Аннотация

Аннотация

Изучается периодическая краевая задача для функционально-дифференциального уравнения со специальным отклонением аргумента где - линейный оператор, Получены новые достаточные условия существования решения исследуемой задачи. Обсуждается случай обыкновенного дифференциального уравнения. Исследования примыкают к работе авторов.

Полный текст

I. Рассмотрим задачу (1) (2) где - суммируемая функция, - измеримая функция, - линейный оператор. Отметим, что задача (1), (2) рассматривалась в работе авторов [1]. Здесь мы исследуем специальный случай этой задачи, т.е. полагаем Кроме того, для случая обыкновенного дифференциального уравнения сформулирована отдельная теорема существования решения (теорема 3). В настоящей работе также используется подход, основанный на рассмотрении задачи в виде квазилинейного операторного уравнения с необратимым линейным оператором. Отметим, что такой подход традиционно используется многими авторами (J. Mawhin, M. Furi, C.P. Gupta и др.). II. Пусть и - банаховы пространства. В этом пункте сформулируем теорему о разрешимости квазилинейного операторного уравнения (3) где - линейный ограниченный оператор; - вполне непрерывный оператор. Введем следующие обозначения. Для линейного оператора ядро и образ обозначим соответственно через и Пусть проектор на и - дополнительный проектор. Через обозначим проектор на - сужение проектора . Нам потребуется понятие обобщенно-обратного к оператору оператора. Поскольку это понятие трактуется по-разному, далее будем следовать определению, сформулированному в [2]. Определение 1. Оператор будем называть обобщенно-обратным к оператору ассоциированным с проектором Р, если справедливы равенства: 1) , где - оператор естественного вложения; 2) ; 3) . Пусть ядро и образ линейного ограниченного оператора дополняемы, т.е. Пусть подпространство нетривиально и изоморфно Через обозначим выбранный изоморфизм. Будем рассматривать как гильбертово пространство с нормой Теорема 1 [3]. Пусть выполняются условия: 1) существует такая константа , что неравенство справедливо для всех и произвольных 2) существуют константы такие, что выполнено неравенство для всех 3) Тогда уравнение (3) имеет хотя бы одно решение. III. В этом пункте приведем используемые в работе функциональные пространства, а также сформулируем вспомогательные утверждения, относящиеся к линейной части уравнения. Пусть - пространство суммируемых с квадратом функций с нормой - пространство абсолютно непрерывных вместе со второй производной функций таких, что , с нормой ; - пространство измеримых и ограниченных в существенном функций с нормой Определение 2. Под решением задачи (1), (2) будем понимать всякую функцию удовлетворяющую почти всюду на уравнению (1) и периодическим условиям (2). Представим задачу в виде операторного уравнения (3). Через обозначим подпространство пространства определяемое краевыми условиями (2), т.е. Полагаем Лемма 1. Относительно оператора L справедливы следующие утверждения: 1) 2) Отметим, что оператор является фредгольмовым [4]. Для применения теоремы 1 нам потребуются проекторы на ядро и образ оператора L. Полагаем Непосредственно проверяется, что операторы являются проекторами соответственно на ядро и образ оператора Тогда дополнительный к проектор имеет вид Следующее утверждение из работы [1] сформулируем в удобной нам форме. Лемма 2. Оператор обобщенно-обратный к оператору L, ассоциированный с проектором P, определяется равенством [1] . (4) Лемма 3. Норма оператора удовлетворяет оценке . Доказательство. Имеем . Выражение в правой части равенства оценим сверху с применением неравенств Минковского и Гельдера. В результате получим Лемма доказана. В силу фредгольмовости оператора подпространства и изоморфны. Определим изоморфизм равенством и оператор (сужение проектора ) - равенством Лемма 4. Для нормы оператора справедлива оценка Доказательство. Действительно, Лемма доказана. Следующее утверждение доказывается по схеме доказательства леммы 4 из работы [5]. Лемма 5. Для любого элемента справедливы неравенства где , , IV. Для рассматриваемого случая, а именно - справедливо следующее утверждение о разрешимости задачи (1), (2). Теорема 2. Пусть выполнены условия: 1) существует такое, что 2) существуют , такие, что 3) где , , , , , Тогда задача (1), (2) имеет хотя бы одно решение в пространстве . Доказательство. В условиях теоремы оператор является вполне непрерывным [5]. Для проверки условия 1 теоремы 1 рассмотрим произвольные функции которые являются постоянными, и произвольно фиксированный элемент Имеем Поскольку функция удовлетворяет условию 1 теоремы 2, Таким образом, условие 1 теоремы 2 выполняется с константой В силу условия 2 настоящей теоремы и леммы 5 получим следующую оценку: Таким образом, неравенство выполнено. Теперь выполнение условия 3 теоремы 2 следует из условия 3 теоремы и леммы 2. Теорема доказана. Замечание. Отметим, что в качестве постоянной можно взять интегральное среднее значение функции т.е. Пользуясь аналогичной схемой доказательства, приведем теорему о разрешимости периодической краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения: (5) Отметим, что сформулированное ниже утверждение непосредственно из теоремы 2 не следует, так как функция не удовлетворяет условию Теорема 3. Пусть выполнены условия: 1) существует такое, что 2) существуют , такие, что 3) где , . Тогда задача (5), (2) имеет хотя бы одно решение в пространстве .