PERIODIC SOLUTIONS OF SECOND ORDER QUASILINEAR FUNCTIONAL-DIFFERENTIAL EQUATION

Abstract


Periodic boundary value problem for a functional-differential equation with a special deviation of the argument is studied, where is a linear operator, New sufficient conditions for the existence of the solution of the problem are obtained. The case of an ordinary differential equation is discussed. The investigations adjoin the work of the authors.

Full Text

I. Рассмотрим задачу (1) (2) где - суммируемая функция, - измеримая функция, - линейный оператор. Отметим, что задача (1), (2) рассматривалась в работе авторов [1]. Здесь мы исследуем специальный случай этой задачи, т.е. полагаем Кроме того, для случая обыкновенного дифференциального уравнения сформулирована отдельная теорема существования решения (теорема 3). В настоящей работе также используется подход, основанный на рассмотрении задачи в виде квазилинейного операторного уравнения с необратимым линейным оператором. Отметим, что такой подход традиционно используется многими авторами (J. Mawhin, M. Furi, C.P. Gupta и др.). II. Пусть и - банаховы пространства. В этом пункте сформулируем теорему о разрешимости квазилинейного операторного уравнения (3) где - линейный ограниченный оператор; - вполне непрерывный оператор. Введем следующие обозначения. Для линейного оператора ядро и образ обозначим соответственно через и Пусть проектор на и - дополнительный проектор. Через обозначим проектор на - сужение проектора . Нам потребуется понятие обобщенно-обратного к оператору оператора. Поскольку это понятие трактуется по-разному, далее будем следовать определению, сформулированному в [2]. Определение 1. Оператор будем называть обобщенно-обратным к оператору ассоциированным с проектором Р, если справедливы равенства: 1) , где - оператор естественного вложения; 2) ; 3) . Пусть ядро и образ линейного ограниченного оператора дополняемы, т.е. Пусть подпространство нетривиально и изоморфно Через обозначим выбранный изоморфизм. Будем рассматривать как гильбертово пространство с нормой Теорема 1 [3]. Пусть выполняются условия: 1) существует такая константа , что неравенство справедливо для всех и произвольных 2) существуют константы такие, что выполнено неравенство для всех 3) Тогда уравнение (3) имеет хотя бы одно решение. III. В этом пункте приведем используемые в работе функциональные пространства, а также сформулируем вспомогательные утверждения, относящиеся к линейной части уравнения. Пусть - пространство суммируемых с квадратом функций с нормой - пространство абсолютно непрерывных вместе со второй производной функций таких, что , с нормой ; - пространство измеримых и ограниченных в существенном функций с нормой Определение 2. Под решением задачи (1), (2) будем понимать всякую функцию удовлетворяющую почти всюду на уравнению (1) и периодическим условиям (2). Представим задачу в виде операторного уравнения (3). Через обозначим подпространство пространства определяемое краевыми условиями (2), т.е. Полагаем Лемма 1. Относительно оператора L справедливы следующие утверждения: 1) 2) Отметим, что оператор является фредгольмовым [4]. Для применения теоремы 1 нам потребуются проекторы на ядро и образ оператора L. Полагаем Непосредственно проверяется, что операторы являются проекторами соответственно на ядро и образ оператора Тогда дополнительный к проектор имеет вид Следующее утверждение из работы [1] сформулируем в удобной нам форме. Лемма 2. Оператор обобщенно-обратный к оператору L, ассоциированный с проектором P, определяется равенством [1] . (4) Лемма 3. Норма оператора удовлетворяет оценке . Доказательство. Имеем . Выражение в правой части равенства оценим сверху с применением неравенств Минковского и Гельдера. В результате получим Лемма доказана. В силу фредгольмовости оператора подпространства и изоморфны. Определим изоморфизм равенством и оператор (сужение проектора ) - равенством Лемма 4. Для нормы оператора справедлива оценка Доказательство. Действительно, Лемма доказана. Следующее утверждение доказывается по схеме доказательства леммы 4 из работы [5]. Лемма 5. Для любого элемента справедливы неравенства где , , IV. Для рассматриваемого случая, а именно - справедливо следующее утверждение о разрешимости задачи (1), (2). Теорема 2. Пусть выполнены условия: 1) существует такое, что 2) существуют , такие, что 3) где , , , , , Тогда задача (1), (2) имеет хотя бы одно решение в пространстве . Доказательство. В условиях теоремы оператор является вполне непрерывным [5]. Для проверки условия 1 теоремы 1 рассмотрим произвольные функции которые являются постоянными, и произвольно фиксированный элемент Имеем Поскольку функция удовлетворяет условию 1 теоремы 2, Таким образом, условие 1 теоремы 2 выполняется с константой В силу условия 2 настоящей теоремы и леммы 5 получим следующую оценку: Таким образом, неравенство выполнено. Теперь выполнение условия 3 теоремы 2 следует из условия 3 теоремы и леммы 2. Теорема доказана. Замечание. Отметим, что в качестве постоянной можно взять интегральное среднее значение функции т.е. Пользуясь аналогичной схемой доказательства, приведем теорему о разрешимости периодической краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения: (5) Отметим, что сформулированное ниже утверждение непосредственно из теоремы 2 не следует, так как функция не удовлетворяет условию Теорема 3. Пусть выполнены условия: 1) существует такое, что 2) существуют , такие, что 3) где , . Тогда задача (5), (2) имеет хотя бы одно решение в пространстве .

About the authors

A. R Abdullaev

Perm National Research Polytechnic University

E. A Skachkova

Perm State University

O. S Zubareva

Perm State University

References

  1. Абдуллаев А.Р., Скачкова Е.А. О периодической краевой задаче для функционально-дифференциального уравнения второго порядка // Научно-технический вестник Поволжья. - 2017. - № 6. - С. 21-23.
  2. Абдуллаев А.Р., Бурмистрова А.Б. Элементы теории топологически нетеровых операторов: монография. - Челябинск, 1994. - 93 с.
  3. Абдуллаев А.Р., Плехова Э.В., Савочкина А.А. Разрешимость квазилинейного уравнения с монотонным оператором // Научно-технические ведомости СПбГП. - 2010. - № 2 (98). - С. 80-85.
  4. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1971. - 104 с.
  5. Абдуллаев А.Р., Скачкова Е.А. Периодическая краевая задача для дифференциального уравнения четвертого порядка // Известия вузов. Математика. - 2013. - № 12. - С. 3-10.

Statistics

Views

Abstract - 42

PDF (Russian) - 21

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies