НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С МНОГОТОЧЕЧНЫМ ФУНКЦИОНАЛОМ

Аннотация


Рассматривается одна задача оптимального управления с распределенными параметрами типа Москаленко с многоточечным функционалом качества. К настоящему времени теория необходимых условий оптимальности первого порядка типа принципа максимума Понтрягина или же его следствий достаточно полно разработана для различных задач оптимального управления, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, т.е. для задач оптимального управления с сосредоточенными параметрами. Многие управляемые процессы описываются различными уравнениями в частных производных (процессы с распределенными параметрами). Задачам оптимального управления с распределенными параметрами присущи некоторые особенности и поэтому при исследовании задачи оптимального управления с распределенными параметрами, в частности при выводе различных необходимых условий оптимальности, возникают нетривиальные трудности. В частности, при исследовании случаев вырождения установленных необходимых условий оптимальности возникают принципиальные трудности. Исследуется одна задача оптимального управления, описываемая системой уравнений в частных производных первого порядка с управляемым начальным условием, при предположении, что начальная функция является решением задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Целевая функция (критерия качества) является многоточечной, поэтому возникает необходимость во введении нетрадиционного сопряженного уравнения не в дифференциальной (классической), а в интегральной форме. С использованием одного варианта метода приращений и способа явной линеаризации исходной системы доказано необходимое условие оптимальности в форме аналога принципа максимума Л.С. Понтрягина. Известно, что принцип максимума Л.С. Понтрягина для различных задач оптимального управления является самым сильным необходимым условием оптимальности. Но принцип максимума Л.С. Понтрягина, являясь необходимым условием первого порядка, нередко вырождается. Такие случаи принято называть особыми, а соответствующие управления - особыми управлениями. Исходя из этих соображений в рассматриваемой задаче исследуется случай вырождения принципа максимума Л.С. Понтрягина для рассматриваемой задачи. С этой целью выведена формула приращения функционала качества второго порядка. Введя вспомогательные матричные функции, удалось получить формулу приращения второго порядка, носящую конструктивный характер. Доказано необходимое условие оптимальности особых, в смысле принципа максимума Л.С. Понтрягина, управлений. Доказанные необходимые условия оптимальности носят явный характер.

Полный текст

Введение В работе [1] А.И. Москаленко исследовал одну задачу оптимального управления, занимающую промежуточное положение между задачами оптимального управления системами с сосредоточенными, а также распределенными параметрами, и нашел необходимое условие оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина. В предлагаемой же работе подобная задача рассматривается в случае многоточечного критерия качества. Сначала приведено необходимое условие оптимальности типа принципа максимума с помощью сопряженной системы, а затем изучен случай вырождения принципа максимума Понтрягина (особый случай [2]). С применением модифицированного варианта метода, предложенного и развитого в работах [3-6], получено необходимое условие оптимальности особых управлений. 1. Постановка задачи Пусть ,, точки , таковы, что , . Требуется найти минимальное значение многоточечного функционала (1) при ограничениях , (2) , (3) (4) , (5) . (6) Здесь - заданная n-мерная вектор-функция и непрерывная в вместе с частными производными по до второго порядка включительно; - заданная и непрерывная в вместе с частными производными по до второго порядка включительно скалярная функция; и - заданные непустые и ограниченные множества; - кусочно-непрерывная (с конечным числом точек разрыва первого рода) вектор-функция управляющих воздействий. Пару с вышеприведенными свойствами назовем допустимым управлением. Предполагается, что каждому допустимому управлению соответствует единственное решение [1] задачи (3)-(6). Допустимое управление , доставляющее минимум функционалу (1) при ограничениях (2)-(6), назовем оптимальным управлением, а соответствующий процесс - оптимальным процессом. 2. Формула для приращения критерия качества Пусть - фиксированное допустимое управление, а - произвольное допустимое управление. Через , обозначим соответствующие им решения задачи (3)-(6). Из обозначений ясно, что является решением задачи , (7) , (8) При этом приращение функционала качества (1) с помощью формулы Тейлора записывается в виде (9) Здесь и в дальнейшем при т.е. имеет более высокий порядок малости, чем . Введем аналоги функций Гамильтона - Понтрягина , , где , - пока неизвестные вектор-функции. Тогда, используя соотношения (7), (8), приращение (9) функционала качества при помощи формулы Тейлора можно представить в виде (10) Ясно, что (11) (12) Для простоты изложения будем использовать обозначения: ; ; ; . Учитывая эти обозначения и формулы (11), (12), из формулы (10) получим (13) где , , - характеристические функции отрезков , , соответственно; (14) Далее, из формулы (13) имеем (15) Если предполагать, что является решением системы интегральных уравнений типа Вольтерра , (16) то формула приращения (15) примет вид (17) 3. Необходимые условия оптимальности Считая оптимальным управлением, его специальное приращение определим по формуле (18) Здесь - произвольная точка непрерывности управления , - произвольный вектор, а - произвольное число, такое, что . Заметим, что игольчатые вариации типа (18) называются вариациями Макшейна [7-9]. Через обозначим специальное приращение состояния , отвечающее приращению (18) управления Из формул (7), (8), переходя к эквивалентным интегральным уравнениям типа Вольтерра, а затем применяя лемму Гронуолла - Беллмана [10-11], получим, что (19) (20) где - некоторые положительные постоянные. Принимая во внимание формулы (19) и (20), найдем постоянную что (21) Теперь из оценок (19), (21) следует, что (22) С учетом формул (18), (22), из формулы приращения (17), принимая во внимание теорему о среднем, получим, что вдоль оптимального управления (23) Определим специальное приращение оптимального управления по формуле (24) где - произвольная точка непрерывности управляющей функции ; - произвольный вектор, а - произвольное, достаточно малое число, такое, что . Пусть - специальное приращение состояния соответствующее специальному приращению (24) управления Из оценок (19), (21) следует, что при некоторых (25) Принимая во внимание оценки (25) и формулу (24), из формулы (17) получим, что (26) Из неравенств (23), (26), в силу произвольности и , приходим к соотношениям (27) (28) Сформулируем полученный результат. Теорема 1. Для оптимальности допустимого управления в задаче (1)-(6) необходимо, чтобы неравенства (27), (28) выполнялись соответственно для всех , и , Пара неравенств (27), (28) представляет собой аналог принципа максимума Понтрягина для рассматриваемой задачи [7, 12]. Формула приращения (17) позволяет исследовать также случай вырождения принципа максимума (особый случай). Дадим определения особого (в смысле принципа максимума Понтрягина) управления. Определение. Допустимое управление назовем особым, в смысле принципа максимума Понтрягина, управлением в задаче (1)-(6), если для всех , и , соответственно выполняются соотношения (29) (30) Из определения ясно, что для особых управлений условие максимума (27), (28), вырождаясь, становится неэффективным. Ввиду этого надо иметь новые необходимые условия оптимальности. Перейдем к выводу необходимых условий оптимальности особых управлений. Из формул (7), (8) следует, что является решением линеаризованной задачи (31) (32) (33) (34) Здесь по определению где величины , определяются соответственно из разложений Решения линеаризованных задач (31)-(32) и (33)-(34) (на основе аналога формулы Коши) [13-15]) соответственно допускают представления (35) (36) Здесь ; (37) , а - -матричные функции, являющиеся решениями матричных дифференциальных уравнений: где - единичная матрица. Из представления (36), с учетом представления (35) получаем, что (38) где Из представлений (38), (35), с учетом оценок (22)-(25) получаем, что (39) ; (40) (41) В особом случае из формулы приращения (17) получаем (42) (43) Из представления (39) ясно, что (44) С помощью представления (44) доказывается (45) (46) (47) Далее, из представления (41) ясно, что . (48) Введем обозначения (49) (50) Учитывая обозначения (49), (50), из формул приращения (42), (43) после некоторых преобразований получим (51) (52) Учитывая произвольность и независимость величин и из разложений (56), (57) получаем, что вдоль особого оптимального управления выполняются следующие соотношения: (53) для всех (54) для всех Сформулируем полученный результат. Теорема 2. Для оптимальности особого, в смысле принципа максимума Понтрягина, управления в задаче (1)-(6) необходимо, чтобы неравенства (53), (54) выполнялись соответственно. Заметим, что необходимые условия оптимальности (53), (54) являются аналогами условия оптимальности Габасова - Кирилловой, полученного другим способом в случае терминальной задачи управления обыкновенными динамическими системами [2].

Об авторах

Ш. М Расулзаде

Институт систем управления НАН Азербайджана; Азербайджанский государственный педагогический университет

Список литературы

  1. Москаленко А.И. Об одном классе задач оптимального регулирования // Журнал Вычислительной математики и математической физики. - 1969. - Т. 9, № 1. - С. 68-95.
  2. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. - М.: Либроком, 2011. - 256 с.
  3. Мансимов К.Б. Особые управления в системах с запаздыванием. - Баку: ЭЛМ, 1999. - 176 с.
  4. Мансимов К.Б. Необходимые условия оптимальности особых процессов в задачах оптимального управления: автореф. дис. … д-ра физ.-мат. наук. - Баку, 1994. - 43 с.
  5. Мансимов К.Б., Марданов М.Дж. Качественная теория оптимального управления системами Гурса - Дарбу. - Баку: ЭЛМ, 2010. - 360 с.
  6. Mansimov K.B., Rasulova Sh.M. On optimality of singular controls in an optimal control problem // Вестник Томского государственного университета. - 2018. - № 54. - C. 17-33.
  7. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. - 2-е изд. - М.: Наука, 1969. - 384 с.
  8. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимального управления // Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики / АН СССР; ВИНИТИ. - М.: [б. и.], 1976. - Т. 6. - С. 131-204.
  9. Гороховик С.Я. Необходимые условия оптимальности в задаче с подвижным правым концом траектории // Дифференциальные уравнения. - 1975. - Т. 11, № 10. - С. 1765-1773.
  10. Новоженов М.М., Сумин В.И., Сумин М.И. Методы оптимального управления системами математической физики. - Горький: Изд-во Горьков. гос. ун-та, 1986. - 87 с.
  11. Dragomir S.S. Some Grunwall type inequalities and applications. - Australia: Melbourne city LC, 2002. - 191 p.
  12. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. - М.: Либроком, 2011. - 272 с.
  13. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Оптимизация линейных систем. - Минск: Изд-во БГУ, 1973. - 256 с.
  14. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. - М.: Наука, 1979. - 429 с.
  15. Ахиев С.С., Ахмедов К.Т. Об интегральном представлении решений некоторых систем дифференциальных уравнений // Известия АН Азерб. ССР. Сер. физ.-тех. и матем. наук. - 1973. - № 2. - С. 116-120.

Статистика

Просмотры

Аннотация - 90

PDF (Russian) - 47

Ссылки

  • Ссылки не определены.

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах