Аннотация

Аннотация

Рассмотрена модель перевернутого маятника с запаздывающей обратной связью. Модель представляет собой линейное автономное дифференциальное уравнение второго порядка с двумя сосредоточенными запаздываниями. Соотношение запаздываний составляет один к двум. Найден критерий асимптотической устойчивости этого уравнения методом D -разбиения.

Полный текст

Введение Задача об устойчивости перевернутого маятника привлекает внимание исследователей в связи с моделированием системы равновесия человеческого тела. Запаздывание в механизме обратной связи обусловлено взаимодействием нейронов. Учет его влияния на устойчивость перевернутого маятника является актуальным направлением исследований [1-6]. Модели, основанные на автономных дифференциальных уравнениях второго порядка с сосредоточенными запаздываниями, появились первыми и остаются востребованными [7-10; 11, с. 118-129]. Исследованию уравнений такого типа посвящено большое количество литературы [12-18; 19, с. 130]. Рассмотрим модель перевернутого маятника с запаздывающим механизмом обратной связи. Пусть маятник занимает неустойчивое положение равновесия. Обозначим отклонение от положения равновесия через Будем предполагать, что в механизме обратной связи может быть реализовано только сосредоточенное запаздывание в упругой силе. Тогда уравнение для линейного приближения имеет вид , (1) где - собственная частота свободных колебаний маятника, и . Для корректной постановки задачи решение необходимо доопределить начальной функцией при отрицательных значениях аргумента: при , (2) где функция суммируема на отрезке Решение уравнения (1), дополненное условием (2) и начальными условиями в пространстве функций с локально абсолютно непрерывными производными существует, единственно и представимо в виде (3) где функции , называются фундаментальными решениями и являются решениями уравнения (1) при условиях , и при [20-22]. Из представления (3) вытекает, что асимптотические свойства любого решения уравнения (1) определяются свойствами фундаментальных решений. В частности, уравнение (1) называется асимптотический устойчивым, если и стремятся к нулю при Из (3) видно, что асимптотическая устойчивость уравнения (1) эквивалентна тому, что при любой суммируемой начальной функции и любых вещественных . В силу автономности уравнения (1) фундаментальные решения стремятся к нулю в том и только том случае, когда существуют положительные константы такие что при , Применив к фундаментальным решениям преобразование Лапласа, получим следующие представления для их Лаплас-образов: , , где называется характеристической функцией уравнения (1) и имеет вид (4) Оценки , имеют место в том и только том случае, когда все корни функции (4) лежат слева от мнимой оси [23, с. 209]. Будем называть функцию комплексной переменной устойчивой, если все ее корни лежат слева от мнимой оси. Рассмотрим функцию и переформулируем установленный в работе [16] признак устойчивости. Утверждение 1. Для того чтобы функция f была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства где - целая часть числа . Таким образом, если , то при любых и функция имеет корни с положительной вещественной частью, поэтому невозможно подобрать такой механизм обратной связи с одним сосредоточенным запаздыванием в упругой силе, чтобы тривиальное положение равновесия перевернутого маятника было локально асимптотически устойчивым. Можно ли подобрать механизм обратной связи, включающий в себя два сосредоточенных запаздывания, стабилизирующий тривиальное положение равновесия перевернутого маятника? При этом интересно получить не только достаточные, но и необходимые условия асимптотической устойчивости линейного приближения. Уравнение (1) при принимает вид (5) Точная область устойчивости данного уравнения для произвольного отношения запаздываний имеет, по-видимому, очень сложную структуру. Однако если отношение к фиксировано и рационально, то можно рассчитывать получить критерий устойчивости уравнения (5). 2. Критерий устойчивости уравнения (5) для случая Рассмотрим наиболее простой случай, когда отношение запаздываний равно двум. Обозначив через , перепишем уравнение (5) в виде (6) Характеристическая функция системы (6) имеет вид (7) Рассмотрим функцию Функции и являются устойчивыми или не являются таковыми одновременно. Имеем , (8) где , и . Сначала найдем критерий устойчивости функции (8) в терминах ее коэффициентов, затем полученный критерий применим для функции (7). Будем фиксировать параметр и исследовать функцию методом D-разбиения в плоскости параметров Каждой точке этой плоскости поставим в соответствие число , равное количеству корней функции с неотрицательной вещественной частью. Это число всегда конечно, будем его называть абсолютным индексом точки. При непрерывном изменении , корни функции с положительной правой частью могут появляться только вследствие перехода через мнимую ось. Найдем условия на параметры и при которых имеет корни с нулевой вещественной частью. Для этого разделим вещественную и мнимую части уравнения (9) Второе уравнение системы (9) обращается в тождество, если или . Подставив в первое уравнение, получаем прямую в плоскости которую будем обозначать через Данная прямая задается уравнением Заметим, что прямые, номера которых имеют одинаковую четность, параллельны. Подставив в первое уравнение, получаем прямую , которую будем обозначать через . Данная прямая существует только при и совпадает с при . Прямые и разбивают плоскость на связные выпуклые области, которые будем называть областями D-разбиения. Все точки некоторой области D-разбиения имеют один и тот же абсолютный индекс, поэтому это число будем называть абсолютным индексом области и обозначать . Итак, основная задача - найти область с нулевым абсолютным индексом. Областей D-разбиения бесконечно много, поэтому перебрать их все невозможно и необходимо провести анализ возрастания вещественной части корня при переходе через эти прямые. Для этого приведем в удобной для нас форме теорему о неявном операторе [24]. Утверждение 2. Рассмотрим точку , принадлежащую прямой или , такую что В окрестности точки существует единственная аналитическая функция такая что и , где для прямой и для прямой . Кроме того, имеет место формула (10) Если вектор ненулевой, то его направление определяет возрастание вещественной части корня при переходе через прямые и При этом при переходе через индекс области меняется на единицу, а через любую другую прямую - на двойку. В первом случае через мнимую ось перешел простой корень, приняв нулевое значение, во втором - перешла пара простых комплексно-сопряженных корней. Применим утверждение 2 к прямым В данном случае имеем , следовательно, данное утверждение не применимо только к прямой и только в случае В противном случае из (10) вытекает формула (11) Итак, прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Обозначим через ту из них, в которую направлен вектор . Из (11) вытекает, что задается неравенством Обозначим через пересечение всех таких что . Рассмотрим точку с координатами . Точка очевидно, принадлежит и . Выберем произвольную точку не принадлежащую ни области , ни одной из линий Обозначим через точку пересечения отрезка с прямой Имеем по определению , следовательно, . Итак, область с нулевым абсолютным индексом в плоскости либо не существует, либо является подмножеством . Лемма 1. Если , то областей с нулевым абсолютным индексом не существует. Доказательство. Область является внутренностью бесконечного угла, образованного лучами прямых и , и задается системой неравенств С другой стороны, если , то и при следовательно, имеет вещественный положительный корень. Таким образом, абсолютный индекс области положителен. Лемма 2. Если , то функция неустойчива. Доказательство. Согласно утверждению 1 функция не является устойчивой при , поэтому функция не является устойчивой при , и любом вещественном Прямая совпадает с и разбивает на две подобласти, каждая из которых содержит участки прямой и, следовательно, имеет положительный абсолютный индекс. Применим утверждения 1 к прямой В данном случае имеем , следовательно, данное утверждение применимо к прямой при любом . Далее из (10) получаем (12) Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Обозначим через ту из них, в которую направлен вектор . Из (12) вытекает, что задается неравенством Обозначим На рис. 1 и 2 границы области обведены жирными линиями, а область закрашена. Рис. 1. Области D-разбиения при Рис. 2. Области D-разбиения при Теорема 1. Для того чтобы функция (10) была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: не является целым числом, точка принадлежит Доказательство. Прямая разбивает на две области: и . По доказанному выше абсолютный индекс любой другой области D-разбиения положителен. По определению вектор направлен внутрь области , поэтому В точке имеем , поэтому следовательно, область и только она, имеет нулевой абсолютный индекс. Нетрудно найти явное описание области . Если , то эта область задается неравенствами и . Если же при натуральных , то является внутренностью прямоугольника и задается следующей системой неравенств: (13) Следствие 1. Пусть . Для того чтобы функция (8) была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: (14) Доказательство. Если выполняется система (13), то . Следовательно, функция устойчива в том и только том случае, когда и Исключим лишние неравенства. При условии первое и последнее неравенства совместны, если и только если , откуда получаем , и Теорема 2. Для того чтобы уравнение (6) было асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы выполнялась система неравенств (15) Доказательство. Если устойчива, то , следовательно, функция устойчива только при . Таким образом, для исследования устойчивости функции достаточно рассмотреть при , т.е. мы в условиях применимости следствия 1. Система (15) эквивалентна системе (14), если в последней положить , и . Проведенные исследования позволяют положительно ответить на вопрос о возможности стабилизации обратного маятника посредством двух запаздываний в упругой обратной связи. При этом полученный критерий может быть полезен для анализа бифуркаций в нелинейных моделях, линейное приближение которых имеет вид (6).