REQUIRED OPTIMALITY CONDITIONS IN ONE OPTIMAL CONTROL PROBLEM WITH MULTIPOINT FUNCTIONAL

Abstract


One specific optimal control problem with distributed parameters of the Moskalenko type with a multipoint quality functional is considered. To date, the theory of necessary first-order optimality conditions such as the Pontryagin maximum principle or its consequences has been sufficiently developed for various optimal control problems described by ordinary differential equations, i.e. for optimal control problems with lumped parameters. Many controlled processes are described by various partial differential equations (processes with distributed parameters). Some features are inherent in optimal control problems with distributed parameters, and therefore, when studying the optimal control problem with distributed parameters, in particular, when deriving various necessary optimality conditions, non-trivial difficulties arise. In particular, in the study of cases of degeneracy of the established necessary optimality conditions, fundamental difficulties arise. In the present work, we study one optimal control problem described by a system of first-order partial differential equations with a controlled initial condition under the assumption that the initial function is a solution to the Cauchy problem for ordinary differential equations. The objective function (quality criterion) is multi-point. Therefore, it becomes necessary to introduce an unconventional conjugate equation, not in differential (classical), but in integral form. In the work, using one version of the increment method, using the explicit linearization method of the original system, the necessary optimality condition is proved in the form of an analog of the maximum principle of L.S. Pontryagin. It is known that the maximum principle of L.S. Pontryagin for various optimal control problems is the strongest necessary condition for optimality. But the principle of a maximum of L.S. Pontryagin, being a necessary condition of the first order, often degenerates. Such cases are called special, and the corresponding management, special management. Based on these considerations, in the considered problem, we study the case of degeneration of the maximum principle of L.S. Pontryagin for the problem under consideration. For this purpose, a formula for incrementing the quality functional of the second order is constructed. By introducing auxiliary matrix functions, it was possible to obtain a second-order increment formula that is constructive in nature. The necessary optimality condition for special controls in the sense of the maximum principle of L.S. Pontryagin is proved. The proved necessary optimality conditions are explicit.

Full Text

Введение В работе [1] А.И. Москаленко исследовал одну задачу оптимального управления, занимающую промежуточное положение между задачами оптимального управления системами с сосредоточенными, а также распределенными параметрами, и нашел необходимое условие оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина. В предлагаемой же работе подобная задача рассматривается в случае многоточечного критерия качества. Сначала приведено необходимое условие оптимальности типа принципа максимума с помощью сопряженной системы, а затем изучен случай вырождения принципа максимума Понтрягина (особый случай [2]). С применением модифицированного варианта метода, предложенного и развитого в работах [3-6], получено необходимое условие оптимальности особых управлений. 1. Постановка задачи Пусть ,, точки , таковы, что , . Требуется найти минимальное значение многоточечного функционала (1) при ограничениях , (2) , (3) (4) , (5) . (6) Здесь - заданная n-мерная вектор-функция и непрерывная в вместе с частными производными по до второго порядка включительно; - заданная и непрерывная в вместе с частными производными по до второго порядка включительно скалярная функция; и - заданные непустые и ограниченные множества; - кусочно-непрерывная (с конечным числом точек разрыва первого рода) вектор-функция управляющих воздействий. Пару с вышеприведенными свойствами назовем допустимым управлением. Предполагается, что каждому допустимому управлению соответствует единственное решение [1] задачи (3)-(6). Допустимое управление , доставляющее минимум функционалу (1) при ограничениях (2)-(6), назовем оптимальным управлением, а соответствующий процесс - оптимальным процессом. 2. Формула для приращения критерия качества Пусть - фиксированное допустимое управление, а - произвольное допустимое управление. Через , обозначим соответствующие им решения задачи (3)-(6). Из обозначений ясно, что является решением задачи , (7) , (8) При этом приращение функционала качества (1) с помощью формулы Тейлора записывается в виде (9) Здесь и в дальнейшем при т.е. имеет более высокий порядок малости, чем . Введем аналоги функций Гамильтона - Понтрягина , , где , - пока неизвестные вектор-функции. Тогда, используя соотношения (7), (8), приращение (9) функционала качества при помощи формулы Тейлора можно представить в виде (10) Ясно, что (11) (12) Для простоты изложения будем использовать обозначения: ; ; ; . Учитывая эти обозначения и формулы (11), (12), из формулы (10) получим (13) где , , - характеристические функции отрезков , , соответственно; (14) Далее, из формулы (13) имеем (15) Если предполагать, что является решением системы интегральных уравнений типа Вольтерра , (16) то формула приращения (15) примет вид (17) 3. Необходимые условия оптимальности Считая оптимальным управлением, его специальное приращение определим по формуле (18) Здесь - произвольная точка непрерывности управления , - произвольный вектор, а - произвольное число, такое, что . Заметим, что игольчатые вариации типа (18) называются вариациями Макшейна [7-9]. Через обозначим специальное приращение состояния , отвечающее приращению (18) управления Из формул (7), (8), переходя к эквивалентным интегральным уравнениям типа Вольтерра, а затем применяя лемму Гронуолла - Беллмана [10-11], получим, что (19) (20) где - некоторые положительные постоянные. Принимая во внимание формулы (19) и (20), найдем постоянную что (21) Теперь из оценок (19), (21) следует, что (22) С учетом формул (18), (22), из формулы приращения (17), принимая во внимание теорему о среднем, получим, что вдоль оптимального управления (23) Определим специальное приращение оптимального управления по формуле (24) где - произвольная точка непрерывности управляющей функции ; - произвольный вектор, а - произвольное, достаточно малое число, такое, что . Пусть - специальное приращение состояния соответствующее специальному приращению (24) управления Из оценок (19), (21) следует, что при некоторых (25) Принимая во внимание оценки (25) и формулу (24), из формулы (17) получим, что (26) Из неравенств (23), (26), в силу произвольности и , приходим к соотношениям (27) (28) Сформулируем полученный результат. Теорема 1. Для оптимальности допустимого управления в задаче (1)-(6) необходимо, чтобы неравенства (27), (28) выполнялись соответственно для всех , и , Пара неравенств (27), (28) представляет собой аналог принципа максимума Понтрягина для рассматриваемой задачи [7, 12]. Формула приращения (17) позволяет исследовать также случай вырождения принципа максимума (особый случай). Дадим определения особого (в смысле принципа максимума Понтрягина) управления. Определение. Допустимое управление назовем особым, в смысле принципа максимума Понтрягина, управлением в задаче (1)-(6), если для всех , и , соответственно выполняются соотношения (29) (30) Из определения ясно, что для особых управлений условие максимума (27), (28), вырождаясь, становится неэффективным. Ввиду этого надо иметь новые необходимые условия оптимальности. Перейдем к выводу необходимых условий оптимальности особых управлений. Из формул (7), (8) следует, что является решением линеаризованной задачи (31) (32) (33) (34) Здесь по определению где величины , определяются соответственно из разложений Решения линеаризованных задач (31)-(32) и (33)-(34) (на основе аналога формулы Коши) [13-15]) соответственно допускают представления (35) (36) Здесь ; (37) , а - -матричные функции, являющиеся решениями матричных дифференциальных уравнений: где - единичная матрица. Из представления (36), с учетом представления (35) получаем, что (38) где Из представлений (38), (35), с учетом оценок (22)-(25) получаем, что (39) ; (40) (41) В особом случае из формулы приращения (17) получаем (42) (43) Из представления (39) ясно, что (44) С помощью представления (44) доказывается (45) (46) (47) Далее, из представления (41) ясно, что . (48) Введем обозначения (49) (50) Учитывая обозначения (49), (50), из формул приращения (42), (43) после некоторых преобразований получим (51) (52) Учитывая произвольность и независимость величин и из разложений (56), (57) получаем, что вдоль особого оптимального управления выполняются следующие соотношения: (53) для всех (54) для всех Сформулируем полученный результат. Теорема 2. Для оптимальности особого, в смысле принципа максимума Понтрягина, управления в задаче (1)-(6) необходимо, чтобы неравенства (53), (54) выполнялись соответственно. Заметим, что необходимые условия оптимальности (53), (54) являются аналогами условия оптимальности Габасова - Кирилловой, полученного другим способом в случае терминальной задачи управления обыкновенными динамическими системами [2].

About the authors

Sh. M Rasulzade

Institute of Control Systems of Azerbaijan NAS; Azerbaijan State Pedagogical University

References

  1. Москаленко А.И. Об одном классе задач оптимального регулирования // Журнал Вычислительной математики и математической физики. - 1969. - Т. 9, № 1. - С. 68-95.
  2. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. - М.: Либроком, 2011. - 256 с.
  3. Мансимов К.Б. Особые управления в системах с запаздыванием. - Баку: ЭЛМ, 1999. - 176 с.
  4. Мансимов К.Б. Необходимые условия оптимальности особых процессов в задачах оптимального управления: автореф. дис. … д-ра физ.-мат. наук. - Баку, 1994. - 43 с.
  5. Мансимов К.Б., Марданов М.Дж. Качественная теория оптимального управления системами Гурса - Дарбу. - Баку: ЭЛМ, 2010. - 360 с.
  6. Mansimov K.B., Rasulova Sh.M. On optimality of singular controls in an optimal control problem // Вестник Томского государственного университета. - 2018. - № 54. - C. 17-33.
  7. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. - 2-е изд. - М.: Наука, 1969. - 384 с.
  8. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимального управления // Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики / АН СССР; ВИНИТИ. - М.: [б. и.], 1976. - Т. 6. - С. 131-204.
  9. Гороховик С.Я. Необходимые условия оптимальности в задаче с подвижным правым концом траектории // Дифференциальные уравнения. - 1975. - Т. 11, № 10. - С. 1765-1773.
  10. Новоженов М.М., Сумин В.И., Сумин М.И. Методы оптимального управления системами математической физики. - Горький: Изд-во Горьков. гос. ун-та, 1986. - 87 с.
  11. Dragomir S.S. Some Grunwall type inequalities and applications. - Australia: Melbourne city LC, 2002. - 191 p.
  12. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. - М.: Либроком, 2011. - 272 с.
  13. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Оптимизация линейных систем. - Минск: Изд-во БГУ, 1973. - 256 с.
  14. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. - М.: Наука, 1979. - 429 с.
  15. Ахиев С.С., Ахмедов К.Т. Об интегральном представлении решений некоторых систем дифференциальных уравнений // Известия АН Азерб. ССР. Сер. физ.-тех. и матем. наук. - 1973. - № 2. - С. 116-120.

Statistics

Views

Abstract - 93

PDF (Russian) - 48

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies