых и гильбертовых пространствах. Эта теория в терминах обратных операторов в банаховых пространствах впервые была построена М.О. Отелбаевым и его учениками [2-4], а в терминах прямых операторов Р.О. Ойнаровым и его учениками [5-9]. В работах [5-15] с помощью теории расширений были получены критерии корректности и точные решения некоторых многоточечных и двухточечных задач. Для многих многоточечных задач с дифференциальным и дифференциально-функциональным уравнением получение точных решений невозможно. Поэтому большое количество научных работ посвящено исследованию разрешимости данных задач [16-19]. Меньшее число работ посвящено многоточечным задачам для ДСУ первого порядка [20-23]. Некоторые из них содержат интегральные условия на границе, но не дают точного решения. Чаще всего многоточечные задачи для ДСУ первого порядка с интегральным условием решаются численно [24]. Идеи, представленные в [7], сыграли существенную роль при написании данной статьи. 1. Необходимые определения Пусть X, Y - комплексные банаховы пространства. Через D(P) и R(P) будем обозначать соответственно область определения и область значения оператора P. Оператор P называется расширением оператора P0, а Р0 - сужением оператора P, если D(P0) ∈D(P) и Px = P0x, для всех x ∈ D(P0). Оператор P называется корректным, если R(P) = Y и обратный оператор P -1 существует и непрерывнен. Будем говорить, что задача Px = у корректна, если оператор P корректен. Уравнение Px = у с линейным оператором P однозначно разрешимо на R(P), если однородное уравнение Px = 0 имеет только нулевое решение, т.е. если ker P = {0}. Уравнение Px = у везде разрешимо на Y, если для любого у ∈Y оно имеет решение. В дальнейшем нулевой вектор-столбец мы будем обозначать через Многоточечные задачи для линейной ДСУ первого порядка Лемма 2.1. Пусть F(x) = col(f1(x), f2(x), ..., fn(x)), Cn[0,1] - пространство непрерывных вектор-функций с нормой и операторы L, K, H: Cn[0,1]→Cn[0,1] заданы матрицами где и пусть точки zj удовлетворяют условиям 0 = z0 < z1 < ... < zs < zs+1 = 1. Тогда имеют место оценки (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) Доказательство. Формула (1) доказана. Докажем (2): Далее доказательство (2) приводится как в случае (1). Докажем (3): Последнее неравенство следует из доказательства (2). Неравенства (4) и (5) сразу следуют из доказательства неравенств (2) и (3), если возьмем K(x) = H(x), L(x) = K(x), F(x) = F(x). Нижний и верхний пределы интегралов в (4) и (5) на доказательство не влияют. Для доказательства (6) введем вектор F(x) = Тогда, последовательно применяя неравенства (4) и (2), получаем: Докажем (7), используя вектор F(x) и неравенства (5) и (2): Лемма доказана. □ Рассмотрим следующую задачу: (8) (9) где A, Ai, Bj - постоянные матрицы, Cj (x) - переменные матрицы n-го порядка, элементы которых являются непрерывными функциями на [0,1], Y(x) - вектор-функция с непрерывно дифференцируемыми координатами, т.е. Y(x) ∈ Точки xi, zj удовлетворяют условиям: 0 = x0 < x1 < ... < xm-1 < xm = 1, 0 = z0 < z1 < ... < zs < zs+1 = 1. Пусть F(x) ∈ Cn[0,1]. Заметим, что оператор P, соответствующий задаче (8)-(9), является расширением следующего минимального оператора P0: где i = 1, ..., m, j = 0, 1, ..., s. Доказаны следующие теоремы. Теорема 2.2. Задача (8)-(9) однозначно разрешима на Cn[0,1] тогда и только тогда, когда (10) Доказательство. Введем оператор P, соответствующий однородной задаче (8)-(9): (11) (12) Как известно, система уравнений (11) имеет решение (13) где exA - фундаментальная матрица системы (11) и D - произвольный столбец с постоянными коэффициентами. Для доказательства теоремы достаточно показать, что ker P = {0}, если и только если det T ≠ 0. Пусть det T ≠ 0. Из (13) легко следует (14) (15) Интегрируя соотношение (15), получаем (16) Из (12) в силу (14) и (16) следует или (17) Из последнего уравнения и предположения det T ≠ 0 получаем D = Подставляя это значение в (13), получаем Y(x) = Следовательно, ker P = {0}. Обратное утверждение докажем методом от противного. Пусть det T = 0. Тогда существует такой столбец D0 ≠ с постоянными коэффициентами, что TD0 = Рассмотрим вектор-функцию Y0(x) = = exAD0. Очевидно, что Y0(x) ≠ так как exA - фундаментальная матрица системы (11). Покажем, что Y0(x) ∈D(P) ∩ ker P. Действительно, подставляя последовательно Y0(x) в (11) и (12), получаем Из первого соотношения следует Y0(x) ∈ ker P, а из второго - Y0(x) ∈D(P). Таким образом, доказано, что из det T = 0 следует ker P ≠ {0}, что эквивалентно утверждению: из ker P = {0} следует det T ≠ 0. Теорема доказана. □ Теорема 2.3. Если задача (8)-(9) однозначно разрешима на Cn[0,1], тогда она корректна и единственное решение ее задается формулой Доказательство. Пусть задача (8)-(9) однозначно разрешима. Тогда из теоремы 2.2 следует det T ≠ 0. Как известно, уравнение (8) для любого F(x) ∈Cn[0,1], имеет решение (19) где exA - фундаментальная матрица системы Y'(x) = AY(x) и D - произвольный столбец с постоянными коэффициентами. Из (19) легко следует (20) (21) Интегрируя соотношение (21), получаем (22) Из (9) в силу (20) и (22) следует или Из последней системы уравнений и предположения det T ≠ 0 получаем (24) Подставляя значение D в (19), получаем решение (18) задачи (8)-(9). Поскольку это решение выполняется для любого F(x) ∈Cn[0,1], система уравнений (8)-(9) везде разрешима. Используя обозначения оператора P из (11), (12), перепишем решение (18) в виде Y(x)=P -1F(x). Теперь для доказательства корректности задачи (8)-(9) остается показать ограниченность обратного оператора P -1. Из (18) следует (25) Вводим n×n-матрицы: L(x) = (lμv) = e-xA, K(x) = (kμv) = exA, Ki(x) = = (kμv(i)) = exAT -1AiexiA, Hj(x) = (hμv(j)) = exAT -1Bj, (x) = ( = = Cj(x)exA, i = 1, … m; j = 1, …, s; μ, v = 1, ..., n. Элементы всех этих матриц являются непрерывными функциями на [0,1], так как непрерывно дифференцируемы элементы фундаментальной матрицы K(x) = exA и обратной к ней L(x) = e-xA. Поэтому существуют числа Перепишем (25) в терминах новых обозначений: Из этого уравнения при помощи леммы 2.1 следует оценка которая доказывает ограниченность оператора P-1, и, следовательно, задача (8)-(9) корректна. Теорема доказана. □