Full Text

Введение Матричные механизмы комплексного оценивания (ММКО) традиционно используются в организационно-технических и социально-экономических системах [1-6] для выполнения функции контроля, в частности многокритериального анализа результатов деятельности и разработки мер по повышению эффективности функционирования этих систем с учетом важности для лица, принимающего решения (ЛПР), частных критериев, по которым оцениваются результаты деятельности. Для дискретных ММКО, задаваемых пересчетными шкалами, матрицами свертки и деревом критериев, известны методы [5], позволяющие найти оптимальные варианты и способы управления многомерными объектами. Задачи оптимизации и управления многомерными объектами, состояние которых описывается с помощью непрерывного ММКО, подробно рассмотрены в работе [7]. Однако в работе [7] и ряде других работ (например, источник [8]) для комплексного оценивания использовалась функция интерполяции, эквивалентная нечеткой процедуре комплексного оценивания с максиминным подходом к теоретико-множественным операциям над нечеткими множествами, а в работах [9, 10] показано существование двух классов ММКО: максиминных и аддитивно-мультипликативных. Задача управления в случае использования аддитивно-мультипликативного подхода к комплексному оцениванию уже рассматривалась в работе [11], однако там была лишь сформулирована математическая постановка задачи и рассмотрены шесть случаев, так называемых стандартных функций свертки, образованных четырьмя смежными элементами матрицы свертки (таблица). Стандартные функции свертки и их аналитическая запись Обозначение стандартной функции свертки Элемент матрицы Функция свертки j3 j4 j5 j6 F0 k k k k F1 k k k k + 1 F2 k k + 1 k k + 1 F3 k k + 1 k + 1 k F4 k k + 1 k + 1 k + 1 F5 k k + 1 k + 1 k + 2 В данной статье рассматривается общий случай, когда матрица свертки должна быть неубывающей, но без ограничения на целочисленность значений элементов матрицы свертки [12]. Этот случай востребован при согласовании матрицы свертки несколькими экспертами. Например, в работах [13, 14] показано, что согласованная матрица имеет элементы в непрерывном виде. 1. Задачи управления Пусть объект управления (ОУ) имеет несколько значимых для ЛПР критериев (n > 2), каждый из которых характеризует ОУ с точки зрения частного результата деятельности или показателя эффективности. Для оценивания эффективности функционирования ОУ в целом используется ММКО, учитывающий все критерии в комплексе. Задача управления формулируется следующим образом: требуется при заданном значении комплексного показателя найти значения частных критериев, при которых будет минимальная стоимость на их обеспечение: (1) где n - количество частных критериев; - затратная функция, обеспечивающая требуемое значение частного критерия ; Р - процедура комплексного оценивания критериев , результатом которой является значение комплексного показателя . В общем случае ММКО задается набором , где G - граф, описывающий последовательность свертки частных критериев; М - множество матриц свертки, описывающих правила агрегирования критериев; - множества[1] значений частных критериев. В данной работе рассмотрим ММКО, использующий в качестве процедуры Р аддитивно-мультипликативный подход [9-15]. Особенность ММКО заключается в том, что дерево критериев формируется таким образом, чтобы критерии были независимы друг от друга. Ввиду этого задача управления может решаться для отдельных узлов дерева, в которых заданы матрицы свертки. В работе [16] доказано, что 2-дерево является оптимальной структурой графа с точки зрения процедуры идентификации параметров механизма комплексного оценивания. Таким образом, будем считать, что граф G является 2-деревом, в узлах которого расположены бинарные матрицы свертки. Тогда для пары критериев частная задача управления имеет следующую математическую постановку: (2) Для двух критериев, согласно аддитивно-мультипликативному подходу [8], комплексная оценка вычисляется следующим образом: (3) где и - остатки значений критериев и соответственно; - элемент матрицы свертки, номер строки которого определен целой частью значения первого критерия а номер столбца - целой частью значения второго критерия ; - элемент матрицы свертки, номер строки которого смещен на единицу относительно ; - элемент матрицы свертки, номер столбца которого смещен на единицу относительно ; - элемент матрицы свертки, который смещен на единицу относительно по строке и столбцу. Из формулы (3) видно, что при заданном значении комплексного показателя можно выразить остаток первой переменной через остаток второй , или наоборот. Таким образом, удастся перейти от затратной функции вида к затратной функции при v, которая задается по условию задачи (2). Взяв частную производную функции по переменной и найдя корень уравнения принадлежащий отрезку [0;1), получим выраженную от v и остальных параметров , , , , а также параметров матрицы свертки. В случае отсутствия корней на отрезке [0;1) решение будет на границе области определения сворачиваемых критериев , Найдя , удастся найти , а значит, удастся найти и , которые будут решением задачи (2). При этом решение задачи (2) зависит от значения комплексной оценки v. Подставив корни и в затратную функцию, получим , описывающую оптимальные затраты на обеспечение комплексного показателя, агрегированного в результате свертки критериев и по заданной матрице М. Этот подход можно применять ко всем бинарным матрицам свертки последовательно. Так, например, ОУ описывается тремя критериями, дерево критериев G такое, что вначале сворачиваются и , а затем результат сворачивается с критерием . Тогда вначале необходимо решить задачу (2) для и и получить , затем решить задачу для и в постановке, аналогичной задаче (2): где - матрица свертки терминальных критериев и ; - матрица свертки агрегированного критерия и терминального критерия . Используя предлагаемый подход, можно решать задачу управления (1) для ОУ, описываемых n критериями, переходя от матриц свертки терминальных критериев, расположенных на ветвях дерева G, к матрицам свертки, расположенным в следующих узлах дерева, и так до тех пор, пока не дойдем до корня дерева (узла, вершина которого имеет всего два ребра). Для любого дерева критериев G, являющегося 2-деревом, количество матриц свертки всегда на единицу меньше количества критериев, т.е. . Таким образом, решение задачи (1) состоит из решения задач вида (2). Сформулируем обратную задачу управления: требуется найти максимальное значение комплексного показателя при ограниченном объеме ресурсов R: (4) Задача (4) решается на основе затратной функции , которая определяется на множестве всех значений комплексного показателя путем решения задачи (1). Так, имея общую затратную функцию для любой комплексной оценки, мы можем найти набор значений критериев, при которых затраты на их обеспечение имеют минимум. Набор критериев , обеспечивающих условие и являющихся решением задачи (1), будет обеспечивать максимальное значение комплексного показателя Это является следствием из следующего. Не существует такой комбинации где все критерии не превышали бы оптимальных и при этом выполнялось , так как в силу монотонности функции свертки (2) для любых всегда справедливо следующее: . В случае, если значение хотя бы одного критерия превышает оптимальное положение, это приведет к лишним затратам и, значит, к условию , противоречащему ограничению задачи (4). Задача управления может быть сформулирована иначе: на множестве допустимых значений частных критериев требуется найти такую совокупность значений частных критериев, образующих траекторию развития ОУ, при которых будет обеспечиваться максимальный прирост комплексного показателя на единицу вложенного ресурса. В этом случае целевая функция будет задаваться интегралом (5) Если рассмотреть дискретный случай, т.е. вместо интеграла (5) рассмотреть сумму, то максимум аддитивной функции обеспечивается при стремлении к максимуму всех слагаемых суммы, а максимум деления комплексного показателя на затраты, обеспечивающего его значение, при любом значении комплексного показателя достигается при минимальном значении знаменателя. Тогда максимум (5) обеспечивается при минимуме , которая, в свою очередь, является следствием решения задачи (1). Таким образом, необходимо прежде всего найти решение задачи (1). Поскольку задача (1), как отмечено выше, решается последовательно в постановке (2). Рассмотрим именно этот случай. 2. Аддитивно-мультипликативная процедура комплексного оценивания при произвольной матрице свертки В работах [11, 15] были показаны частные случаи выражения (2) соответствующие, стандартным функциям свертки (см. таблицу). Для того чтобы рассмотреть общий случай, когда элементы матрицы могут быть заданы любыми значениями из непрерывной одномерной шкалы при сохранении монотонности, введем следующие обозначения: = r (r от англ. rows, так как берется разница элементов по строке), = с (с от англ. columns, так как берется разница элементов по столбцу), (d от англ. diagonal, так как берется разница элементов по диагонали). Тогда формула (2) с учетом принятых обозначений примет вид (6) Преобразуем выражение (6), убрав у содержащих ее слагаемых за скобку и перенеся остальные слагаемые в левую часть выражения: (7) В полученном выражении (7) обозначим как w[2]. С учетом введеных обозначений зависимость от примет вид (8) где , , , , d - единственный параметр, который может принимать отрицательные значения. 3. Постановка и решение задачи управления при затратных функциях, являющихся частным случаем обратной производственной функции Кобба - Дугласа Пусть затратные функции для частных критериев имеют вид (9) где ai - обратная величина коэффициента технологичности (); bi - обратная величина коэффициента эластичности критерия i по затратам (). Выражение (9) является частным случаем обратной производственной функции Кобба - Дугласа [17]: (10) где Q - объем выпуска продукции; А - производственный коэффициент (коэффициент технологичности); K - капитал; L - труд; α, β - коэффициенты эластичности по капиталу и труду соответственно (, ). Частным случаем производственной функции Кобба - Дугласа (10) является выражение (11) где х - результат деятельности, полученный по итогам вложения средств С (вместо K использован символ C). Соответственно, выразив С из выражения (11), получим (12) Введя в формулу (12) обозначения , , получим выражение, соответствующее выражению (9). Пусть затратные функции имеют степенной показатель , как это принято в теории активных систем и теории управления организационными системами, тогда целевая функция задачи (2) будет представлена следующим образом: (13) Для любого действительного числа справедливо , где - это целая часть числа ; - это остаток деления числа на единицу. Тогда целевая функция (13) примет вид (14) Подставив формулу (8) в целевую функцию (14), получим следующее выражение: (15) Для любых диапазонов критериев , , заданных на множествах и , параметры , , r, с и d не меняются на заданной области и , а параметры , заданы изначально как параметры затратных функций. Таким образом, на области , выражение (15) является функцией одной переменной . Возведем в выражении (15) слагаемые во вторую степень и раскроем скобки: Возьмем производную и приравняем нулю для поиска экстремумов: (16) В выражении (16) обозначим используемую в знаменателе сумму как y и для оставшихся в выражении (16) будем использовать Выражение (16) после ряда преобразований сводится к полиному четвертой степени: (17) где ; ; ; ; Из коэффициента видно, что только при уравнение (17) сведется к уравнению третьего порядка, однако этот случай противоречит выражению (9), иначе частный критерий не имеет затрат на его изменение. Из коэффициентов B и D, А и Е видно, что выражение (17) в общем случае не является возвратным уравнением четвертого порядка. Полином (17) является биквадратным уравнением ( и ) только при выполнении условий и . При выполнении условия , при котором , можно для уравнения (17) выразить кубическую резольвенту и решить соответствующее уравнение третьего порядка по формуле Кордано. Как видно из вышесказанного, применять частные методы поиска корней нецелесообразно. При этом известно, что в общем виде аналитическое решение в радикалах для алгебраических уравнений четвертой степени существует [18, 19]. Найти корни полинома (17) y можно с помощью метода Феррари или метода Декарта - Эйлера [18, 19]. Найдя корни y, можно из выразить искомую переменную , далее с помощью формулы (14) получить Поскольку и являются остатками значений критериев и соответственно, удовлетворяющим решением будут только и , принадлежащие отрезку . В случае отсутствия корней (17) на данной области допустимых значений решением будут граничные значения и на отрезках , . В таком случае в силу монотонности выражений (9) и (13) минимум общих затрат будет определяться по наименьшему параметру . Так, если , то , а , в противном случае и . Совокупность этих координат при переменной обеспечит минимальную по стоимости траекторию развития критериев. Однако, прежде чем искать решение полинома (17) в общем виде, рассмотрим частные случаи: и , а , при которых решения задачи (2) все же существуют. Это также целесообразно, так как в следующем параграфе будет показано, что затратная функция агрегированного показателя описывается алгебраическим уравнением второго порядка с ненулевыми коэффициентами при и . Это потребует пересмотра вида целевой функции (14) и в результате коэффициенты полинома (17) будут иметь иной вид. 4. Частные случаи, при которых решения задачи управления существуют Случай 1. Знаменатель в выражении (8) зависит от параметров r и d. Ситуация, при которой оба этих параметра равны нулю, возможна. Например, при стандартной функции F3 (см. таблицу) элементы матрицы , , и принимают такие значения, что r и d становятся равными нулю. При этом из функции свертки видно, что при F3 комплексная оценка зависит только от : . Таким образом, выразить зависимость от в этом случае, действительно, невозможно и предложенный выше подход не применим. Однако на области , где комплексная оценка зависит только от одного частного критерия , очевидно, что развитие другого будет приводить к лишним затратам, соответственно, тривиальным решением задачи (2) при F3 будет , . Совокупность этих координат при переменной v обеспечит минимальную по стоимости траекторию развития критериев при стандартной функции F3. Соответственно, согласно формуле (14) затратная функция на области при имеет вид (18) Преобразовав выражение (18), получим затратную функцию в виде алгебраического уравнения второго порядка с коэффициентами , и : (19) где , и . Как видно из и , в общем случае они отличны от нуля, о чем говорилось ранее. Случай 2. Можно заметить, что при получении полинома (17) вводилась промежуточная переменная , в выражении которой параметр d стоит в знаменателе. Из таблицы выше видно, что частным случаем, при котором , является стандартная функция F5, также возможны и иные ситуации, при которых . При выражение (8) принимает вид . Подставив это выражение в формулу (14), получим следующую затратную функцию: Возведя третье слагаемое в степень и раскрыв скобки, получим алгебраическое уравнение второго порядка: (20) где введены константы , , . Стоит заметить, что параметр при любых , , с и r больше нуля, т.е. ветви параболы направлены вверх. Тогда, если выполняется отношение , то тривиальным решением, при котором будет достигаться минимум функции (20), является и . Если же , то можно построить функцию , аналогичную уравнению (20), для которой получится решение и, соответственно, . Если , то , а в соответствии с формулой (8) . Таким образом, решением задачи (2) на некоторой области , , где элементы матрицы свертки заполнены так, что выполняется условие будет пара координат: (21) (22) Рассмотрим отдельно условия существования решений (21) и (22). В первом и третьем уравнениях выражения (21) встречаются слагаемые, где в знаменателе используется r. Решение задачи управления (2) при r и d, одновременно равных нулю, показано выше. Во втором уравнении выражения (22) у второго слагаемого в знаменателе используется с. Одновременно с и d равны нулю при стандартной функции F2 (см. таблицу), где все зависит от критерия . Тогда решением задачи (2) является , . Соответственно, при и затратная функция агрегированного показателя имеет вид (23) Выражение (23) можно свести к виду уравнения (19), где коэффициенты полинома второй степени будут следующими: , и В выражениях (21) и (22) в третьих уравнениях в третьем и втором слагаемых соответственно в знаменателе встречается сумма . Одновременно r, с и d равны нулю тогда и только тогда, когда четыре смежных элемента матрицы свертки образуют стандартную функцию F0, при которой на некоторой области , справедливо (см. таблицу). В этом случае область «плато» требуется обойти и очевидно, что делать это целесообразно по самой «дешевой» траектории. Если , то , а . В противном случае и . Таким образом, если четыре смежных элемента матрицы заполнены так, что выполняется условие , но эти элементы не образуют стандартную функцию F0, F2 или F3, то решением задачи (2) являются выражения (21) и (22). Если параметр w считать переменной, то координаты и будут определять оптимальную траекторию развития сложного объекта, обеспечивающую комплексную оценку v на некоторой области , , где элементы матрицы свертки заполнены так, что выполняется условие . Если и выполняется условие , то затратная функция в соответствии с выражением (14) имеет вид (24) Затратную функцию (24) можно свести к уравнению (19), где коэффициенты полинома второй степени получатся следующими: , и Если и выполняется условие , то затратная функция имеет вид (25) В этом случае уравнение вида (19) будет иметь следующие коэффициенты: , и В противном случае при затратная функция имеет вид (26) В этом случае не будем приводить коэффициенты , и , но видно, что их получить можно и выражение (26) может быть сведено к алгебраическому уравнению второго порядка, так как переменная v представлена в числителе в слагаемых, возведенных в квадрат. После возведения в квадрат и раскрытия скобок порядок уравнения (26) не повысится. Из уравнений (19), (23)-(26) видно, что затратные функции агрегированного показателя, которые на матрицах верхнего уровня должны использоваться как слагаемые целевой функции, описываются квадратичными уравнениями с ненулевым коэффициентом при переменной v и дополнительной постоянной . Это противоречит виду целевой функции (14), а соответственно, найденные решения (19), (23)-(26) не могут применяться для последовательного решения задач (2). Таким образом, уравнения (19), (23)-(26) можно использовать для управления объектами, описываемыми только двумя критериями. Для устранения этого недостатка необходимо рассмотреть задачу управления в новой постановке. 5. Управление при квадратичных затратных функциях Рассмотрим постановку задачи при использовании вместо затратной функции вида (12) затратной функции вида (27) В таком случае вместо целевой функции (14) получим (28) При такой целевой функции в случае и оптимальная затратная функция будет иметь вид (29) Преобразовав выражение (29), получим выражение вида (27), где , , В случае и (30) Преобразовав выражение (30), получим выражение вида (27), где , , При использовании затратных функций (27) в случае общая затратная функция (20) с учетом уравнения (8) будет иметь следующие коэффициенты: Коэффициент не изменился и положителен при любых , , с и r, а значит, парабола направлена вверх и справедливы рассуждения, приведенные в п. 4. В случае и затратная функция имеет вид (31) В случае и затратная функция имеет вид (32) В случае и затратная функция имеет вид (33) Как видно из выражений (29)-(33), вид алгебраического уравнения, описывающего затратную функцию агрегированного показателя, сохраняется и соответствует виду (27). Таким образом, при использовании затратных функций вида (27) задача управления (1) имеет решение в общем виде для любого числа критериев и решается как последовательность задач (2). При использовании затратных функций (27) в полиноме (17) изменятся коэффициенты В и D. В этом случае коэффициенты будут следующие: ; ; ; ; . В силу того, что при использовании затратных функций (27) вид затратной функции сохраняется, решение полинома целесообразно искать при этих коэффициентах. 6. Решение полинома (17) методом Феррари Согласно методу Феррари, корни алгебраического уравнения четвертого порядка (17) определяются согласно выражению (34) в котором используются специально введенные параметры α, β и z. Так, α и β с учетом полученных выше коэффициентов А, В, D и E определяются следующим образом: для нахождения z определяются дополнительные параметры δ, P, Q и U: ; Для нахождения всех корней в выражении (34) используется один и тот же знак при нахождении конкретного y, при этом будет другим или тем же. Все корни y можно найти при всех четырех комбинациях знаков и : «+,+»; «+,-»; «-,+» и «-,-». Из выражения (34) видно, что после подстановки всех промежуточных выражений аналитическая запись корней от постоянных , , , , r, с, d, и и переменной w будет выглядеть весьма громоздко. Корни, в свою очередь, необходимо подставить в и согласно формуле (8) найти , проверить на принадлежность области допустимых значений. Только после этого удастся выразить затратную функцию, подставив найденные и в формулу (27). В связи с большим числом используемых параметров в выражении (34) приводить затратную функцию в общем виде не будем. Напомним, что в случае отсутствия корней (34) на области допустимых значений решением будут граничные значения и на отрезках , . В этом случае справедливы решение (29) при и решение (30) при Заключение В настоящей работе показано, что задача поиска значений двух частных критериев, описывающих состояние объекта управления, при которых комплексный показатель, вычисляемый с помощью аддитивно-мультипликативного подхода к комплексному оцениванию, равен заданному значению и при этом затраты на их обеспечение минимальны, имеет решение в общем виде для произвольной неубывающей матрицы свертки двух критериев. Найденные частные решения (19), (23)-(26) задачи управления при использовании затратных функций, являющихся обратным случаем производственной функции Кобба - Дугласа (12), а также решение в общем виде (18)-(21), получены только для степенного показателя затратных функций . Найти аналитическое решение для произвольного не удалось. С одной стороны, это определяет перспективное направление исследований, с другой стороны, в настоящей работе показано, что затратная функция агрегированного показателя при имеет дополнительные слагаемые и описывается уже квадратичным уравнением вида (27). На основании чего был сделан вывод, что затратные функции, являющиеся обратным случаем производственной функции Кобба - Дугласа (12), могут применяться к объектам управления, имеющим только два критерия. Рассмотрена аналогичная постановка задачи управления для произвольной неубывающей матрицы свертки двух критериев при использовании аддитивно-мультипликативного подхода к комплексному оцениванию и при использовании затратных функций, описываемых алгебраическим уравнением второго порядка (27). В результате исследования показано, что вид затратной функции для агрегированного показателя сохраняется. Таким образом, при использовании затратных функций вида (27) задача управления (1) имеет решение в общем виде для любого числа критериев и решается как последовательность задач (2). Решение задач (3) и (4) опирается на решение (1). Демонстрации этих решений будут посвящены следующие работы автора.

About the authors

A. O Alekseev

Perm National Research Polytechnic University

References

Statistics

Views

Abstract - 24

PDF (Russian) - 11

Refbacks

• There are currently no refbacks.