Abstract

Abstract

A model of an inverted pendulum with delayed feedback is considered. The model is a second order linear autonomous differential equation with two delays. The ratio of delays is one to two. The criterion for the asymptotic stability of the equation is obtained by the method of D-subdivision.

Full Text

Введение Задача об устойчивости перевернутого маятника привлекает внимание исследователей в связи с моделированием системы равновесия человеческого тела. Запаздывание в механизме обратной связи обусловлено взаимодействием нейронов. Учет его влияния на устойчивость перевернутого маятника является актуальным направлением исследований [1-6]. Модели, основанные на автономных дифференциальных уравнениях второго порядка с сосредоточенными запаздываниями, появились первыми и остаются востребованными [7-10; 11, с. 118-129]. Исследованию уравнений такого типа посвящено большое количество литературы [12-18; 19, с. 130]. Рассмотрим модель перевернутого маятника с запаздывающим механизмом обратной связи. Пусть маятник занимает неустойчивое положение равновесия. Обозначим отклонение от положения равновесия через Будем предполагать, что в механизме обратной связи может быть реализовано только сосредоточенное запаздывание в упругой силе. Тогда уравнение для линейного приближения имеет вид , (1) где - собственная частота свободных колебаний маятника, и . Для корректной постановки задачи решение необходимо доопределить начальной функцией при отрицательных значениях аргумента: при , (2) где функция суммируема на отрезке Решение уравнения (1), дополненное условием (2) и начальными условиями в пространстве функций с локально абсолютно непрерывными производными существует, единственно и представимо в виде (3) где функции , называются фундаментальными решениями и являются решениями уравнения (1) при условиях , и при [20-22]. Из представления (3) вытекает, что асимптотические свойства любого решения уравнения (1) определяются свойствами фундаментальных решений. В частности, уравнение (1) называется асимптотический устойчивым, если и стремятся к нулю при Из (3) видно, что асимптотическая устойчивость уравнения (1) эквивалентна тому, что при любой суммируемой начальной функции и любых вещественных . В силу автономности уравнения (1) фундаментальные решения стремятся к нулю в том и только том случае, когда существуют положительные константы такие что при , Применив к фундаментальным решениям преобразование Лапласа, получим следующие представления для их Лаплас-образов: , , где называется характеристической функцией уравнения (1) и имеет вид (4) Оценки , имеют место в том и только том случае, когда все корни функции (4) лежат слева от мнимой оси [23, с. 209]. Будем называть функцию комплексной переменной устойчивой, если все ее корни лежат слева от мнимой оси. Рассмотрим функцию и переформулируем установленный в работе [16] признак устойчивости. Утверждение 1. Для того чтобы функция f была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства где - целая часть числа . Таким образом, если , то при любых и функция имеет корни с положительной вещественной частью, поэтому невозможно подобрать такой механизм обратной связи с одним сосредоточенным запаздыванием в упругой силе, чтобы тривиальное положение равновесия перевернутого маятника было локально асимптотически устойчивым. Можно ли подобрать механизм обратной связи, включающий в себя два сосредоточенных запаздывания, стабилизирующий тривиальное положение равновесия перевернутого маятника? При этом интересно получить не только достаточные, но и необходимые условия асимптотической устойчивости линейного приближения. Уравнение (1) при принимает вид (5) Точная область устойчивости данного уравнения для произвольного отношения запаздываний имеет, по-видимому, очень сложную структуру. Однако если отношение к фиксировано и рационально, то можно рассчитывать получить критерий устойчивости уравнения (5). 2. Критерий устойчивости уравнения (5) для случая Рассмотрим наиболее простой случай, когда отношение запаздываний равно двум. Обозначив через , перепишем уравнение (5) в виде (6) Характеристическая функция системы (6) имеет вид (7) Рассмотрим функцию Функции и являются устойчивыми или не являются таковыми одновременно. Имеем , (8) где , и . Сначала найдем критерий устойчивости функции (8) в терминах ее коэффициентов, затем полученный критерий применим для функции (7). Будем фиксировать параметр и исследовать функцию методом D-разбиения в плоскости параметров Каждой точке этой плоскости поставим в соответствие число , равное количеству корней функции с неотрицательной вещественной частью. Это число всегда конечно, будем его называть абсолютным индексом точки. При непрерывном изменении , корни функции с положительной правой частью могут появляться только вследствие перехода через мнимую ось. Найдем условия на параметры и при которых имеет корни с нулевой вещественной частью. Для этого разделим вещественную и мнимую части уравнения (9) Второе уравнение системы (9) обращается в тождество, если или . Подставив в первое уравнение, получаем прямую в плоскости которую будем обозначать через Данная прямая задается уравнением Заметим, что прямые, номера которых имеют одинаковую четность, параллельны. Подставив в первое уравнение, получаем прямую , которую будем обозначать через . Данная прямая существует только при и совпадает с при . Прямые и разбивают плоскость на связные выпуклые области, которые будем называть областями D-разбиения. Все точки некоторой области D-разбиения имеют один и тот же абсолютный индекс, поэтому это число будем называть абсолютным индексом области и обозначать . Итак, основная задача - найти область с нулевым абсолютным индексом. Областей D-разбиения бесконечно много, поэтому перебрать их все невозможно и необходимо провести анализ возрастания вещественной части корня при переходе через эти прямые. Для этого приведем в удобной для нас форме теорему о неявном операторе [24]. Утверждение 2. Рассмотрим точку , принадлежащую прямой или , такую что В окрестности точки существует единственная аналитическая функция такая что и , где для прямой и для прямой . Кроме того, имеет место формула (10) Если вектор ненулевой, то его направление определяет возрастание вещественной части корня при переходе через прямые и При этом при переходе через индекс области меняется на единицу, а через любую другую прямую - на двойку. В первом случае через мнимую ось перешел простой корень, приняв нулевое значение, во втором - перешла пара простых комплексно-сопряженных корней. Применим утверждение 2 к прямым В данном случае имеем , следовательно, данное утверждение не применимо только к прямой и только в случае В противном случае из (10) вытекает формула (11) Итак, прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Обозначим через ту из них, в которую направлен вектор . Из (11) вытекает, что задается неравенством Обозначим через пересечение всех таких что . Рассмотрим точку с координатами . Точка очевидно, принадлежит и . Выберем произвольную точку не принадлежащую ни области , ни одной из линий Обозначим через точку пересечения отрезка с прямой Имеем по определению , следовательно, . Итак, область с нулевым абсолютным индексом в плоскости либо не существует, либо является подмножеством . Лемма 1. Если , то областей с нулевым абсолютным индексом не существует. Доказательство. Область является внутренностью бесконечного угла, образованного лучами прямых и , и задается системой неравенств С другой стороны, если , то и при следовательно, имеет вещественный положительный корень. Таким образом, абсолютный индекс области положителен. Лемма 2. Если , то функция неустойчива. Доказательство. Согласно утверждению 1 функция не является устойчивой при , поэтому функция не является устойчивой при , и любом вещественном Прямая совпадает с и разбивает на две подобласти, каждая из которых содержит участки прямой и, следовательно, имеет положительный абсолютный индекс. Применим утверждения 1 к прямой В данном случае имеем , следовательно, данное утверждение применимо к прямой при любом . Далее из (10) получаем (12) Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Обозначим через ту из них, в которую направлен вектор . Из (12) вытекает, что задается неравенством Обозначим На рис. 1 и 2 границы области обведены жирными линиями, а область закрашена. Рис. 1. Области D-разбиения при Рис. 2. Области D-разбиения при Теорема 1. Для того чтобы функция (10) была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: не является целым числом, точка принадлежит Доказательство. Прямая разбивает на две области: и . По доказанному выше абсолютный индекс любой другой области D-разбиения положителен. По определению вектор направлен внутрь области , поэтому В точке имеем , поэтому следовательно, область и только она, имеет нулевой абсолютный индекс. Нетрудно найти явное описание области . Если , то эта область задается неравенствами и . Если же при натуральных , то является внутренностью прямоугольника и задается следующей системой неравенств: (13) Следствие 1. Пусть . Для того чтобы функция (8) была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: (14) Доказательство. Если выполняется система (13), то . Следовательно, функция устойчива в том и только том случае, когда и Исключим лишние неравенства. При условии первое и последнее неравенства совместны, если и только если , откуда получаем , и Теорема 2. Для того чтобы уравнение (6) было асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы выполнялась система неравенств (15) Доказательство. Если устойчива, то , следовательно, функция устойчива только при . Таким образом, для исследования устойчивости функции достаточно рассмотреть при , т.е. мы в условиях применимости следствия 1. Система (15) эквивалентна системе (14), если в последней положить , и . Проведенные исследования позволяют положительно ответить на вопрос о возможности стабилизации обратного маятника посредством двух запаздываний в упругой обратной связи. При этом полученный критерий может быть полезен для анализа бифуркаций в нелинейных моделях, линейное приближение которых имеет вид (6).